沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练第01讲整数和整除的意义(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练第01讲整数和整除的意义(原卷版+解析)，共19页。
一、整数的意义和分类
（1）自然数：零和正整数统称为自然数；
（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．
二、整除的意义
整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a能被b整除；或b能整除a.
整除的条件：
整除与除尽的关系
【考点剖析】
整数的意义和分类
例1.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．
最小的自然数是1 ；
最小的整数是0；
非负整数是自然数；
有最大的正整数，但没有最小的负整数；
有最小的正整数，但没有最大的负整数．
例2.把下列各数放入相应的圈内：
15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，．
整数自然数
正整数负整数
例3.（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；
（2）试比较正整数、负整数、零的大小；
（3）试比较负整数、自然数的大小．
例4.五个连续的自然数，已知中间数是，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．
例5.有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
，试求这三个自然数．
二、整除的意义
例6.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）
A. 5和20； B. 7和2； C. 34和17； D. 1.2和3.
例7.在数18，-24，0，2.5，，2005，3.14，-10中，整数有（ ）
A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个.
例8.老师问：“当时，时，能被整除吗？”一个同学回答：“因为商是，是整数，所以能被整除．”你认为对吗？
例9.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．
18和9（ ）15和30（ ）0．4和4（ ）
14和6（ ）17和35（ ）9和0．5（ ）
整除与除尽
例10.已知下列除法算式：
57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；
22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．
（1）表示能除尽的算式有哪几个？
（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？
例11.把表示下列算式的序号填入适当的空格内．
（1）30÷10；（2）7÷25；
（3）35÷0．1；（4）18÷3；
（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；
（7）27÷9；（8）16÷4．
除数能整除被除数的：________________________________________；
能够除尽的：________________________________________________．
整除的实际应用
例12.若两个整数a、b ()都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？
例13.15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？
例14.2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？
【过关检测】
一、单选题
1．（2021秋·上海奉贤·六年级校联考期末）下列各式中，是整除的算式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·上海·六年级专题练习）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）
A．14和7B．2.5和5C．9和18D．0.4和8
3．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）第一个数能整除第二个数的是（ ）
A．2和9；B．12和3；C．5和10；D．6和2.4
4．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）用0，1，4，7组成的所有四位数都能被（ ）
A．3整除B．2整除C．5整除D．7整除
5．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）能整除19，那么是（ ）
A．19B．38C．19的倍数D．19的因数
6．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除
②最小的素数是
③合数一定是偶数
④没有最大的素数
A．①、②B．②、③C．②、④D．③、④
二、填空题
7．（2022秋·上海·六年级专题练习），___________填“能”或“不能”）说3能整除4.8
8．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）如果，那么_________能整除__________．
9．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）如果n表示一个正整数，那么被4除的余数是______．
10. 最小的自然数是 .
11.最小的正整数是 .
12.数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这个性质的最小三位数是 .
13.如果8能被整除，那么的值是___________________________；
14.在中，是非负正整数的是 .
15.在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．
16.下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．
eq \\ac(○,1)3和0.3； eq \\ac(○,2)12和4； eq \\ac(○,3)5和15； eq \\ac(○,4)0.2和0.4； eq \\ac(○,5)1.4和14； eq \\ac(○,6)5和0.1．
17.下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．
eq \\ac(○,1)7和11； eq \\ac(○,2)9和2538； eq \\ac(○,3)2和5； eq \\ac(○,4)15和5；
eq \\ac(○,5)13和91； eq \\ac(○,6)2和0.4； eq \\ac(○,7)0.3和6； eq \\ac(○,8)1.5和2.5．
18.五个连续的自然数，已知中间数是，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．
三、解答题
19.把下列各数填在适当的内:
9，0，0.23, -53, , 26, -1
正整数 负整数 自然数
20.先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？
－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．
整数自然数
正整数负整数
21.是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．
22.把表示下列算式的序号填入适当的空格内．
（1）30÷10；（2）7÷25；
（3）35÷0．1；（4）18÷3；
（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；
（7）27÷9；（8）16÷4．
除数能整除被除数的：________________________________________；
能够除尽的：________________________________________________．
23.有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？
24.一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？
25.在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？
第01讲 整数和整除的意义
【知识梳理】
一、整数的意义和分类
（1）自然数：零和正整数统称为自然数；
（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．
二、整除的意义
整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零. 即称：a能被b整除；或b能整除a.
