高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列学案

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若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的前n项和公式为 Sn=
概念辨析
（1）等比数列{an}前n项和公式分q=1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论。
（2）q≠1时，公式Sn=a1(1−qn)1−q与Sn=a1−anq1−q是等价的，利用an=a1qn−1可以实现它们之间的相互转化。
② 等比数列前n项和公式的推导
设{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，前n项和为Sn。
方法一（错位相减法）：
Sn=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−1。 ①
在①式两边同乘 9得qSn=a1q+a1q2+a1q3+⋯+a1qn。 ②
由①-②，得(1−q)Sn=a1−a1qn，
所以，当q≠1时，Sn=a1(1−qn)1−q。
根据等比数列的通项公式an=a1qn−1，又可得到Sn=a1−anq1−q(q≠1)。
显然，当q=1时，Sn=na1。
方法二（定义法）：由等比数列的定义，得a2a1=a3a2=⋯=anan−1=q。根据比例的性质，得a2+a3+⋯+ana1+a2+⋯+an−1=Sn−a1Sn−an=q，故(1−q)Sn=a1−anq所得结论同上。
方法三（方程法）：由Sn=a1+a2+a3+⋯+an=a1+q(a1+a2+⋯+an−1)=a1+qSn−1=a1+q(Sn−an)得(1−q)Sn=a1−anq。 所得结论同上。
方法四（累加法）：an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(an−an−1)=a1+a1(q−1)+a2(q−1)+⋯+an−1(q−1)=a1+(a1+a2+⋯+an−1)(q−1)=a1+(Sn−an)(q−1)
整理，得(1-q)Sn=a1−anq。 所得结论同上。
例1-1（2022·湖北恩施高二期末）（多选）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3S3=21，则数列{an}的公比可能是（ ）。
A.-3 B.-2 C.2 D.3
解：设等比数列{an}的公比为q，则S3=a1+a1q+a1q2=3(1+q+q2)=21，所以q2+q−6=0解得q=2或q=-3。故选AC
例1-2（2023·全国甲高考）记Sn为等比数列{an}的前n项和。若8S6=7S3,则{an}的公比为 。
解：若q=1，则由8S6=7S3得8×6a1=7× 3a1，则a1=0，不合题意，所以q≠1，所以由8S6=7S3，可得8×a1(1−q6)1−q=7×a1(1−q3)1−q，即8(1−q6)=7(1−q3)，即8(1+q3)(1−q3)=7(1−q3)，即8(1+q3)=7，解得q=−12。故答案：−12
例1-3（2022·安徽六安第一中学月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4−a2=12,a5−a3=24，则S4a1+a3=（ ）。
A.6 B.3 C.2 D.1
解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q,则a4−a2=a1q3−a1q=12,a5−a3=a1q4−a1q2=24,∴a5−a3a4−a2=q=2,∴S4a1+a3=a1(1−q4)1−qa1+a1q2 = 3。故选B。
例1-4（2022·湖北团风中学高二周考）求下列数列的和。
(1)210+29×3+28×32+⋯+310--
(2)a+a2+a3+⋯+an。
解：(1)∵210+29×3+28×32+⋯+310表示首项为210，公比为32的等比数列的前11项和，.由等比数列的前n项和公式得210+29×3+
（2）当a=0时，原式＝0·9
当a=1时，原式＝n；
当a≠1且a≠0时，数列a,a2,a3,⋯,an是以a为首项，a为公比的等比数列，由等比数列前n项和公式得原式=a(1−an)1−a，当a=0也满足。
综上所述， a+a2+a3+⋯+an={n,a=1,a(1−an)1−a,a≠1。
知识点2 等比数列前n项和公式的函数特性
（1）当公比q≠时，等比数列的前n项和公式是Sn=a1(1−qn)1−q，它可以变形为 Sn=−a11−q。qn+a11−q,设A=a11−q,，则上式可写成Sn=−Aqn+A(A≠0,q≠0,q≠1,n∈N∗)的形式，则数列S1-S2,S3,⋯,Sn,···的图像是函数y=−Aqx+A图像上的一群孤立的点。
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数。
（2）当公比q=1时，因为a1≠0,所以Sn=na1是关于n的正比例函数（常数项为0的一次函数），则数列S1,S2,S3, ,Sn,···的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点。
