2024-2025学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市沈河区九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分选择题（共30分）
一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．俯视图是有圆心的圆，故A不符合题意；
B．俯视图是圆，故B不符合题意；
C．俯视图是正方形，故C不符合题意；
D．俯视图是三角形，故D符合题意．
故选：D．
2. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的值可能是（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】由题知，因为关于的一元二次方程有实数根，
所以，解得，显然只有A选项符合题意，
故选：A．
3. 如图①是一个花架，图②是其侧面示意图，若，，，则的长为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，即，
解得：，
故选：C．
4. 不透明袋子中有红、黄小球各2个，四个小球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球不放回，再从剩余的小球中随机摸出一个，则两次摸出的都是红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有2种，
两次摸出的都是红球的概率为，
故选：D．
5. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（ ）

A. 四边形由矩形变为平行四边形B. 对角线的长度减小
C. 四边形的面积不变D. 四边形的周长不变
【答案】C
【解析】A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意；
B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意；
C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；
D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意，
故选：C．
6. 菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（）
A. 2B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】四边形是菱形，
是等边三角形，
由作图可知，
故选：A．
7. 关于反比例函数，下列结论正确的是（）
A. 图象位于第一、三象限B. 点和都在该图象上
C. 当时，D. y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】A、，
图象位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意；
B、，，
点和都在该图象上，正确，符合题意；
C、，
图象位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
当时，，
时，，原说法错误，不符合题意；
D、，
图象位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，原说法错误，不符合题意，
故选：B．
8. 如图是用12个相似的直角三角形组成的图案，点G，O，A，N在同一条直线上，若，则长为（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】B
【解析】∵12个相似的直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴，
故选：B．
9. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，是线段的两个黄金分割点，
线段的长为，
，
，
，
四个黄金分割点组成的正方形的边长为．故选：C．
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】开口向下，；
对称轴在轴右侧，，
则；
抛物线与轴的交点在轴的上方，，
∴，
所以①正确；
由于抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴，
故②正确；
∵抛物线与x轴一个交点横坐标，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴另一个交点，
∴当，故③正确；
∵时，，
时，，
∴，
∴，
即，故④正确；
∵抛物线开口向下，
∴时，，
∴当时，，
∴
∴，故⑤错误，
∴正确的有4个，
故选：D．
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分）
11. 已知抛物线y与x的部分对应值如下表，其对称轴是直线x=_________．
【答案】4.5
【解析】由图可知，和时对应的函数值相等，
抛物线的对称轴为直线．
故答案为：．
故答案为：4.5
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在函数的图象上，，两点在轴上，，若点的横坐标为4，则的值为__________．
【答案】12
【解析】四边形是正方形，
，，
点的横坐标为4，
，
，
设，，
，
，
，
，
故答案为：12．
13. 土圭之法是在平台中央竖立一根木杆．观察杆子日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短．冬至日影最长．这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长．发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等．测得第一时刻的影长为1.5尺，第二时刻的影长为24尺．则木杆的高度是_________尺．

【答案】6
【解析】，
（尺），
答：木杆的高度是6尺，
故答案为：6
14. 如图，网格中的每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为_________．
【答案】
【解析】如图：延长到点，连接，
由题意得：，
，
，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
故答案为：．
15. 如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为__________．
【答案】48
【解析】设正方形的边长为，由旋转可得：点在的运动过程中，，
，，
抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线，
有最大值6，，解得：（取正值），
，
当点停止运动时，点运动到点处，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，如图：
，
四边形是正方形，
，
，
点、、在同一条直线上，
．
故答案为：48．
三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 解决下列问题：
（1）解方程：；
（2）计算：．
解：（1），
，
，
则，
所以．
（2）原式
．
17. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明“．小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C（秋分）、D（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀．
（1）小李从中随机抽取一张邮票，抽中是B（寒露）的概率是 ．
（2）小李先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小李两次抽取的邮票中至少有一张是D（立秋）的概率．
解：（1）一共有4张邮票，符合题意的有1张，
所以，抽中B的概率是．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
一共有16种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有7种，所以两次抽取邮票中至少有一张是D的概率是．
18. 如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）过点E作于点H，若，求的度数．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
即，
∵，D为中点
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∵，
∴，
∴，
即．
19. 如图是某地下停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为40米，宽为22米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为648米²，求车道的宽度（单位：米）．
解：设车道的宽度为米，则停车位所占区域的面积等同于长为米、宽为米的矩形的面积，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：车道的宽度为4米．
20. 某小区门口安装了汽车出入道闸，当道闸关闭时如图1，四边形为矩形，长3米，长1米．与水平地面垂直，点D到地面的距离长为0.2米．在道闸打开的过程中如图2，边固定，连杆分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．一辆轿车想要通过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米，当道闸打开至时，轿车能安全通过道闸？请说明理由．（参考数据：， ）
解：能安全通过，理由如下：
当轿车通过闸机时，假设轿车顶端在点P处，过点P作于点E，过点作于点Q，
由题意得：，，，
∴，，
∴在中，，
∴
∴能通过．
21. 【问题提出】
在物理课上，小明同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L亮度的实验，如图，已知串联电路中，电流与电阻R、灯丝的阻值之间关系为通过实验得出如下数据：
；
（1）填空：的值为Ω，a的值为；
【问题探究】
根据以上实验，构建出函数结合表格信息，探究函数的图象与性质；
（2）①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是（）
A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【问题升华】
（3）结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为．（结果精确到0.1）
解：（1）根据题意，，，，
故答案为：4，4；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象如下：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小，
故答案为：；
（3）如图：
由函数图象知，当或时，
即当时，的解集为或，
故答案为：或．
22. 北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
根据上述数据，求出y与x的函数关系式；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系设她平时训练时入水点与原点的水平距离为比赛当天入水点与原点的水平距离为，请通过计算比较与的大小；
（3）在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围．
解：（1）由题意，根据表格数据，抛物线顶点，抛物线过，，
抛物线的对称轴是直线．
抛物线．
抛物线过，
．
．
抛物线为；
（2）由题意，平时跳水训练的抛物线为，
令，则（不合题意，舍去）或．
．
又当天跳水比赛的抛物线为，
令，则（不合题意的值已舍去），
即；
（3），
即，
则，
当时，，
解得：．
23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，旋转角为
【初步感知】
（1）如图1，连接，将三角形纸片绕点B旋转，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
向阳小组的小明同学首先推导出的大小，接着小亮同学通过延长交于点H并连接，得到四边形的形状，然后小颖又推导出…你受到了什么启发？请写出完整的解答过程；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由．
解：（1）．
在和中，，
，
，，
，
即，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
，
，，，
；
（2）分别延长交于点，连接交于点，
根据（1）得，
，
是中线，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形矩形，
，，，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
设，，则，
在和中，，
，
，
由直角三角形中，由勾股定理得：，
，
解得；
，
；
（3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；理由如下：
如图，当时，此时是直角三角形，
过点作于点，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
；
如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点，
，
，
设，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
综上，，，三点能构成以为直角边的直角三角形；线段的长度为或．红
红
黄
黄
红
（红，红）
（红，黄）
（红，黄）
红
（红，红）
（红，黄）
（红，黄）
黄
（黄，红）
（黄，红）
（黄，黄）
黄
（黄，红）
（黄，红）
（黄，黄）
x
1
3
4
6
y
25
15
10
15
···
1
2
3
4
6
···
···
a
···
水平距离
0
4
h
5
5.5
竖直高度
10
10
11.25
10
6.25