沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练03列方程解应用题(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练03列方程解应用题(原卷版+解析)，共32页。
1．综合复习小学所学的多种类型的应用题解法；
2．训练列方程解应用题的熟练程度，提高速度和准确度．
3．主要复习、拓展小学阶段“行程问题”的解决方法；
4．尝试用方程解决其他新类型的应用题；
5．强化列方程解应用题的思想．
案例1：小王原来的钱数是小李的3倍，他们各自买了80元的书之后，小王的钱数变成了小李的5倍，请问小王和小李原来各有多少钱？
教法说明：有些应用题会出现前后变化的情况，例如“小王给小李5元，他们的钱就一样多了”之类的条件，遇上这种情况，一定要分清“变化前”和“变化后”这两个时间点的不同，虽然是同一人，不同时间他有的钱数是不同的，也要分清倍数关系所对应的时间。
理清关系，这个问题涉及了四个数量关系：“小王原来的钱”，“小王之后的钱”，“小李原来的钱”，“小李之后的钱”。它们之间的关系如下图所示：
小王原来的钱
小王现在的钱
小李原来的钱
小李现在的钱
－80
－80
3倍
5倍
利用这个关系图，可以比较方便地列出方程并求解。
参考答案：设小李原来的钱为x元，
3x－80＝5（x－80）
x＝160
3x＝480
答：小王和小李原来各有160元和480元。
总结：列方程解应用题的一般步骤：
1．审题，迅速理解题意。
2．思考，找到题中的数量关系。
3．设x，将“1倍量”或“较小量”设为x，用x表示其他数量。
4．列式，根据等量关系列出方程。
5．求解，解方程、计算得到最终结果并作答。
案例2．一般来说，行程问题会牵涉到“速度”、“时间”、“路程”这三个数量，关键的数量关系为：
× =
速度×时间=路程
2．这个公式又可以演变为：“速度和×时间＝ ”、“速度差×时间＝ ”
路程和， 路程差
3．相遇问题：相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度和×相遇时间＝相遇路程
4．追击问题：同向而行同时出发到相遇（即追击）时，甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度差×追击时间＝追击路程
这部分如果学校进度慢，学生没有理解可以举一些例子，通过画图让学生理解基本公式的含义
本讲重点复习应用题中最难的一类——行程问题，并且在课内的基础上进行拓展。同时，也提供了一些没有见过的应用题类型让同学们进行挑战，掌握用方程解应用题的关键。
在解决行程问题时，往往通过“甲路程＋乙路程＝总路程”或是“甲路程－乙路程＝总路程”这类等量关系来解决问题。要找到这样路程间的关系，辅助的路程线段图就十分重要。除此之外，“甲路程”“乙路程”则更多是通过“甲路程＝甲速度×甲时间”这样的关系来得到。分析清楚从开始到结果的整个过程，是解决行程问题的关键所在。
在分析行程问题时，还要注意“甲”“乙”的速度、时间之间的关系，往往设出其中一个后，其他都与其相关，能够写清。所以在设未知数时，往往是设某个人的“时间”或者“速度”作为x，较少会出现设路程为x的情况。
这部分关于行程问题的分析可以强调下，但学生可能感觉不大。在后面对例题的讲解是可以反过来进行强化。
除此之外，还有许多不属于之前学过的类型的应用题，同样可以用方程来解决。“找到关键量设x”、“用带x的式子表示其他量”、“找到等量关系列方程”的顺序来解决即可。当然，这对于同学们来说会是一个挑战。
【考点剖析】
例题1：有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人．如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？
例题2：养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍．一天有10只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数量是东院的2倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？
例题3：学校安排学生到会议室听报告．如果每3人坐一条长椅，就会剩下16人没有座位；如果每5人坐一条长椅，就会空出1条长椅，还有一条长椅上只坐了2个人．一共有多少个学生去听报告？
例题4：青蛙和天鹅一块玩游戏，青蛙比天鹅多12只，青蛙的总腿数比天鹅的总腿数多68条，那么青蛙和天鹅各有多少只？
例题5：甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行．甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离．
例题6：一辆公共汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去．3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城．当小轿车到达B城后，公共汽车离B城还有160千米．问：公共汽车什么时刻到达B城？
之前接触的绝大部分都是在直线上的行程问题，其实还有不少是在环形路线上进行的行程问题。想一想，如果甲乙在400米的环形跑道上同时同方向出发，当甲第一次追上乙时，比乙应该多跑了多少路程呢？如果是背向而行呢？
乙乙
甲甲
例题7：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟300米的速度从起点跑出．1分钟后，乙从起点同向跑出．又过了5分钟，甲追上乙．请问：乙每分钟跑多少米？
