苏科版八年级数学下册压轴题攻略专题06分式方程及应用压轴(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册压轴题攻略专题06分式方程及应用压轴(原卷版+解析)，共25页。
考点一：解分式方程
考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值
考点三：分式方程的特殊解问题
考点四：分式方程的无解（增根）问题
考点五：分式方程的应用问题
【考点一：解分式方程】
【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：
（1）1﹣＝
（2）﹣＝．
【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．
【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：
（1）
（2）﹣＝1．
【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：
（1）；
（2）．
【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：
（1）
（2）．
【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】
【典例2】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（ ）
A．4B．3C．0D．﹣6
【变式2-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a＝ ．
【考点三：分式方程的特殊解问题】
【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3
【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2
【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【考点四：分式方程的无解（增根）问题】
【典例4】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．1或5D．5
【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5
【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（ ）
A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2
【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ．
【考点五：分式方程的应用问题】
【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？
1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（ ）
A．2B．1C．0D．任何数
6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（ ）
A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2
7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（ ）
A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解
8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3
9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（ ）
A．B．C．10D．或10
10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ．
11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 ．
13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．
（1）； （2）．
14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．
（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）新年将至，某转运中心预计每小时分拣的包裹量达15000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？
15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
专题06 分式方程及应用压轴
考点一：解分式方程
考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值
考点三：分式方程的特殊解问题
考点四：分式方程的无解（增根）问题
考点五：分式方程的应用问题
【考点一：解分式方程】
【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：
（1）1﹣＝
（2）﹣＝．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去分母得：x2﹣25﹣x﹣5＝x2﹣5x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：3x+3﹣2x+2＝1，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：2（x+1）+2x＝5x，
去括号得：2x+2+2x＝5x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：
（1）
（2）﹣＝1．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去分母得：x﹣5＝2x﹣5，
移项合并得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＝2；
（2）无解．
【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：
（1）
（2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）去分母得：15x﹣12+x﹣3＝6x+5，
移项合并得：10x＝20，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1，
去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1，
移项合并得：2x＝2，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】
【典例2】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵关于x的方程的解是x＝1，
∴＝，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（ ）
A．4B．3C．0D．﹣6
【答案】D
【解答】解：将x＝4代入方程，
得：，
解得a＝﹣6，
故选：D．
【变式2-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【答案】D
【解答】解：把x＝1代入分式方程得：＝，
去分母得：8a+12＝3a﹣3，
解得：a＝﹣3，
∵a﹣1＝﹣4≠0，
∴a的值为﹣3．
故选：D．
【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【答案】C
【解答】解：∵分式方程的解为x＝2，
∴＝，
即＝1，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解，
所以原方程的解为a＝﹣1，
故选：C．
【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a＝ ．
【答案】．
【解答】解：把x＝2代入关于x的分式方程得：
，
，
4a＝1，
，
检验：当时，2a≠0，
∴是分式方程的解，
故答案为：
【考点三：分式方程的特殊解问题】
【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3
【答案】A
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，1﹣m﹣（x﹣1）+2＝0，
解得x＝4﹣m．
∵x为正数，
∴4﹣m＞0，解得m＜4．
∵x≠1，
∴4﹣m≠1，即m≠3．
∴m的取值范围是m＜4且m≠3．
故选：A．
【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2
【答案】C
【解答】解：，
方程两边同时乘2（x﹣2）得：
2（x﹣a）＝x﹣2，
2x﹣2a＝x﹣2，
2x﹣x＝2a﹣2，
x＝2a﹣2，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴2a﹣2≥0，
2a≥2，
a≥1，
∵分式的分母x﹣2≠0，
∴x≠2，即2a﹣2≠2，
解得：a≠2，
∴a≥1且a≠2，
故选：C．
【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥3，
解不等式②，得x＞a﹣2，
∵原不等式组的解集为x≥3，
∴a﹣2＜3，
∴a＜5；
解分式方程，得y＝，
∵y＝1是原分式方程的增根，
∴a≠4，
∵≥0，
∴a≥2；
综上，2≤a＜5，且a≠4，
∴满足条件的整数a为2或3，
2+3＝5，
故答案为：5．
【考点四：分式方程的无解（增根）问题】
【典例4】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．1或5D．5
【答案】B
【解答】解：+＝1，
方程两边同时乘以x﹣5得，
2﹣（a+1）＝x﹣5，
去括号得，2﹣a﹣1＝x﹣5，
解得x＝6﹣a，
∵原分式方程无解，
∴x＝5，
∴m＝1，
故选：B．
【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5
【答案】B
【解答】解：，
去分母，得6x＝x+3﹣k（x﹣1），
∴（5+k）x＝3+k，
∵关于x的分式方程无解，
∴分两种情况：
当5+k＝0时，k＝﹣5，
当x（x﹣1）＝0时，x＝0或1，
当x＝0时，0＝3+k，
∴k＝﹣3，
当x＝1时，5+k＝3+k，
∴k不存在，故不符合题意，
综上所述：k的值为：﹣3或﹣5．
故选：B．
【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（ ）
A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2
【答案】C
【解答】解：，
