10.1.二元一次方程组的概念教学设计 2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组10.1 二元一次方程组的概念 1.了解二元一次方程(组)及其解的定义. （重点）2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解.（难点）一、新课导入[情境导入]在解决-些问题时，经常会遇到求两个未知数的情形.看下面的问题.新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2hm2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台?在这个问题中，要求的是两个未知数.如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数.能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢?我们从这个想法出发开始本章的学习.二、新知探究（一）认识二元一次方程（组）思考：列方程要先找到相等关系.本章引言中的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系?若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗?容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系:大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数,大型采棉机1h采摘面积+小型采棉机1h采摘面积=1h采摘总面积.这两个相等关系可以分别用方程x+y=6和2x+y=8表示.观察：方程x+y=6和2x+y=8有什么特点?它们与一元一次方程有什么不同?[归纳总结]可以看出，在上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫作二元一次方程.[针对练习]判断下列方程是否为二元一次方程：解：（1）是. （2）不是. （3）不是. （4）不是. （5）是. （6）不是.小结：判断要点：①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0.[典型例题]例1 已知 |m－1|x|m|＋y2n－1＝3是关于 x，y 的二元一次方程，则 m＋n ＝ 0 ．要点：①未知数的系数不为 0；②含未知数的项的次数都是 1.上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x，y必须同时满足方程x十y=6 ①和2x+y=8 ②.把这两个方程合在一起，写成就组成了一个方程组.[归纳总结]这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1,一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.[针对练习]判断下列方程组是二元一次方程组的是 ( B )（二）二元一次方程（组）的解探究：满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中.上表中哪对x，y的值还满足方程②?显然，x=1, y=5; x=2, y=4; …; x=5, y=1满足方程①，也就是使方程x +y=6两边的值相等，它们都是方程x+y=6的解.如果不考虑方程x+y=6与上面实际问题的联系，那么x=-1, y=7; x=0.1, =5.9;…也都是这个方程的解.[归纳总结]一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.我们还发现，x=2，y=4既满足方程①，又满足方程②.也就是说，x=2，y=4是方程①与方程②的公共解.我们把x=2, y=4叫作二元一次方程组的解，这个解通常记作联系前面的问题可知，这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.[归纳总结]一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解.[针对练习]1.若是关于 x，y 的方程 x－ky = 1 的一个解，则 k 的值为 -1 .要点:一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解.（三）建立方程（组）模型解决实际问题[典型例题]例2 在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少?请列出符合题意的二元一次方程组.解：设这个队的胜场数是x，负场数是y.根据问题中的相等关系，列得方程组三、课堂小结四、课堂训练1.下列方程中，是二元一次方程的是( D )3.若 2x2m+3 + 3y3n-7 = 0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m =___-1___，n =______.4.写出方程 x + 2y = 5 在自然数范围内的所有解.5.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组.解：设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人.根据题意，得五、布置作业本节课是概念教学，从学生熟悉的实际生活中，用两个未知数表示等量关系，导出二元一次方程及二元一次方程组的概念，进而探究它们的解的特征，让学生经历、体验、探究由实际问题到数学模型的完整的构建过程.