试一试：甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．这条公路长2400米，甲骑一圈需要10分钟．如果第一次相遇时甲骑了1440米．请问：乙骑一圈需要多少分钟？
※例题8：一片牧场上原来就有一定量的草，而且草每天还在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问：如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？（假设每头牛每天吃10公斤草）
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·五年级单元测试）某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题。已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是（ ）。
A．29B．31C．33D．35
二、填空题
2．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）用一根长72厘米的铁丝做长方体框架，已知长是宽的3倍，宽是高的2倍，这个长方体的体积是( )立方厘米。
3．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）一个小数的小数点向右移动两位后比原数增加52.47，原数是( )。
4．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）三个连续自然数之和是105，这3个自然数中，最小的是( )。
5．（2023春·五年级单元测试）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明年龄的8倍时，爷爷61岁。那么，爷爷比小明大_____岁；当爷爷的年龄是小明的20倍时，爸爸的年龄是_____岁。
6．（2021秋·五年级单元测试）某通讯员从A地到B地，需要5.5小时，每小时行18千米；从B地返回A地，他每小时行22千米，该通讯员往返两地的平均速度是每小时行( )千米。
7．（2023春·五年级单元测试）六年级举行速算比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣2分，李红共抢答了10道题，最后得分是64分。她答错了________道题。
三、文字题
8．（2021春·上海嘉定·五年级统考期末）用综合算式或方程解答。
一个数的2.5倍减去2.4正好等于这个数，求这个数。
9．（2023春·上海徐汇·五年级校考期末）列综合算式计算或方程解答。
7.5减去某数所得差的4倍比12.5除以2.5的商多13，求某数是多少？
四、解答题
10．（2021春·上海嘉定·五年级统考期末）列方程解决问题。
一辆轿车和一辆客车分别从相距800千米的两地同时出发，相向而行，轿车平均每小时行120千米，2.5小时后两车还相距300千米，客车平均每小时行多少千米？
11．（2023春·上海徐汇·五年级校考期末）一个正方形，如果边长增加5分米，面积就增加145平方分米。问：原来正方形长是多少？
12．（2023春·上海徐汇·五年级校考期末）小巧和小亚同时从相距2400米的两地出发相向而行，小巧平均每分钟走86米，比小亚平均每分钟多走12米。问：经过几分钟后两人在途中相遇？
13．（2022春·上海徐汇·五年级统考期末）筐里装的苹果数量是梨的2倍，每次取出5个苹果和3个梨，取了若干次后，梨正好取完，苹果还有20个。一共取了多少次？筐里原来有苹果和梨各多少个？
14．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）甲和乙之间的公路全长660千米，一辆客车和一辆货车同时从两地出发相向而行，途中货车因让道停了0.5小时，结果客车出发6小时后与货车在途中相遇，已知客车的速度是66千米/时，求货车的速度。
15．（2023春·五年级单元测试）小巧以65米/分的速度，步行从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把垃圾分类资料忘了，于是骑车以195米/分的速度去追。已知小巧家与少年宫之间的路程是2100米，妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？
16．（2023春·五年级单元测试）学校要粉刷教室的天花板和四面墙壁．已知教室的长是8m，宽是6m，高是3m，门窗和黑板的面积是11.4m2．如果每平方米需要花7元涂料费，粉刷这个教室需要花涂料费多少元?
17．（2023春·五年级单元测试）甲乙两车从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个骑车人。甲乙两车分别用10分钟、6分钟追上骑车人。已知甲车速度是24千米/小时，乙车速度是30千米/小时，问两车出发时与骑车人相距多少千米？
18．（2023春·五年级单元测试）正方体的表面积是120平方厘米，将它平均分成8个小正方体，每个正方体的表面积是多少平方厘米？
19．（2023春·五年级单元测试）一个棱长为6厘米正方体木块，把它的表面涂上红色，然后把它锯成棱长1厘米的小正方体，问一面红色的有多少块，二面红色的有多少块，三面红色的有多少块，没有红色的有多少块？
20．（2023春·五年级单元测试）把长1.2米的长方体木料锯成3个小正方体，表面积增加64平方分米，求原来长方体的表面积是多少？
21．（2020秋·上海·五年级期中）学校进行了一次数学竞赛，共20题，做对一题得5分，做错一题或没做一题不得分并且扣2分，小明最后得了86分，他做对了几题？（必须要有计算过程）