去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
2x﹣4+1﹣kx＝﹣1，
2x﹣kx＝2，
（2﹣k）x＝2，
∵分式方程无解，
∴x﹣2＝0，x＝2，
2﹣k＝0，k＝2，
当k＝1时，原方程为：，
2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1，
2x﹣4+1﹣x+1＝0，
x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
∴k＝1时，原方程无解；
综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2，
故选：C．
【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ﹣2或1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，
解得：（2+m）x＝3，
由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x＝＝1，即m＝1，
综上，m的值为﹣2或1．
故答案为：﹣2或1
【考点五：分式方程的应用问题】
【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（+）×15+＝1．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【答案】（1）300米/分钟；（2）600米．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得+＝﹣2，
解得：x＝300米/分钟，
经检验x＝300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2＝600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设第一次购进x件文具，第二次就购进2x件文具，
由题意得＝﹣2.5，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
则2x＝2×100＝200．
答：第二次购进200件文具；
（2）第一次购进100件文具，利润为：（15﹣10）×100﹣30＝470（元）；
第二次购进200件文具，利润为：（15﹣12.5）×200﹣125＝375（元），
两笔生意是盈利：利润为470+375＝845元．
【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，
依题意，得：﹣＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．
（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，
依题意，得：700m+500×≤14500，
解得：m≥10．
所以m最小值是10．
答：至少应安排甲队工作10天．
1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
【答案】B
【解答】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．
故选：B．
2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：设船在静水中航行的速度为x千米/时（1分）
则+＝
故选：B．
3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：设甲的速度为3x千米/时，则乙的速度为4x千米/时．
根据题意，得﹣＝．
故选：D．
4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由分式方程的解是非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3，
故选：C．
5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（ ）
A．2B．1C．0D．任何数
【答案】B
【解答】解：＝﹣3，
去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2）．
去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6．
移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k．
合并同类项，得2x＝6﹣2k．
x的系数化为1，得x＝3﹣k．
∵分式方程＝﹣3产生增根，
∴3﹣k＝2．
∴k＝1．
故选：B．
6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（ ）
A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2
【答案】B
【解答】解：∵x⊕（2x﹣m）＝3，
∴，
解方程得：x＝8﹣m；
由于方程有解，则8﹣m≠1，即m≠7；
由题意得：8﹣m≥0，
解得：m≤8；
综合起来，m的取值范围为m≤8且m≠7；
故选：B．
7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（ ）
A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解
【答案】D
【解答】解：①当x＞0时，有＞﹣，
∴min{，﹣}＝﹣，
即﹣＝，
解得x＝﹣1（不合题意舍去）；
②当x＜0时，有＜﹣，
∴min{，﹣}＝，
即＝，
解得x＝2（不合题意舍去）；
综上所述，方程min{，﹣}＝无解，
故选：D．
8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【答案】C
【解答】解：由题意得，
去分母3x+2（1﹣x）＝0，
解得x＝﹣2．
经检验得x＝﹣2是原方程的解．
故选：C．
9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（ ）
A．B．C．10D．或10
【答案】D
【解答】解：当5＞x时，
∵5※x＝2，
∴＝2，
解得x＝．
经检验，x＝符合题意，是分式方程的解．
当5＜x时，
∵5※x＝2，
∴＝2．
解得x＝10．
经检验，x＝10符合题意，是分式方程的解．
故选：D．
10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为 13 ．
【答案】13．
【解答】解：，
由①得，x≥﹣1，
由②得，x＜﹣a，
∵不等式组无解，
∴﹣a≤﹣1，即a≥1，
3﹣，
3（y﹣2）+a＝y，
3y﹣6+a＝y，
解得y＝3﹣a，
∵分式方程的解为正数，
∴3﹣a＞0且3﹣a≠2，
解得a＜6且a≠2，
∴a的取值为1≤a＜6且a≠2，
∴所有满足条件的整数a的值的和为1+3+4+5＝13，
故答案为：13．
11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10 ．
【答案】a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．
【解答】解：+＝，
去分母，得（x﹣1）（x+1）+（3﹣x）（x﹣3）＝3x+a，
去括号、合并同类项，得3x＝a+10，
等号两边同除以3，得x＝（x≠3，且x≠﹣1），
∵x＝3或x＝﹣1是原分式方程的增根，
∴a≠﹣1，且a≠﹣13，
∵＜0，
∴a＜﹣10，
∴a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10，
故答案为：a＜﹣13或﹣13＜a＜﹣10．
12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 3或1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，
整理，得：（a﹣1）x＝2，
当x＝1时，分式方程无解，
则a﹣1＝2，
解得：a＝3；
当整式方程无解时，a＝1，
故答案为：3或1．
13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．
（1）； （2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原方程变形得：，
方程两边同乘以最简公分母（x﹣3）得：1＝2（x﹣3）﹣x，
整理的：1＝2x﹣6﹣x，
移项得：x＝7，
检验：当x＝7时，x﹣3＝7﹣3＝4≠0，
所以，x＝7，是原方程的根，
（2）方程两边同乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
整理得：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3，
合并同类项得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0，
所以，x＝1是原方程的增根，
所以，原分式方程无解．
14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．
（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）新年将至，某转运中心预计每小时分拣的包裹量达15000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？
【答案】（1）条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；
（2）至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．
【解答】解：（1）设一名工人每小时能分拣x件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣4x件包裹，
由题意得：﹣＝3，
解得：x＝750，
经检验，x＝750是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝4×750＝3000，
答：这条自动分拣流水线每小时能分拣3000件包裹；
（2）应购买m条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，
由题意得：3000m≥15000，
解得：m≥5，
答：至少应购买5条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．
15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，
根据题意，得
解得：x＝200
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
（2）设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）
解得：y≥296
答：至少标价296元．