沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练重难点03循环小数化为分数(原卷版+解析)

这是一份沪教版六年级暑假预习数学核心知识点与常见题型通关讲解练重难点03循环小数化为分数(原卷版+解析)，共18页。
1.【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示. 分数、小数进行比较时也需要进行互化. 我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要.
例如：如何将无限循环小数化成分数.
解1：因为，所以，又因为，所以，从而得.
解2：因为，，两式相减得：
，又，所以，从而得.
用上述方法将无限循环小数化成小数（需要写出过程）.
2.将下列循环小数化为分数．
（1）；（2）；（3）；（4）．
3.求证：．
4.求证：．
【过关检测】
一、单选题
1．将无限循环小数化为分数，可设，则，解得：．仿此，将无限循环小数化为分数为（ ）.
A．B．C．D．
2．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将，则，解得，即，仿此方法，将化成分数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
3．一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，那么应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由，可知，所以，解方程得：．于是，得．将写成为分数形式是______；将写成为分数形式是______．
4．无限循环小数可以写成分数形式，求解过程是：设，则，于是可列方程，解得，所以．若把化成分数形式，仿照上面的求解过程，可得_____．
5．把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由可知，，所以．解方程，得，于是．仿照上述方法，无限循环小数化为分数是___________．
6．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，以无限循环小数为例：设，由可知，，所以，解方程，得于是，得．运用上面的方法可以将化成分数形式为______．
三、解答题
7．（1）计算________．
（2）________．
8．阅读材料：数学通古达今、博大精深，奥妙无穷，为使同学们在更广阔的数学天地中提升自学能力，我们七年级上册的数学教材“实验与探究”中，有一篇文章“无限循环小数化分数”，教我们用方程的思想按如下方法，把无限循环小数化为分数.请认真研读下列例题，理解例题中解决数学问题的思想、方法，然后学习、借鉴、类比、迁移这些思想、方法解答下列三个问题：
以0.为例. 设0.＝x，由0.＝0.777…，可知10x＝7.777…，所以10x＝7+x，解得x＝，于是0. ＝．
(1)类比：请按照这个方法把无限循环小数0.化为分数；
(2)迁移：请按照这个方法把无限循环小数0.化为分数；
(3)拓展：请按照这个方法把无限循环小数1.化为分数.
9．阅读材料，解答下面问题．
无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式．下面以为例说明：
设①，
由．
可得②，
由②-①，得
解得：，所以，
模仿：
（1）将无限循环小数化成分数形式．
（2）_______．（直接写出答案）
10．阅读下列材料、并完成任务.
无限循环小数化分数
我们知道分数写出小数形式即，反过来，无限循环小数写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.
先以无限循环小数为例进行讨论.
设，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.
再以无限循环小数为例，做进一步的讨论.
无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.
设，由可知，.
所以.解方程，得，于是，.
类比应用（直接写出答案，不写过程）
① .② .③ .
能力提升
将化为分数形式，写出过程.
拓展探究
① ；
②比较大小 1（填“”或“”或“”）；
③若，则 .
11．阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设，，可得方程：，解得，即．参考以上方法，解决下面的问题．
(1)把化成分数．
(2)把化成分数．
(3)把化成分数．
(4)通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？
重难点03循环小数化为分数
【考点剖析】
1.【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示. 分数、小数进行比较时也需要进行互化. 我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要.
例如：如何将无限循环小数化成分数.
解1：因为，所以，又因为，所以，从而得.
解2：因为，，两式相减得：
，又，所以，从而得.
用上述方法将无限循环小数化成小数（需要写出过程）.
【答案】；；
【解析】解：（1）因为，所以，又因为，所以，从而得. （2），；②–①得：，所以.