22．（2020秋·上海·五年级期末）甲乙两车同时从相距840千米的两地相向而行，5小时后两车相距240千米，已知甲车每小时行75千米，求乙车每小时行多少千米？（用两种方法解答）
23．（2023秋·五年级单元测试）甲、乙两地相距3600千米，一架飞机往返于甲、乙两地，从甲地飞到乙地，要飞行4.5小时；从乙地返回甲地，要飞行5.1小时。这架飞机往返甲、乙两地平均每小时飞行多少千米？
24．（2023秋·五年级单元测试）工厂加工一批零件，25人做需要12天完成，如果每人每天加工140个零件，问这批零件共有多少个？现在每人每天多加工10个零件，且要求提前2天完成，则应增加多少人？
25．（2020春·五年级课时练习）有两袋大米，第二袋大米比第一袋大米多40千克，如果从第二袋中取出大米5千克倒入第一袋，这时第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍，原来两袋大米各重多少千克？
26．（2020春·五年级课时练习）五年级举行竞赛，共12道题。评分标准是：做对一题得10分，做错一道扣3分，没有做的题得0分。已知小红得了64分，又知道她有3道题没有做，问小红做对了多少道题？
27．（2022春·五年级单元测试）甲、乙两人同时从相距1340米的各自的家中出发相向而行，甲骑自行车，每分钟行250米，乙步行，每分钟行90米。3分钟后，乙返回家中取忘带的书，再经过几分钟，甲追上乙？这时乙离家多少米？
28．（2023秋·五年级单元测试）甲、乙两车从两地同时出发相向而行，4小时后在距离中点20千米处相遇，已知乙车平均每小时行78千米，问：甲车平均每小时多少千米？（列方程）
29．（2021秋·五年级统考课时练习）由1、2、3、4、5这五个数字组成的无重复数字的五位数共有多少个？其中24135按从小到大排列是第几个？将这些五位数从大到小排列，第50个数是多少？
上海市预初开学分班考专项复习03列方程解应用题
【知识梳理】
1．综合复习小学所学的多种类型的应用题解法；
2．训练列方程解应用题的熟练程度，提高速度和准确度．
3．主要复习、拓展小学阶段“行程问题”的解决方法；
4．尝试用方程解决其他新类型的应用题；
5．强化列方程解应用题的思想．
案例1：小王原来的钱数是小李的3倍，他们各自买了80元的书之后，小王的钱数变成了小李的5倍，请问小王和小李原来各有多少钱？
教法说明：有些应用题会出现前后变化的情况，例如“小王给小李5元，他们的钱就一样多了”之类的条件，遇上这种情况，一定要分清“变化前”和“变化后”这两个时间点的不同，虽然是同一人，不同时间他有的钱数是不同的，也要分清倍数关系所对应的时间。
理清关系，这个问题涉及了四个数量关系：“小王原来的钱”，“小王之后的钱”，“小李原来的钱”，“小李之后的钱”。它们之间的关系如下图所示：
小王原来的钱
小王现在的钱
小李原来的钱
小李现在的钱
－80
－80
3倍
5倍
利用这个关系图，可以比较方便地列出方程并求解。
参考答案：设小李原来的钱为x元，
3x－80＝5（x－80）
x＝160
3x＝480
答：小王和小李原来各有160元和480元。
总结：列方程解应用题的一般步骤：
1．审题，迅速理解题意。
2．思考，找到题中的数量关系。
3．设x，将“1倍量”或“较小量”设为x，用x表示其他数量。
4．列式，根据等量关系列出方程。
5．求解，解方程、计算得到最终结果并作答。
案例2．一般来说，行程问题会牵涉到“速度”、“时间”、“路程”这三个数量，关键的数量关系为：
× =
速度×时间=路程
2．这个公式又可以演变为：“速度和×时间＝ ”、“速度差×时间＝ ”
路程和， 路程差
3．相遇问题：相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度和×相遇时间＝相遇路程
4．追击问题：同向而行同时出发到相遇（即追击）时，甲、乙两人所用的时间相等。
基本公式：速度差×追击时间＝追击路程
这部分如果学校进度慢，学生没有理解可以举一些例子，通过画图让学生理解基本公式的含义
本讲重点复习应用题中最难的一类——行程问题，并且在课内的基础上进行拓展。同时，也提供了一些没有见过的应用题类型让同学们进行挑战，掌握用方程解应用题的关键。
在解决行程问题时，往往通过“甲路程＋乙路程＝总路程”或是“甲路程－乙路程＝总路程”这类等量关系来解决问题。要找到这样路程间的关系，辅助的路程线段图就十分重要。除此之外，“甲路程”“乙路程”则更多是通过“甲路程＝甲速度×甲时间”这样的关系来得到。分析清楚从开始到结果的整个过程，是解决行程问题的关键所在。
在分析行程问题时，还要注意“甲”“乙”的速度、时间之间的关系，往往设出其中一个后，其他都与其相关，能够写清。所以在设未知数时，往往是设某个人的“时间”或者“速度”作为x，较少会出现设路程为x的情况。
这部分关于行程问题的分析可以强调下，但学生可能感觉不大。在后面对例题的讲解是可以反过来进行强化。
除此之外，还有许多不属于之前学过的类型的应用题，同样可以用方程来解决。“找到关键量设x”、“用带x的式子表示其他量”、“找到等量关系列方程”的顺序来解决即可。当然，这对于同学们来说会是一个挑战。
【考点剖析】
例题1：有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多5人，比丙校多7人．如果乙、丙两校一共有40人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？
教法说明：先让学生找出本题中的等量关系，再根据等量关系设未知数。
参考答案：设甲校有x人，则乙校有（x－5）人，丙校（x－7）人，
x－5＋x－7＝40
x＝26
乙：x－5＝21（人），丙：x－7＝19（人）
答：甲、乙、丙三所小学的分别有26、21、19人参加比赛。
