中考数学二次函数的存在性问题重难点题型专训练习（13大题型）

这是一份中考数学二次函数的存在性问题重难点题型专训练习（13大题型），共25页。试卷主要包含了二次函数中矩形的存在性问题，二次函数中菱形的存在性问题，二次函数中正方形的存在性问题，二次函数中角度问题的存在性问题，二次函数中线段问题的存在性问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 二次函数中全等三角形的存在性问题
题型二 二次函数中相似三角形的存在性问题
题型三 二次函数中等腰三角形的存在性问题
题型四 二次函数中直角三角形的存在性问题
题型五 二次函数中平行四边形的存在性问题
题型六 二次函数中矩形的存在性问题
题型七 二次函数中菱形的存在性问题
题型八 二次函数中正方形的存在性问题
题型九 二次函数中角度问题的存在性问题
题型十 二次函数中线段问题的存在性问题
题型十一 二次函数中面积问题的存在性问题
题型十二 二次函数中最值的存在性问题
题型十三 二次函数中新定义的存在性问题
【经典例题一 二次函数中全等三角形的存在性问题】
【例1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C0,−3．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题二 二次函数中相似三角形的存在性问题】
【例2】（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，C0,−3，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标．
1．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由．
2．（21-22九年级上·上海静安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D．
(1)求直线AB的表达式；
(2)求tan∠ABD的值；
(3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标．
3．（22-23九年级下·湖北十堰·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交y轴于点，点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当面积最大时，求M点的坐标；
(3)如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题三 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例3】（22-23九年级上·天津东丽·期末）如图，已知抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若直线经过B，C两点，则________；_________；
(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得的值最小，直接写出点E的坐标；
(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
1．（2022·河南·模拟预测）已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为A，B（B在A的右边），与y轴的交点为C．
(1)写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论．
(2)当点B在原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)请你提出两个对任意的m值都能成立的正确命题．
2．（2024·山东聊城·二模）已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D．
(1)求b，c的值；
(2)是否存在以为底边的等腰，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说理由；
(3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标.
3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于，且二次函数的最大值为4．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)P是抛物线上一动点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点Q恰好在直线上?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题四 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例4】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标；
(3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023·陕西榆林·一模）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．

(1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标；
(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是直角斜边上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题五 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例5】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)E是直线上方抛物线上的一动点，当三角形面积最大时，求点E的坐标；
(3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线过B，C两点，其顶点为M，对称轴与直线交于点N．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)点P是线段上一动点，过点P作轴于点D，交抛物线于点Q．是否存在点P，使四边形为平行四边形？并说明理由．
2．（22-23九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式以及点C的坐标；
(2)点P是线段上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，设P点的横坐标为m，求线段的长与m的函数关系式，并求线段的最大值；
(3)抛物线与y轴交于D，线段与y轴交于F，在（2）基础上，线段上是否存在点P，使得点P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出满足条件的点P的坐标，并说明理由；如果不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，如图．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题六 二次函数中矩形的存在性问题】
【例6】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，若，求的面积．
(3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长．
(4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求三角形的面积；
(3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
(4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级上·河南·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）抛物线的顶点为（点在第四象限），与轴交于点，是对称轴上一点，为直角三角形；
(1)求出的值及顶点的坐标；
(2)求点的坐标；
(3)若是平面直角坐标系内一点，则是否存在一点，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题七 二次函数中菱形的存在性问题】
【例7】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点．
(1)求出抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是平面上一点，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积；
(3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题八 二次函数中正方形的存在性问题】
【例8】（2024·陕西汉中·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（22-23九年级上·广东珠海·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知直线和抛物线．
(1)当抛物线对称轴为直线时，求其解析式．
(2)设（1）中的抛物线与直线交于A、B两点，问该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得A、B、P与平面上一点Q构成正方形？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)已知点．若抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为，点D是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)点M是抛物线上一动点，过点M作轴交抛物线于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．

(1)求的值及该抛物线的对称轴；
(2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题九 二次函数中角度问题的存在性问题】
【例9】（2023·安徽合肥·一模）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段长度的最大值；
(3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．抛物线上有点，在第三象限的抛物线上存在点，且，求点的坐标．
2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

(1)求和的值；
(2)抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，．
①试判断的形状；
②证明：是直角三角形；
(3)在直线上是否存在点，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴为直线，D为上方抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【经典例题十 二次函数中线段问题的存在性问题】
【例10】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由．
(3)如图2，点是直线上一动点，过点作线段（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围．
1．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与直线交于，两点．

(1)求的长．
(2)在轴上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图，点是第三象限内直线下方的抛物线上的点，过点作轴的垂线，交轴于点，交直线于点，若点恰为线段的三等分点，求出点的坐标．
2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，直线经过两点．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求点C的坐标及直线l的表达式．
(3)在直线上方的抛物线上存在一动点P，过P点作轴，交于D点，请求出线段的最大值．
(4)在直线上方的抛物线上存在一动点P，直接写出P到直线距离的最大值．
3．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C， 抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
(1)直接写出：点A坐标 ，点C坐标 ；
(2)求该抛物线的解析式；
(3)在直线上方的抛物线上是否存在点M，使四边形面积最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由；
(4)将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
【经典例题十一 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例11】（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线交x轴于A，B两点，顶点为C．
(1)求的面积．
(2)在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上的一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得的面积等于．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级上·新疆·阶段练习）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足的x的取值范围．
(3)在线段下方的抛物线上存在点M，求面积的最大值，并求出点M的坐标．
3．（24-25九年级上·广东阳江·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求、两点的坐标；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【经典例题十二 二次函数中最值的存在性问题】
【例12】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知地物线的顶点坐标为．
(1)抛物线的解析式为 ；
(2)已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）；
(3)抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
1．（24-25九年级上·广西河池·阶段练习）如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，．
(1)求、的值和抛物线对称轴；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标．
2．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知抛物线 经过两点． 与y轴交于点 C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上一点，若 求出此时点P的坐标．
(3)在对称轴上是否存在点Q，使 周长最小，若存在，求出点Q坐标和 周长，若不存在，请说明理由．
3．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；
(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【经典例题十三 二次函数中新定义的存在性问题】
【例13】（24-25九年级上·河北保定·期中）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”．
(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由；
①；②；③．
(2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是1．
(1)函数是否为有上界函数？若是，请求出它的上确界；
(2)如果以10为上确界的有上界函数，求的值；
(3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【提出问题】
定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______；
【深入探究】
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·辽宁阜新·三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”．
(1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号）
(2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
(3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标．