在等比数列前n项和的公式中，我们有Sn=a11−q−qan1−q=a11−q−an+11−q(q≠1) 。若令A=1q−1,B=a1q−1,C=qq−1（显然A，B，C均不为0，A≠-1,C≠1)，则Sn=Aan+1−B=Can−B。这表明，如果数列{an}是公比不为1的等比数列，则Sn是an或an+1的一次函数。
于是我们得到：已知Sn是{an}的前n项和，对于Sn=Aan+1−B=Can−B，当且仅当ABC≠0,A≠-1,C≠1时，{an}是等比数列。
例2-1（2022·西安交大附中模拟预测）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=3n−2+k，则k的值为（ ）。
A.19 B.−19 C.1 D.-1
解：Sn=3n−2+k=19×3n+k,，由等比数列的前n项和公式变式Sn=−Aqn+A(A≠0,q≠0,q≠1)知，A=−19,k=A, k=−19，故选B。
例2-2（2022·天津大邱庄镇中学质检）若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an−1(n∈N∗)，则S6等于 。
解：Sn=2an−1(n∈N∗),当n=1时，a1=S1=2a1−1,∴a1=1当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=2an−2an−1,∴an=2an−1,⋯anan−1=2，
数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，S6=1−261−2=26−1=63。答案：63
知识点3 等比数列前n项和的性质
设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质：
（1）当q=1时，SnSm=nm；当q≠±1时，SnSm=1−qn1−qm。
(2)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm。
（3）设S偶 S奇分别是偶数项的和与奇数项的和和。若项数为2n，则S偶S奇=q;；若项数为2n+1，则S奇−a1S偶=q。
（4）当q≠-1时，连续m项的和（如Sm,S2m−SmS3m−S2m,⋯)仍组成等比数列（公比为qm,m≥2)。
特别提醒
①当q=-1且k为偶数时，Sk,S2k−Sk,S3k−S2k,···不是等比数列；
②当q≠-1，或q=-1且k为奇数时，Sk,S2k−Sk,S3k−S2k,···是等比数列。
由①②可知，当连续m项的和（如Sm,S2m−SmS3m−S2m,⋯)不为零时，性质（4）才成立。
例3-1（2022·云南玉溪高二期末）记Sn为等比数列{an}的前n项和。若S2=4,S4=6，则S8=( )。
A. C⋅192 D.⋅212∴
解：{an}是等比数列，S2,S4−S2,S6−S4,S8−S6也是等比数列，即4,2,S6−6,S8−S6成等比数列，4×(S6−6)=22,∴.S6=7。 又(S6−6)2=2×(S8−S6),, .S8=152。 故选A。
例3-2（2022·甘肃宁县第二中学期中）已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比q= 。
解：方法一：设S偶与 S奇分别是该等比数与列偶数项的和与奇数项的和，
则S侧=q· S奇 ∴q=17085=2。
方法二：设该等比数列的项数为2n，易得该等比数列的奇数项和偶数项也分别成等比数列，且公比均为q2,∴a1[1−(q2)n]1−q2=85①,a1q[1−(q2)n]1−q2=170 ②，∴②÷①得q=2。
知识点4 等比数列前n项和的实际应用
（1）解等比数列模型的求和应用题，一是直接运用公式求和；二是由特例入手，归纳总结一般情 是（ ）。（1里＝500m）形，进而建立等比数列求和的模型，再求其和；三是寻找递推公式，把它转化为数列的问题。
（2）日常生活中的增长率、利润、利息、浓度匹配、养老保险等问题都与等比数列及其求和知识有关，解答这些问题时，应在认真审题的基础上先将问题数学化，然后再函数化，最后数列化，即用数列的知识和方法求解实际问题。
①“零存整取”的计
“零存整取”是单利计算，属于等差数列求和问题。其本利和为S=x[n+n(n+1)r2]，其中x代表每月存入金额，n代表存期（单位：月），r代表月利率，S代表本金与利息和，简称本利和。
（3）解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列的知识求解。在建模时要明确是求n,an，还是求Sn。
例4-1（2022·东北师大附中高二阶段练习）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。要见每朝行里数，请公仔细算相还。”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完。则此人第一天走的路程为（ ）。
A．86里 B．172里 C．96里 D．192里