例题2：养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍．一天有10只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数量是东院的2倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？
教法说明：本题可以引导学生先试着自己列出四个数量，再写出之间关系，进一步进行设列解。
先来看一下和差倍问题，可以通过语句中的关系找到我们所需要的1倍量。
参考答案：设东院有x只鸡人，则西院有3x，
2（x＋10）＝3x－10
x＝30
西院：3x＝90（只）
答：东、西两个院子各有30和90只鸡。
例题3：学校安排学生到会议室听报告．如果每3人坐一条长椅，就会剩下16人没有座位；如果每5人坐一条长椅，就会空出1条长椅，还有一条长椅上只坐了2个人．一共有多少个学生去听报告？
教法说明：不能机械地去套用之前的想法，而要分清最后缺少或者剩下的是“人”还是“长椅”，再根据题意来列出方程。
参考答案：52人
例题4：青蛙和天鹅一块玩游戏，青蛙比天鹅多12只，青蛙的总腿数比天鹅的总腿数多68条，那么青蛙和天鹅各有多少只？
教法说明：如果学生解决有问题的话，先提问引出有哪些“数量”，再找其中小的设为x，然后求解，每步后都可以让学生思考，不行再进行下一步提示。
参考答案：22只、10只
例题5：甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行．甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离．
教法说明：通过线段图，先尝试找到一些隐含的条件，再利用这些条件来解决问题。
本题难度较低，如果学生有疑问可以将图画出，标出甲路程、乙路程，让学生比较大小。
参考答案：198千米
例题6：一辆公共汽车早上6点从A城出发，以每小时40千米的速度向B城驶去．3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城．当小轿车到达B城后，公共汽车离B城还有160千米．问：公共汽车什么时刻到达B城？
教法说明：画图有一定难度，公共汽车的路程分三段：3小时；小轿车开的时间；160千米。小轿车就只有一整段。提示学生轿车的时间与汽车中间段时间相同。
参考答案：21点
之前接触的绝大部分都是在直线上的行程问题，其实还有不少是在环形路线上进行的行程问题。想一想，如果甲乙在400米的环形跑道上同时同方向出发，当甲第一次追上乙时，比乙应该多跑了多少路程呢？如果是背向而行呢？
乙乙
甲甲
例题7：甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步．甲以每分钟300米的速度从起点跑出．1分钟后，乙从起点同向跑出．又过了5分钟，甲追上乙．请问：乙每分钟跑多少米？
参考答案：280米/分钟
试一试：甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行．这条公路长2400米，甲骑一圈需要10分钟．如果第一次相遇时甲骑了1440米．请问：乙骑一圈需要多少分钟？
参考答案：15分钟
除了行程问题之外，还有不少别的类型。在遇到没见过的类型时，同样先找到问题中的关键量，求出它或者将它设为x，进而求解。
※例题8：一片牧场上原来就有一定量的草，而且草每天还在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问：如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？（假设每头牛每天吃10公斤草）
教法说明：24头牛，6天就把草吃完，说明6天长的草＋原来的草＝24×6×10＝1440（千克）
21头牛，8天就把草吃完，说明8天长的草＋原来的草＝21×8×10＝1680（千克）
所以2天长的草为1680－1440＝240（千克）即每天长120千克；
这样原来的草就为1440－6×120＝720（千克），那么草地每天长的草够12头牛吃一天；
如果放养36头牛，那么让其中的12头牛吃新长出来的草；
还剩下36－12＝24头牛，720÷24＝3
所以如果放养36头牛，3天可以把草吃完。
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·五年级单元测试）某次数学考试共5道题，全班52人参加，共做对181题。已知每人至少做对1题；做对1道题的有7人，做对2道题的人和做对3道题的人一样多，做对5道题的有6人，那么做对4道题的人数是（ ）。
A．29B．31C．33D．35
【答案】B
【分析】根据题意知：答对2道、3道、4道的人数是：52－7－6＝39人，由此设答对2道和3道的人数为人，则做对4道的人数为39－2人，进而列出方程，据此解答。
【详解】解：设答对2道和3道的人数均为x人，则做对4道的人数为52－7－6－2x即做对4道的人数为39－2x人，根据题意可得方程：
1×7＋2x＋3x＋4×（39－2x）＋5×6＝181
7＋5x＋156－8x＋30＝181
193－3x＝181
3x＝12
x＝4
做对4道的人数为：39－2×4＝39－8＝31（人）
故答案为：B
【点睛】此题含有3个未知数，根据题意分别设出这三个未知数是解答本题的关键。
二、填空题
2．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）用一根长72厘米的铁丝做长方体框架，已知长是宽的3倍，宽是高的2倍，这个长方体的体积是( )立方厘米。
【答案】96
【分析】根据题意可知，长是宽的3倍，宽是高的2倍，则可以设高为x厘米，宽为2x厘米，长为（3×2x）厘米，根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，列方程为（3×2x＋2x＋x）×4＝72，然后解出方程，进而求出宽和长，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答。
