2024-2025学年浙江省临海市九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2024-2025学年浙江省临海市九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中只有一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分．）
1. 下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意，
故选C.
2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底
B. 测量三角形的三个内角，其和等于
C. 随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量
D. 对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量
【答案】C
【解析】、把实心铁球放入水中，铁球会沉入水底是必然事件，此选项不符合题意；
、测量三角形的三个内角，其和等于是不可能事件，此选项不符合题意；
、随机抽取九年级（）班名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量是随机事件，此选项符合题意；
、对九年级（）班的每一名学生测量视力，该班的小明同学参加视力测量是必然事件，此选项不符合题意；
故选：．
3. 一元二次方程的解为（ ）
A. B.
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
，
∴，，
故选：．
4. 如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、∵直径，
∴，故不符合题意；
、∵直径，
∴，故不符合题意；
、∵直径，
∴，
∴，故不符合题意；
、∵直径，
∴与不一定相等，符合题意；
故选：．
5. 小张从《山海经》、《昆虫记》、《艾青诗集》3本书中随机拿两本书，恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，画出树状图，
∴共有6种等可能的结果，其中恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的结果数为2种，
∴恰好拿到《山海经》和《昆虫记》的概率．
故选：A．
6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
7. 如图，菱形的顶点，，在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接和交于点，
∵，菱形的顶点，，在上，
∴，，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴图中阴影部分的面积，
故选：A．
8. 如图，，，三点在同一直线上，和都是等腰直角三角形，连接．把绕点逆时针旋转一个角度，当时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
当时，垂直平分，
又∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9. 抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是．下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与的大小关系不确定
【答案】B
【解析】∵对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点是，
∴抛物线与轴的另一个交点是，
∴当时，，
∴，
故选：．
10. 如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A. 先变大后变小，最后不变
B. 先变小后变大，最后不变
C. 当时，先变小后变大，最后不变
D. 当时，先变大后变小，最后不变
【答案】C
【解析】设，，运动时间为t，速度为1，
当点D线段上时，，此时，，
则，
当时，，
∴当时，随t的增大，先变小再变大，
即当时，随t的增大，先变小再变大；
当时，，
∴当时，随t的增大而增大，
即当时，随t的增大而增大；
当点D在射线上时，，此时，，
∴，即的值不变，
综上，选项C说法正确，符合题意，选项A、B、D说法错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分．在答题卷的相应位置直接填写答案．）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
12. 已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值为______．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程的两根为和，
∴，
故答案为：．
13. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示：
估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位）
【答案】
【解析】根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率大约是．
故答案为：．
14. 如图，在扇形中，圆心角，是上的点，，则的度数为________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 抛物线与直线只有一个交点，且过点，，则等于________．
【答案】33
【解析】∵抛物线与直线只有一个交点，
∴抛物线顶点的纵坐标是1，
∴，
∵抛物线过点，，
∴点A、B关于直线对称，
∴，则，
∴，
将代入中，
得，
故答案为：33．
16. 如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是______．
【答案】
【解析】如图，过作于点，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过作交于点，
∴，
∴，
∴，
设与交于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，满分72分，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分．）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
，
或，
∴，；
（2），
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，∴，．
18. 投掷两枚相同的质地均匀的骰子，骰子六个面上的点数分别为，，，，，．求两枚骰子朝上一面的点数之和为的倍数的概率．
解：列表如下：
由表格可知一共有种等可能性的结果数，其中点数之和为的倍数的结果数有种，
∴两枚骰子朝上一面的点数之和为的倍数的概率．
19. 某药品经过两次连续降价后，其单价下降了，问：该药品平均每次降价的百分率是多少？
解：设某药品原价为元，该药品平均每次降价的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该药品平均每次降价的百分率是．
20. 如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）如图，若是的直径，，，求的长．
解：（1）连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）连接，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 我们可以用新的观点理解和探究旋转及其性质．如图1，平面内的每一个点都绕着这个平面上的某一个固定点旋转相同的角度，这种平面的运动叫平面的旋转，点叫旋转中心，角度叫旋转角．一个点与其运动后的点叫对应点；平面上两点所确定的直线与其对应点所确定的直线叫对应直线；两点所连线段与其对应点所连线段叫对应线段；以一点为端点经过另一点的射线与其对应点所确定的射线叫对应射线；两条射线所成的角与其对应射线所成的角叫对应角．平面旋转的对应点有如下性质：对应点到旋转中心的距离相等，如图1中．
（1）如图2，已知平面上的线段，用圆规和没有刻度的直尺在图上作出线段关于平面旋转后的对应线段（保留作图痕迹，不要求写作法），并依据对应点的性质证明对应线段．
（2）如图3，若关于平面旋转后的对应角为，依据对应点和对应线段的性质证明．．
（1）解：如图，线段即为所求，
∵点和点，点和点，是两组对应点，
∴，，
∵旋转角度相同，
∴，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接、，
∵和是对应角，
∴点和点，点和点，点和点，是三组对应点，
∵由（1）得对应线段相等，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴．
22. 二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
解：（1）由题意，，解得，
∴该二次函数的解析式为；
（2）将代入中，得，
即，
解得，，
∴这个函数不动点的坐标为和；
（3）由（2）知，，
∵，该抛物线的开口向上，对称轴为直线,
∴当时，y有最小值，
当时，y有最大值5，
∴的最大值与最小值的差为．
23. 如图1，，是上点，连接，，分别过，两点作，的平行线，交于点，点，分别过，作的切线交于点，连接，．
（1）求证：．
（2）如果的半径为．
①若，，在同一直线上，求的长．
②如图2，若，求阴影部分面积．
（1）证明：∵分别过，两点作，的平行线，交于点，点，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①由（1）得，
设，
∴，
∵，，在同一直线上，
∴，，
解得：，∴，
∵的半径为，∴；
②如图，延长、相交于点，连接，
∵分别过，作的切线交于点，
∴，，，∴，
∵，的半径为，由（1）得，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，，四边形是梯形，
∵，∴，，
∴，
∴．
24. 综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象．
实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表：
任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式；
解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同．
任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）；
任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）．
解：任务：设下落高度为，反弹高度为，
由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，
设，
当，；，时，，得，
∴函数解析式为；
任务：当时，，
∴，
当时，，
∴
∴所用时间是；
任务：由，
则反弹次，
最开始从最高点到落地的时间，
第次反弹到最高点的时间 ，
第次反弹到最高点的时间 ，
第次反弹到最高点的时间，
∴篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为．每批粒数
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数
90
280
352
554
930
1864
2793
发芽频率
2,1
2,3
1,4
试次
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
下落高度
80
90
100
110
120
反弹高度
40
45
50
56
60