数学选择性必修 第二册4.2 等差数列导学案及答案

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① 等差数列的概念
（1）文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（2）符号语言：
② 对等差数列概念的理解
（1）“从第2项起”是因为首项没有“前一项”。
（2）一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件。
（3）求公差d时，可以用d=an−an−1来求，也可以用d=an+1−an来求。注意公差是每一项与其前一项的差，当用an−an−1求公差时，要求n≥2,n∈N∗
（4）公差d∈R,当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d0时，数列为递增数列，如图4-2-1-2所示；
（2）当d0的等差数列{an}的四个结论不正确的是（ ）。
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列{ann}是递增数列
D.{an+3nd}是递增数列
基础达标
1．（2022·陕西宝鸡高二期中·知识点2,3）已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,a+1,2a+1，则该数列的通项公式为（ ）。
A.an=2n−5 Ban=2n−3
C.an=2n−1 D.an=2n+1
2．（知识点4）已知数列{an}，对任意的n∈N∗点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上，则{an}为（ ）。
A．公差为2的等差数列
B．公差为1的等差数列
C．公差为-2的等差数列
D.非等差数列
3．（2022·重庆二模·知识点1,3）已知公差不为0的等差数列{an}中，a2+a4=a6,a9=a62，则a10=( )。
A.52 B.5
C.10 D.40
4.(2022·湖北黄冈中学高二月考·知识点2）设x是a与b的等差中项，,x2是a2与-b2的等差中项，则a，b的关系是（ ）。
B.a=3b
C.a=-b或a=3b Da=b=0
5．（2022·上海普陀区二模·能力点2）已知等差数列{an}(n∈N∗)满足a3+a7=a52+1，则a5= 。
高考提升
6．（2022·广东佛山桂城中学高二阶段练习·能力点1,2）（多选）已知方程(x2−2x+m)(x2−2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则m-n的值等于（ ）。
A.−34 B.−12
C⋅34 D.12
7．（2023·湖北武汉外国语学校高二月考·能力点1,4）（多选）公差为d的等差数列{an}满足a2=5,a6+a8=30，则下面结论正确的有（ ）。
A.d=2
B.an=2n+1
C.1an2−1=14(1n+1n+1)
D.{1an2−1}的前n项和为n4(n+1)
8.(2022·广东顺德李兆基中学高二阶段练习·能力点4）若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3成等差数列且满足1x1+1x2=2x3，则称x1,x2,x3成一个“β等差数列”。已知集合M={x||x|≤200,x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“,"β等差数列”的个数为（ ）。
A.101 B.100
C.50 D.51
9．（2022·北京昌平区高二期末·能力点1）设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,a2=6，若数列{Sn}是等差数列，则S4= 。
10．（2022·广东佛山一中高二期中·能力点
4）“中国剩余定理”又称“孙子定理”。1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲。1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”。“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3整除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为 。
11．（2022·广东惠州高三阶段练习·知识点1,3）已知数列{an}的前n项和为Sn,n∈N∗，现有三个条件分别为：条件；条件 an+1−an=2;条件③S2=−4。请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答。您选择的条件是 和 。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn=1an⋅an+1，求数列{bn}的前n项和Tn。
12．（2022·江苏泰州中学检测·能力点1,3）已知数列{an}满足a1=6,an−1an−6an−1+9=0,n∈N∗且n≥2
（1）求证：数列{1an−3}为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=an(n+1)2，求数列{bn}的前n项和Tn
竞赛培优
13．（2021·全国高中数学联赛浙江赛区初赛·能力点4）已知二次函数f(x)=x2+ax+b (a,b∈R)有两个不同的零点，若f(x2+2x−1)=0有四个不同的根x1,x2,x3,x4(x1