【详解】解：设高为x厘米，宽为2x厘米，长为（3×2x）厘米。
（3×2x＋2x＋x）×4＝72
（6x＋2x＋x）×4＝72
9x×4＝72
36x＝72
36x÷36＝72÷36
x＝2
宽：2×2＝4（厘米）
长：4×3＝12（厘米）
12×4×2＝96（立方厘米）
这个长方体的体积是96立方厘米。
【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式、长方体体积公式的灵活应用，可列方程解决问题。
3．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）一个小数的小数点向右移动两位后比原数增加52.47，原数是( )。
【答案】0.53
【分析】小数点向右移动两位，小数扩大到原来的100倍。将原数设为x，那么移动小数点后的数是100x，利用“移动小数点后的数－原数＝52.47”列出方程解题即可。
【详解】解：设原数是x。
100x－x＝52.47
99x＝52.47
99x÷99＝52.47÷99
x＝0.53
所以，原数是0.53。
【点睛】本题考查了简易方程，解题关键是明确小数点向右移动两位是将原数扩大到它的100倍。
4．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）三个连续自然数之和是105，这3个自然数中，最小的是( )。
【答案】34
【分析】已知相邻的两个自然数相差1，据此设三个连续自然数中，最小的数是x，中间的数是（x＋1），最大的数是（x＋2），列方程为x＋x＋1＋x＋2＝105，然后解出方程即可。
【详解】解：设三个连续自然数中，最小的数是x。
x＋x＋1＋x＋2＝105
3x＋3＝105
3x＋3－3＝105－3
3x＝102
3x÷3＝102÷3
x＝34
三个连续自然数中，最小的数是34。
【点睛】本题可用列方程解决问题，注意相邻的两个自然数相差1。
5．（2023春·五年级单元测试）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明年龄的8倍时，爷爷61岁。那么，爷爷比小明大_____岁；当爷爷的年龄是小明的20倍时，爸爸的年龄是_____岁。
【答案】 57 31
【分析】设爷爷比小明大x岁，小明1岁时，爷爷（x＋1）岁，爸爸是（）岁；爷爷61岁时，小明是（61－x）岁，爸爸的年龄是8（61－x）岁，根据前后爷爷与爸爸的年龄差不变即可列出方程，求出爷爷与小明的年龄差，进而可求出爸爸与小明的年龄差。
当爷爷的年龄是小明的20倍时，根据爷爷与小明年龄差除以他们对应的倍数差，可求出小明此时的年龄，再加上爸爸与小明的年龄差即可求出此时爸爸的年龄。
【详解】解：设爷爷比小明大x岁，
x＋1－＝61－8（61－x）
x＋1＝122－16（61－x）
x＋1＝122－976＋16x
x＝16x－855
15x＝855
x＝57
当小明1岁时，爷爷的年龄是：57＋1＝58（岁）
爸爸的年龄是：58÷2＝29（岁）
爸爸与小明的年龄差是：29－1＝28（岁）
当爷爷的年龄是小明的20倍时，小明的年龄是：
57÷（20－1）
＝57÷19
＝3（岁）
此时爸爸的年龄是：3＋28＝31（岁）
故答案为：57；31
【点睛】此题等量关系较复杂，爷爷、爸爸、小明每两人的年龄差不变是解决此题的关键。
6．（2021秋·五年级单元测试）某通讯员从A地到B地，需要5.5小时，每小时行18千米；从B地返回A地，他每小时行22千米，该通讯员往返两地的平均速度是每小时行( )千米。
【答案】19.8
【分析】先根据“速度×时间＝路程”求出从A地到B地的路程，因为往返路程相等，进而根据“路程÷速度＝时间”求出返回的时间，继而求出往返总时间，最后根据“往返总路程÷往返总时间＝往返平均速度”进行解答即可。
【详解】（5.5×18×2）÷（5.5＋5.5×18÷22）
＝198÷（5.5＋4.5）
＝198÷10
＝19.8（千米）
【点睛】解答此题的关键：应明确往返路程相等，进而根据往返总路程、往返总时间和往返平均速度三者之间的关系进行解答。
7．（2023春·五年级单元测试）六年级举行速算比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣2分，李红共抢答了10道题，最后得分是64分。她答错了________道题。
【答案】3
【分析】设她答错x道题，则答对（10－x）道，用答对一道题的得分×答对的题数－答错一道题扣的分×答错的题数＝她的实际得分，据此列方程，然后应用等式的性质解方程，据此解答。
【详解】解：设她答错x道题，则答对（10－x）道。
10×（10－x）－2x＝64
10×10－10x－2x＝64
100－12x＝64
12x＝100－64
12x＝36
12x÷12＝36÷12
x＝3
【点睛】此题考查了列方程解决实际问题，找出等量关系是解题关键。
三、文字题
8．（2021春·上海嘉定·五年级统考期末）用综合算式或方程解答。
一个数的2.5倍减去2.4正好等于这个数，求这个数。
【答案】1.6
【分析】设这个数为x，根据等量关系：这个数×2.5－2.4＝这个数，据此列方程为：2.5x－2.4＝x，解方程即可。
【详解】解：设这个数为x。
2.5x－2.4＝x
2.5x－2.4＋2.4＝x＋2.4
2.5x＝x＋2.4
2.5x－x＝x＋2.4－x
1.5x ＝2.4
1.5x÷1.5 ＝2.4÷1.5
x＝1.6
9．（2023春·上海徐汇·五年级校考期末）列综合算式计算或方程解答。
7.5减去某数所得差的4倍比12.5除以2.5的商多13，求某数是多少？