整除的条件：
整除与除尽的关系
【考点剖析】
整数的意义和分类
例1.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．
最小的自然数是1 ；
最小的整数是0；
非负整数是自然数；
有最大的正整数，但没有最小的负整数；
有最小的正整数，但没有最大的负整数．
【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×．
【答案】
【解析】（1）错误，最小的自然数是0； （2）错误，不存在最小的整数；
（3）正确； （4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数；
（5）错误，最小的正整数是1，最大的负整数是－1．
【总结】本题主要考查与整数有关的概念．
例2.把下列各数放入相应的圈内：
15，－1，－0.2，0，－63，0.7，13，－0.2323…，．
整数自然数
正整数负整数
【答案】整数：15，－1，0，－63，13； 自然数：15，0，13；
正整数：15，13； 负整数：－1，－63．
【解析】整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零．
【总结】本题主要考查整数的分类．
例3.（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系；
（2）试比较正整数、负整数、零的大小；
（3）试比较负整数、自然数的大小．
【答案】（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；
（2）正整数大于0，负整数小于0，正整数大于负整数；
自然数大于负整数；
例4.五个连续的自然数，已知中间数是，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．
【答案】． 这五个数是：2、3、4、5、6．
【解析】列方程：
解得：
∴ 这五个数是：2、3、4、5、6．
【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数．
例5.有三个自然数，其和是13，将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求：
，试求这三个自然数．
【答案】3，10，0．
【解析】设这三个数分别为，，；
则
解得：
∴ 这三个数是3，10，0．
【总结】本题主要是对题目中条件的理解，同一个数可以用不同的形式去表示．
二、整除的意义
例6.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）
A. 5和20； B. 7和2； C. 34和17； D. 1.2和3.
【答案】C；
【解析】解：A、20能被5整除，故A不符合题意；B、没有整除关系，故B不符合题意；C、34能被17整除，故C符合题意；D、1.2不是整数，故D不符合题意；因此答案选C.
例7.在数18，-24，0，2.5，，2005，3.14，-10中，整数有（ ）
A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个.
【答案】D；
【解析】解：在上述数中，其中整数有18，-24，0，2005，-10共5个，故答案选D.
例8.老师问：“当时，时，能被整除吗？”一个同学回答：“因为商是，是整数，所以能被整除．”你认为对吗？
【答案】不对
【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0，忽略了对被除数、除数的要求；
【总结】本题主要考查整除所满足的条件．
例9.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的（ ）内打“√”，不能整除的打“×”．
18和9（ ）15和30（ ）0．4和4（ ）
14和6（ ）17和35（ ）9和0．5（ ）
【答案】横向：√×××××
【解析】整除的意义：整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．只有18和9满足；
【总结】本题主要考查整除所满足的条件．
整除与除尽
例10.已知下列除法算式：
57÷7=8……1；21÷7=3；22÷0.2=110；
22÷5=4.4；0÷3=0；2÷4=0.5．
（1）表示能除尽的算式有哪几个？
（2）哪些算式中可以说被除数能被除数整除？
【答案】（1）21÷7=3；22÷0.2=110； 22÷5=4.4； 0÷3=0；2÷4=0.5．
（2）21÷7=3； 0÷3=0．
【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；
【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．
例11.把表示下列算式的序号填入适当的空格内．
（1）30÷10；（2）7÷25；
（3）35÷0．1；（4）18÷3；
（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；
（7）27÷9；（8）16÷4．
除数能整除被除数的：________________________________________；
能够除尽的：________________________________________________．
【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）；
能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；
【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．
整除的实际应用
例12.若两个整数a、b ()都能被整数 c 整除，它们的和、差、积也能被 c 整除吗？为什么？
【答案】能，原因略；
【解析】设，（是整数，且）；
则：； ； ；
∴它们的和、差、积也能被 c 整除．
【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用．
例13.15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？
【答案】两种分法：（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支．
【解析】将15分解可得：
题目要求每人不止1支，排除掉1和15，故有两种分法：
（1）3个人，每人5支；（2）5个人，每人3支．
【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．
例14.2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？
【答案】星期六
【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节
间隔366天，则：，
∴2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六．
【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021秋·上海奉贤·六年级校联考期末）下列各式中，是整除的算式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据整除的定义逐项判断即可．
【详解】解：A选项，中有余数，不是整除的算式，不合题意；
B选项，是整除的算式，符合题意；
C选项，中商不是整数，不合题意；
D选项，中被除数与除数不是整数，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查整除算式的识别，解题的关键是掌握整除的定义，若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a）．
2．（2022秋·上海·六年级专题练习）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）
A．14和7B．2.5和5C．9和18D．0.4和8
【答案】A
【分析】由整除的定义，可得．
【详解】解：因为，
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的除法；熟练掌握有理数的整除的意义是解题的关键．
3．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）第一个数能整除第二个数的是（ ）
A．2和9；B．12和3；C．5和10；D．6和2.4
【答案】B
【分析】根据整除的定义逐项验证即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
故选：B．
【点睛】本题考查整除定义，熟记整除定义是解决问题的的关键．
4．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）用0，1，4，7组成的所有四位数都能被（ ）
A．3整除B．2整除C．5整除D．7整除
【答案】A