2.将下列循环小数化为分数．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）；（2）；
；（4）．
【总结】考察循环小数化为分数的方法，参考知识精要．
3.求证：．
【答案】设，则，所以，所以，所以．
【解析】考察分数化为循环小数的方法．
4.求证：．
【答案】设，则，，所以，
所以，所以．
【解析】考察分数化为循环小数的方法．
【过关检测】
一、单选题
1．将无限循环小数化为分数，可设，则，解得：．仿此，将无限循环小数化为分数为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，设设，则，根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可．
【详解】设，
则，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查无限循环小数化分数的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将，则，解得，即，仿此方法，将化成分数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据例题方法直接计算即可得到答案；
【详解】解：设，则，
解得，
故选D．
【点睛】本题考查循环小数转化分数，解题的关键是读懂题目中方法．
二、填空题
3．一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式，那么应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设，由，可知，所以，解方程得：．于是，得．将写成为分数形式是______；将写成为分数形式是______．
【答案】
【分析】仿照化为的过程进行解得即可．
【详解】解：
设，
所以，
所以，
解得：；
设，
所以，
所以，
解得：．
故答案：，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．
4．无限循环小数可以写成分数形式，求解过程是：设，则，于是可列方程，解得，所以．若把化成分数形式，仿照上面的求解过程，可得_____．
【答案】
【分析】设，找出规律公式，解方程即可．
【详解】设，则
于是可列方程为：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化为整式形式．
5．把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，设，由可知，，所以．解方程，得，于是．仿照上述方法，无限循环小数化为分数是___________．
【答案】
【分析】设，则，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴化为分数是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解无限循环小数，列出方程．
6．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式，以无限循环小数为例：设，由可知，，所以，解方程，得于是，得．运用上面的方法可以将化成分数形式为______．
【答案】
【分析】设，则，列出关于x的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：设，则，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三、解答题
7．（1）计算________．
（2）________．
【答案】
【分析】（1）首先将每个循环小数改写成分数，然后再根据异分母分数加法法则计算即可；
（2）首先将每个循环小数改写成分数，然后再根据分数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了分数的混合运算，解本题的关键在把循环小数转化为分数．
8．阅读材料：数学通古达今、博大精深，奥妙无穷，为使同学们在更广阔的数学天地中提升自学能力，我们七年级上册的数学教材“实验与探究”中，有一篇文章“无限循环小数化分数”，教我们用方程的思想按如下方法，把无限循环小数化为分数.请认真研读下列例题，理解例题中解决数学问题的思想、方法，然后学习、借鉴、类比、迁移这些思想、方法解答下列三个问题：
以0.为例. 设0.＝x，由0.＝0.777…，可知10x＝7.777…，所以10x＝7+x，解得x＝，于是0. ＝．
(1)类比：请按照这个方法把无限循环小数0.化为分数；
(2)迁移：请按照这个方法把无限循环小数0.化为分数；
(3)拓展：请按照这个方法把无限循环小数1.化为分数.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可得到结果；
（2）仿照阅读材料中的方法计算即可得到结果；
（3）仿照阅读材料中的方法和（1）结论进行计算即可得到结果．
【详解】（1）解：设，
由，
可知：，
∴，
∴，
解得，
∴ ；
（2）解：设，
由，
可知：，
∴，
∴，
解得，
∴ ；
（3）解：∵，
由（1）得
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
9．阅读材料，解答下面问题．
无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式．下面以为例说明：
设①，
由．
可得②，
由②-①，得
解得：，所以，
模仿：
（1）将无限循环小数化成分数形式．
（2）_______．（直接写出答案）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法即可得出结论；
（2）根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法（×10换成×100）即可得出结论；
【详解】（1）解：设①
由…
可得②
由②-①，得
解得
∴
（2）设=x，
方程两边都乘以100，可得100×=100x
由=0.1212…，可知100×=12.1212…=12+，
即12+x=100x．
解得：．即
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，能够仿照例题将循环小数转化为分数是解题的关键．
10．阅读下列材料、并完成任务.
无限循环小数化分数
我们知道分数写出小数形式即，反过来，无限循环小数写成分数形式即，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.
先以无限循环小数为例进行讨论.
设，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.
再以无限循环小数为例，做进一步的讨论.
无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法.
设，由可知，.
所以.解方程，得，于是，.
类比应用（直接写出答案，不写过程）
① .② .③ .
能力提升
将化为分数形式，写出过程.
拓展探究
① ；
②比较大小 1（填“”或“”或“”）；
③若，则 .
【答案】类比应用:①；②；③；能力提升:;拓展探究：①;②；③
【分析】类比应用：根据转化分数的方法，设=x，仿照例题的解法即可得出结论；根据转化分数的方程，分别设=x，=x，仿照例题的解法即可得出结论；
能力提升：设=x,由1000x-x=213求解；
拓展探究：①设x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999，即可得出结果；②先将化成分数即可得出结果；③设=x,y①,则1000x =②,由②-①式可得出结果.
【详解】类比应用
解：①设=x，则，所以，解方程，得，得=；
②设=x，则，.所以.解方程，得，=；
③设=x，则，.所以.解方程，得.
故答案为：①；②；③；
能力提升
解：设，，
，
，
，
于是.
拓展探究：
①设x,则10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999,所以x=;
②设x,则10x=9.9999…,得10x-x=9,解得x=1,故=1；
③设=x,y,
则1000x=,
所以1000x-y=138,
又x=，所以y=.
故答案为：①；②=；③.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，能够仿照例题将循环小数转化为分数是解题的关键．
11．阅读与理解：用下面的方法可以把循环小数化成分数：设，，可得方程：，解得，即．参考以上方法，解决下面的问题．
(1)把化成分数．
(2)把化成分数．
(3)把化成分数．
(4)通过阅读，解题，你有什么发现与收获吗？
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见详解
【分析】（1）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去，然后解方程即可；
（2）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘变为第二个算式，再根据等式的性质，在方程两边同时减去，然后解方程即可；
（3）把循环小数化成一般写法，然后设循环小数，根据等式的性质，在等式两边同时乘、1000变为第二、三个算式，再根据等式的性质，得到关于的方程，然后解方程即可；
（4）根据题意和解题过程说出自己的发现即可．
【详解】（1）解：设，
，
，
，
，
解得：；
（2）设
，
，
，
，
；
（3）设，
，
，
，
，
，
；
（4）我发现纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是，的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分．
【点睛】本题考查了将无限循环小数化为分数的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据等式的性质建立一元一次方程是关键．