【答案】3
【分析】设这个数是x，根据题中的数量关系列出方程解答。
【详解】解：设这个数是x。
4（7.5－x）－12.5÷2.5＝13
4（7.5－x）－5＝13
4（7.5－x）＝13＋5
4（7.5－x）＝18
7.5－x＝18÷4
7.5－x＝4.5
x＝7.5－4.5
x＝3
则某数是3。
四、解答题
10．（2021春·上海嘉定·五年级统考期末）列方程解决问题。
一辆轿车和一辆客车分别从相距800千米的两地同时出发，相向而行，轿车平均每小时行120千米，2.5小时后两车还相距300千米，客车平均每小时行多少千米？
【答案】80千米
【分析】由题意知：两车的速度和×2.5＋300千米＝800千米，可设客车每小时行x千米，列方程（120＋x）×2.5＋300＝800，解方程即求解。
【详解】解：设客车每小时行x千米。
（120＋x）×2.5＋300＝800
（120＋x）×2.5＋300－300＝800－300
（120＋x）×2.5＝500
（120＋x）×2.5÷2.5＝500÷2.5
120＋x＝200
120＋x－120＝200－120
x＝80
答：客车平均每小时行80千米。
【点睛】根据时间、距离、速度之间的关系，转化为数学方程是解答的关键。
11．（2023春·上海徐汇·五年级校考期末）一个正方形，如果边长增加5分米，面积就增加145平方分米。问：原来正方形长是多少？
【答案】长是12分米
【分析】根据题意，设原来正方形的边长为x分米，如图：增加的面积分为三部分，即长是5分米，宽是原来的边长的两个长方形，和一个边长是5分米的正方形，据此列方程求出原来的边长。
【详解】解：设原来正方形的边长为x分米
5x＋5x＋5×5＝145
5x＋5x＋25＝145
10x＋25＝145
10x＋25－25＝145－25
10x＝120
10x÷10＝120÷10
x＝12
答：原来正方形长是12分米。
【点睛】此题可以通过画图分析，列方程解答比较简便。
12．（2023春·上海徐汇·五年级校考期末）小巧和小亚同时从相距2400米的两地出发相向而行，小巧平均每分钟走86米，比小亚平均每分钟多走12米。问：经过几分钟后两人在途中相遇？
【答案】15分钟
【分析】已知小巧平均每分钟走86米，比小亚平均每分钟多走12米，则小亚平均每分钟走86－12＝74（米）。设经过x分钟后两人在途中相遇，根据两人的速度和×相遇时间＝总路程，列方程即可解答。
【详解】86－12＝74（米）
解：设经过x分钟后两人在途中相遇。
（86＋74）x＝2400
160x＝2400
x＝2400÷160
x＝15
答：经过15分钟后两人在途中相遇。
【点睛】本题考查相遇问题。掌握“速度和×相遇时间＝总路程”是列出方程的关键。
13．（2022春·上海徐汇·五年级统考期末）筐里装的苹果数量是梨的2倍，每次取出5个苹果和3个梨，取了若干次后，梨正好取完，苹果还有20个。一共取了多少次？筐里原来有苹果和梨各多少个？
【答案】20次；原来有梨60个；苹果有120个
【分析】根据题意可知，取的次数×每次取梨的个数＝梨的总个数，取的次数×每次取苹果的个数＋20个＝苹果的总个数，梨的总个数×2＝苹果的总个数，据此设一共取了x次，列方程为3x×2＝5x＋20，然后解出方程即可，进而求出梨和苹果的个数。
【详解】解：设一共取了x次。
3x×2＝5x＋20
6x＝5x＋20
6x－5x＝5x＋20－5x
x＝20
梨：20×3＝60（个）
苹果：5×20＋20
＝100＋20
＝120（个）
答：一共取了20次；筐里原来有梨60个，苹果有120个。
【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。
14．（2023春·上海奉贤·五年级校联考期中）甲和乙之间的公路全长660千米，一辆客车和一辆货车同时从两地出发相向而行，途中货车因让道停了0.5小时，结果客车出发6小时后与货车在途中相遇，已知客车的速度是66千米/时，求货车的速度。
【答案】48千米/时
【分析】设货车的速度为x千米/时；由于货车途中让道停了0.5小时，货车用了（6－0.5）小时；（6－0.5）小时行驶（6－0.5）x千米；客车的速度是66千米/时，客车6小时行驶了66×6千米；货车行驶的路程＋客车行驶的路程＝甲、乙之间的距离，列方程：（6－0.5）x＋66×6＝660，解方程，即可解答。
【详解】解：设货车的速度为x千米/时。
（6－0.5）x＋66×6＝660
5.5x＋396＝660
5.5x＝660－396
5.5x＝264
x＝264÷5.5
x＝48
答：货车的速度为48千米/时。
【点睛】本题考查方程的实际应用。利用速度、时间、路程三者的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程，注意货车行驶的时间是6小时减去0.5小时。
15．（2023春·五年级单元测试）小巧以65米/分的速度，步行从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把垃圾分类资料忘了，于是骑车以195米/分的速度去追。已知小巧家与少年宫之间的路程是2100米，妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗？
【答案】能
【详解】65×16÷（195﹣65）
＝1040÷30
＝8（分钟）
65×（16＋8）
＝65×24
＝1560（米）
2100＞1560
答：妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她。
16．（2023春·五年级单元测试）学校要粉刷教室的天花板和四面墙壁．已知教室的长是8m，宽是6m，高是3m，门窗和黑板的面积是11.4m2．如果每平方米需要花7元涂料费，粉刷这个教室需要花涂料费多少元?