解：设此人第n天走的路程为an,n∈{1,2,3,4,5,6｝，所以此人每天走的路程可形成等比数列{an}，依题意可知，公比为12，所以378=a1[1−(12)6]1−12，解得a1=192。故选D。
例4-2（2022·河南濮阳高二期末）5G是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化。目前我国最高的5G基站海拔6500m。从全国范围看，中国5G发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期。现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少16，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（ ）。
A.10×6868−58 10×6768−58 C.80×6768−58 0.10×6668−58
解：由题意知，8个工程队所建的基站数依次成等比数列，公比为56，记第一个工程队
承建的基站数为a1，则a1[1−(56)8]1−56=10
a1=10×6768−58 故选B。
基础达标
1．（2022·广东雷州白沙中学高二阶段练习·知识点1）设{an}是公比为-2的等比数列，且a4+2a6=72。则S5=（ ）。
A.-8 B.-11 C.8 D.11
2．（2022·陕西渭南高二期末·知识点3）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=10,S6=20，则S9=（ ）。
A.20 B.30 C.40 D.50
3．（2022·江苏江阴二中月考·知识点2）设Sn为等比数列{an}的前n项和且Sn=3n+1−A，则A=（ ）。
A.−13 B.13 C.-3 D.3
4．（2022·湖北武汉二中高二月考）数列{(−1)n(2n−1)}的前2022项和等于（ ）。
A.-1 010 B.2 022 C.-2 018 D.2 019
5．（2022·北京第五十七中学高二阶段练习）已知数列{an}的通项为an=−2n+1,等比数列{bn}的公比q满足q=an−an−1(n≥2),且b1=a2，则 b1|+|b2|+|b3|+⋯+|bn|= 。
高考提升
6．（2022·吉林省实验中学高三阶段练习·能力点1）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且公比q>1,a2+a4=5,,,a1a5=4，则Sn=（ ）。
−1−1 B.2n−1−12
C.2n−12 D.2n−1
7．（2022·黑龙江绥化第九中学高二期末·知识点1）已知数列{an}的前n项和为Sn，q为常数，则“数列{an}是等比数列”为“Sn+1=qSn+a1”的（ ）条件。
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
8．（2022·广东广州高二期末·知识点4）（多选）如图4-3-2-1，图①是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两条直角边为边分别作正方形得到图②，重复以上作图，得到图③······记图①中正方形的个数为a1，图②中正方形的个数为a2图③中正方形的个数为a3,·····，图n中正方形的个数为an，下列说法正确的有（ ）。
B.图⑤中最小正方形的边长为14
C.a1+a2+a3+⋯+a10=2036
D.若an=255，则图n中所有正方形的面积之和为8
9．（2022·河南新乡高二期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn若a2a8=9a32，且S8−S4=λS6,则λ= 。
10．（2021·浙江高考）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=−94，且4Sn+1=3Sn−9(n∈N∗)。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足3bn+(n−4)an=0(n∈ N∗），记{bn}的前n项和为Tn。若Tn≤λbn对任意n∈N∗恒成立，求实数λ的取值范围。
竞赛培优
11．（2021·天津高考）已知{an}是公差为2的等差数列，其前8项和为64。{bn}是公比大于0的等比数列，b1=4,b3−b2=48。
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn=b2n+1bn,n∈N∗,
①证明{cn2−c2n}是等比数列；
②证明k=1nakak+1ck2−c2k1，则|a4|=|a2q2|>|a2|，由已.知可得{a2+a4=5,a2a4=4,a2|)=2n-10），因为b1=4,b3−b2=48，所以4q2−4q=48。又q>0，所以q=4,，所以bn=b1qn−1=4n。
（2）①因为cn=b2n+1bn=42n+14n,，所以cn2−c2n=(42n+14n)2−(44n+142n)=2×4n，所以cn+12−c2(n+1)cn2−c2n=2×4n+12×4n=4(常数），所以{cn2−c2n}是等比数列。
②anan+1cn2−c2n=(2n−1)(2n+1)2×4n=4n2−12×4n