【分析】利用所有位上的数的和能被整除，这个数就能被整除
【详解】∵组成的四位数如果是，
∴就不能被或、整除，
∵组成的四位数各个位上的数的和都为，
∴组成的所有四位数能被整除，
故选：A
【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握数的整除是解决问题的关键
5．（2023秋·上海徐汇·六年级上海市徐汇中学校考期末）能整除19，那么是（ ）
A．19B．38C．19的倍数D．19的因数
【答案】D
【分析】根据整除的概念，即可求解．
【详解】解：能整除19，那么是19的因数，
故选：D
【点睛】此题考查了整除的概念，掌握整除的概念是解题的关键，整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说a能被b整除(或说b能整除a)．
6．（2022秋·上海徐汇·六年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除
②最小的素数是
③合数一定是偶数
④没有最大的素数
A．①、②B．②、③C．②、④D．③、④
【答案】C
【分析】利用整除的定义、素数定义及合数定义判断即可
【详解】解：能够除尽的算式，商为整数，叫做被除数能被除数整除，故①错误；
最小的素数是，故②正确；
合数不一定是偶数，例如：是合数但是不是偶数，故③错误；
没有最大的素数，故④正确，
故选：C
【点睛】本题考查了有理数的除法，整除，素数，合数，解题的关键是掌握有理数的除法和整除，理解素数和合数的定义
二、填空题
7．（2022秋·上海·六年级专题练习），___________填“能”或“不能”）说3能整除4.8
【答案】不能
【分析】整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说a能被b整除（或说b能整除a）．
【详解】解：因为，都是小数，不是整数，
故不能说3能整除．
故答案为：不能．
【点睛】本题考查的是数的整除性问题，理解整除的概念是解题的关键．
8．（2022秋·上海·六年级校考阶段练习）如果，那么_________能整除__________．
【答案】 3 15
【分析】整数a除以整数b ()， 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除( 也可以说b能整除a )， 根据整除的意义解答．
【详解】解∶如果，那么3能整除15，
故答案为∶3、15．
【点睛】此题主要考查整除的意义，掌握整除的意义是解决有关的问题的关键．
9．（2022秋·上海宝山·六年级统考期中）如果n表示一个正整数，那么被4除的余数是______．
【答案】3
【分析】根据表示n的4倍加3，可知被4除的余数．
【详解】因为n表示一个正整数，
所以，
即被4除的余数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了整除问题，掌握的含义是解题的关键．
10. 最小的自然数是 .
【答案】0；
【解析】解：最小的自然数为0.
11.最小的正整数是 .
【答案】1
12.数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这个性质的最小三位数是 .
【答案】107；
13.如果8能被整除，那么的值是___________________________；
【答案】1,2,4,8；
14.在中，是非负正整数的是 .
【答案】+5，；
【解析】解：因为，所以在上述数中，非负正整数的是+5，.
15.在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．
【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．
【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数，统称为整数．
【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．
16.下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．
eq \\ac(○,1)3和0.3； eq \\ac(○,2)12和4； eq \\ac(○,3)5和15； eq \\ac(○,4)0.2和0.4； eq \\ac(○,5)1.4和14； eq \\ac(○,6)5和0.1．
【答案】③
【解析】整数除以整数，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说能被整除；或者说能整除．
【总结】本题依旧考查整除的概念．
17.下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．
eq \\ac(○,1)7和11； eq \\ac(○,2)9和2538； eq \\ac(○,3)2和5； eq \\ac(○,4)15和5；
eq \\ac(○,5)13和91； eq \\ac(○,6)2和0.4； eq \\ac(○,7)0.3和6； eq \\ac(○,8)1.5和2.5．
【答案】②③⑤⑥⑦
【解析】能除尽是指所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．
【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．
18.五个连续的自然数，已知中间数是，那么其余四个数分别是______、______、______、______．若这五个连续自然数的和是20，试求这五个数．
【答案】． 这五个数是：2、3、4、5、6．
【解析】列方程：
解得：
∴ 这五个数是：2、3、4、5、6．
【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数．
三、解答题
19.把下列各数填在适当的内:
9，0，0.23, -53, , 26, -1
正整数 负整数 自然数
【答案】9，26； -53，-1；9，0，26；
【解析】解：在9，0，0.23, -53, , 26, -1中，其中正整数有：9，26；负整数有：-53，-1；自然数有9，0，26.
20.先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？
－1，2，－0.3……，15，－0.7，0，3.83，0.3，1，4.732732……，－8，10．
整数自然数
正整数负整数
【答案】整数：－1，2，15，0，1，－8，10； 自然数：2，15，0，1，10；
正整数：2，15，1，10； 负整数：－1，－8；
从小到大排序为：－8，－1，－0.7，－0.3，0，0.3，1，2，3.83，4.732732……，
10，15；
其中最小的正整数是1，最小的自然数是0，最大的负整数是－1．
21.是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的正整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数．
【答案】最小的正整数是1，最小的负整数不存在，最小的自然数是0，不存在最大的正整数，最大的负整数是－1，不存在最大的自然数．
22.把表示下列算式的序号填入适当的空格内．
（1）30÷10；（2）7÷25；
（3）35÷0．1；（4）18÷3；
（5）0．4÷2；（6）3．9÷0．3；
（7）27÷9；（8）16÷4．
除数能整除被除数的：________________________________________；
能够除尽的：________________________________________________．
【答案】除数能整除被除数的：（1）（4）（7）（8）；
能够除尽的：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；
【总结】本题主要考查整除和除尽的区别．
23.有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？
【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15．
【解析】因为，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．
【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
24.一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？
【答案】不对，因为4不能整除342．
【解析】，余数不为0．
【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．
25.在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？
【答案】300，400，200
【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．
【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．