【答案】844.2元
【详解】8×6+8×3×2+6×3×2-11.4=120.6（m2）
120.6×7=844.2（元）
答：粉刷这个教室需要花涂料费844.2元．
17．（2023春·五年级单元测试）甲乙两车从同一地点出发，沿着同一公路追赶前面的一个骑车人。甲乙两车分别用10分钟、6分钟追上骑车人。已知甲车速度是24千米/小时，乙车速度是30千米/小时，问两车出发时与骑车人相距多少千米？
【答案】1.5千米
【分析】根据题意，甲乙两车分别用10分钟、6分钟追上骑车人，设骑车人的速度为x千米/小时，则根据出发时他们距离骑车人的距离相等，可列出等量关系：甲骑车10分钟所走的路程－骑车人10分钟所走的路程=乙骑车6分钟所走的路程－骑车人6分钟所走的路程，由此列出方程即可，注意速度的单位应该化统一。
【详解】解：设骑车人的速度为x千米/小时。
30×6÷60－x×6÷60＝24×10÷60－x×10÷60
3－6x÷60＝4－10x÷60
x＝15
30×6÷60－15×6÷60＝1.5（千米）
答：两车出发时与骑车人相距1.5千米。
【点睛】本题考查行程问题中的追及问题，理清题目中的数量关系，用含有x的数字表示出来，是解答此题的关键，解答时可以通过画线段图来帮助我们理解题意。
18．（2023春·五年级单元测试）正方体的表面积是120平方厘米，将它平均分成8个小正方体，每个正方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】30平方厘米
【分析】观察图形可知，把一个大正方体切成8个一样大小的小正方体，需要切3刀，每切一刀就增加2个原正方体的面，由此即可求出切割后的8个小正方体的表面积之和是：原正方体的表面积+增加的6个原正方体的面的面积，即等于原正方体的表面积的2倍，是120×2=240平方厘米，再除以8，就是1个小正方体的表面积。
【详解】120×2÷8=30（平方厘米）
【点睛】根据大正方体切割8个小正方体的方法，得出切割后的8个小正方体的表面积之和，再除以8即可解答。
19．（2023春·五年级单元测试）一个棱长为6厘米正方体木块，把它的表面涂上红色，然后把它锯成棱长1厘米的小正方体，问一面红色的有多少块，二面红色的有多少块，三面红色的有多少块，没有红色的有多少块？
【答案】96块；48块；8块； 64块
【分析】因为6÷1=6，所以大正方体每条棱长上面都有6个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体，根据上面的结论，即可解答。
【详解】（1）因为6÷1=6，所以大正方体每条棱长上面都有6块小正方体；
所以一面涂色的有：
（6-2）×（6-2）×6
=4×4×6
=96（块）
两面涂色的有：
（6-2）×12
=4×12
=48（块）
三面涂色的都在顶点处，所以一共有8块，
没有涂色的有：
6×6×6-96-48-8
=216-152
=64（块）
答：一面涂色的小正方体有96块；两面涂色的小正方体有48块；三面涂色的小正方体有8块；没有涂色的小正方体有64块。
【点睛】此题考查了立方体的知识，注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
20．（2023春·五年级单元测试）把长1.2米的长方体木料锯成3个小正方体，表面积增加64平方分米，求原来长方体的表面积是多少？
【答案】224平方分米
【分析】如图：把长方体平均分成3个小正方体，表面积比原来增加了正方体的4个面的面积，由此可求出小正方体一个面的面积是64÷4＝16平方分米，根据切割特点可知，原长方体的表面积是由14个小正方体的面组成的，再乘14即可得出原长方体的表面积。
【详解】如图示为切割示意图：
每个小面的面积为64÷4＝16（平方分米）
整个长方体表面有14个这样的小面，总的表面积为14×16＝224（平方分米）
答：原来长方体的表面积是224平方分米。
【点睛】抓住长方体切割成3个正方体的特点，得出长方体的表面积是由14个小正方体的面组成的，由此即可解答。
21．（2020秋·上海·五年级期中）学校进行了一次数学竞赛，共20题，做对一题得5分，做错一题或没做一题不得分并且扣2分，小明最后得了86分，他做对了几题？（必须要有计算过程）
【答案】18题
【分析】假设20题全部做对，与实际得分相比多了14分，多的这14分是因为把做错或不答的题目看作做对的题目，把一道做错或不答的题看作答对的多7分，则可求出做错或不答有2道，再求出答对几题即可。
【详解】做错或不答：
（5×20－86）÷（2＋5）
＝14÷7
＝2（道）
20－2＝18（道）
答：他做对了18题。
【点睛】本题考查鸡兔同笼问题，解答本题的关键是掌握利用假设法解决问题。
22．（2020秋·上海·五年级期末）甲乙两车同时从相距840千米的两地相向而行，5小时后两车相距240千米，已知甲车每小时行75千米，求乙车每小时行多少千米？（用两种方法解答）
【答案】45千米或141千米
【分析】本题可以结合公式路程和=速度和×时间，求出速度和，减去甲车的速度即可求出乙车的速度；或者将乙车的速度设为未知数，列方程求解。注意：要分类讨论是相遇前相距240米或相遇后相距240米。
【详解】法一：
相遇前：
相遇后：
法二：
解：设乙车每小时行x千米。
或
答：乙车每小时行45千米或141千米。
【点睛】本题主要是相遇问题。掌握相遇问题的公式：路程和=速度和×时间；除此外，此类题目涉及到分类讨论，要考虑全面。
23．（2023秋·五年级单元测试）甲、乙两地相距3600千米，一架飞机往返于甲、乙两地，从甲地飞到乙地，要飞行4.5小时；从乙地返回甲地，要飞行5.1小时。这架飞机往返甲、乙两地平均每小时飞行多少千米？
【答案】750千米
【分析】用总路程÷总时间＝平均速度，据此解答即可。
【详解】3600×2÷（4.5＋5.1）
＝7200÷9.6
＝750（千米）
答：这架飞机往返甲、乙两地平均每小时飞行750千米。
【点睛】本题考查行程问题、平均数，解答本题的关键是掌握平均数的计算方法。
24．（2023秋·五年级单元测试）工厂加工一批零件，25人做需要12天完成，如果每人每天加工140个零件，问这批零件共有多少个？现在每人每天多加工10个零件，且要求提前2天完成，则应增加多少人？
【答案】42000个；3人
【分析】根据工作效率×工作时间＝工作量，先求出一人12天加工多少个，再求出这批零件共有多少个；现在每人每天多加工10个零件，也就是现在每人每天加工（140＋10）个，且要求提前2天完成，也就是用（12－2） 天完成任务，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用工作量除以现在用的天数求出每天做多少个，再除以现在每人每天做的个数即可求出现在需要多少人完成任务，然后用现在用的人数减去原来的人数即可。
【详解】140×12×25
＝1680×25
＝42000（个）
42000÷ （12－2） ÷（140＋10） －25
＝42000÷10÷150－25
＝4200÷150－25
＝28－25
＝3（人）
答：这批零件共有42000个，应增加3人。
【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可解决问题。
25．（2020春·五年级课时练习）有两袋大米，第二袋大米比第一袋大米多40千克，如果从第二袋中取出大米5千克倒入第一袋，这时第二袋大米的重量正好是第一袋的3倍，原来两袋大米各重多少千克？
【答案】第一袋10千克，第二袋50千克
【分析】根据题意，可设原来第一袋有大米x千克，第二袋大米比第一袋大米多40千克，即第二袋有（x＋40）千克，等量关系式是：第二袋大米的重量－5＝（第一袋大米的重量＋5）×3，据此列方程求解即可。
【详解】解：设原来第一袋有大米x千克，则第二袋有（x＋40）千克，根据题意列方程：
x＋40－5＝（x＋5）×3
x＋35＝3x＋15
2x＝20
x＝10
x＋40＝10＋40＝50
答：原来第一袋有大米10千克，第二袋有50千克。
【点睛】找清两袋大米重量之间的等量关系，是解答本题的关键。
26．（2020春·五年级课时练习）五年级举行竞赛，共12道题。评分标准是：做对一题得10分，做错一道扣3分，没有做的题得0分。已知小红得了64分，又知道她有3道题没有做，问小红做对了多少道题？
【答案】7道
【分析】根据题意，可设小红做对了x道，题目已经告知，她有3道没做，那么做错了12－3－x＝9－x道，本题等量关系式是：做对x道得的分数－做错（9－x）道扣的分数＝64，列方程求解即可。
【详解】解：设小红做对了x道，那么做错了12－3－x道，根据题意列方程：
10x－3×（12－3－x）＝64
10x－36＋9＋3x＝64
13x＝91
x＝7
答：小红做对了7道。
【点睛】列方程解应用题，首先要弄清题意，设未知数，找出应用题中的等量关系式是解题的关键。
27．（2022春·五年级单元测试）甲、乙两人同时从相距1340米的各自的家中出发相向而行，甲骑自行车，每分钟行250米，乙步行，每分钟行90米。3分钟后，乙返回家中取忘带的书，再经过几分钟，甲追上乙？这时乙离家多少米？
【答案】2分钟；90米
【分析】设经过x分钟甲追上乙，此时乙离家的距离为（90×3－90x）米，甲行驶的距离为250（x＋3）米，两者相加就是1340米，据此解答。
【详解】解：设经过x分钟甲追上乙。根据题目信息可得：
250（x＋3）＋90×3－90x＝1340
250x＋750＋270－90x＝1340
160x＋1020＝1340
160x＝320
x＝2
90×3－90×2
＝270－180
＝90（米）
答：再设经过2分钟甲追上乙，这时乙离家90米。
【点睛】此题可以通过画图找到等量关系式，学生应掌握。
28．（2023秋·五年级单元测试）甲、乙两车从两地同时出发相向而行，4小时后在距离中点20千米处相遇，已知乙车平均每小时行78千米，问：甲车平均每小时多少千米？（列方程）
【答案】88千米或68千米
【分析】由于距离中点20千米处相遇，说明快车比慢车多走20×2＝40（千米），可以设甲车平均每小时x千米，由于不知道是甲车速度快还是乙车速度快，则有两种情况，当甲车速度快时，甲车路程－乙车路程＝40；当乙车速度快时，乙车路程－甲车路程＝40，据此即可列方程。
【详解】解：设甲车平均每小时行x千米。
4x－78×4＝40
4x－312＝40
4x－312＋312＝40＋312
4x＝352
4x÷4＝352÷4
x＝88
78×4－4x＝40
312－4x＝40
4x＝312－40
4x＝272
4x÷4＝272÷4
x＝68
答：甲车平均每小时行88千米；或甲车平均每小时行68千米。
【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键要清楚甲的速度可能比乙快，甲的速度也可能比乙慢。
29．（2021秋·五年级统考课时练习）由1、2、3、4、5这五个数字组成的无重复数字的五位数共有多少个？其中24135按从小到大排列是第几个？将这些五位数从大到小排列，第50个数是多少？
【答案】120个；37；35412
【分析】第一问：由题意可知，万位上的数字有五种选择，千位上的数字有四种选择，百位上的数字有三种选择，十位的数字有两种选择，个位数上的数字只有一种选择，所以五乘四乘三乘二乘二就是一共有多少个无重复的五位数。
第二问：由前一问可知，一共有120个不重复的五位数.其中以5开头的有24个，以4开头的有24个，以3开头的有24个，以2开头的有24个，以1开头的有24个，.以25开头的五位数有6个，.以24开头的五位数有6个，所以24123就是第37个数。
第三问：根据上一题的分析可知，以5开头的有24个，以4开头的有24个，那么第49个数字就是35421，第50个数字就是35412。
【详解】5×4×3×2×1＝120 （个）
24135排在第37个
第50个数是35412
答：无重复的五位数共有120个，24135排在第37个，第50个数是35412。
【点睛】本题考查数字的排列组合问题，作答此类题目的关键是通过审题分析得出每个数位上的数字有几种可能。