10.3 第3课时 实际问题与二元一次方程组（3）教学设计 2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组10.3　实际问题与二元一次方程组第3课时　实际问题与二元一次方程组（3）1．根据等量关系用间接设元法列二元一次方程组解复杂的实际问题．（重点）2．根据题意找到能表示应用题全部含义的等量关系，列出方程组．（难点）一、新课导入[情境导入]公路运输和铁路运输是我国两大重要的货物运输形式，不同运输方式的运费也相差很大，大型工厂选择更加经济的运输方式能节省相当可观的成本，今天我们就带着问题进一步学习较为复杂的二元一次方程.二、新知探究（一）用间接设元法解决复杂的实际问题[合作探究]如图，丝路纺织厂与 A，B 两地由公路、铁路相连.这家纺织厂从 A 地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地.已知长绒棉的进价为3.08万元/t,纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/（t·km）,铁路运价为0.2元/（t·km），且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？分析：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关.设购买 x t长绒棉，制成 y t纺织面料.根据题中数量关系填写下表：解：根据图示，列出方程组解方程组，得4.25×10000y-3.08×10000x-5200-16640=42500×320-30800×400-5200-16640=1258160（元）.答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1258160元.[典型例题]例 某村 18 位农民筹集 5 万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，种蔬菜和荞麦. 种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：在现有情况下，这 18 位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工作，且资金正好够用？分析：将已知量在表格中呈现：解：设蔬菜种植 x hm2，荞麦种植 y hm2.根据题意可列出方程组解方程组，得故，承包田地的面积为 x + y = 4 (hm2).人员安排为5x = 5×2 = 10(人)，4y = 4×2 = 8(人).答：这 18 位农民应承包 4 公顷田地，种植蔬菜和荞麦各 2 公顷，并安排 10 人种植蔬菜，8 人种植荞麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用.[针对练习]一件工作，甲单独做需6小时完成，乙单独做需10小时完成，甲先单独做若干小时，后因甲有其他任务调离，余下的工作由乙单独完成，一共用了7个小时完成这项工作，若这项工作共获得报酬5768元，按两人完成的工作量进行分配，甲、乙各应获得多少钱？三、课堂小结对于用直接设元法所列方程复杂或不能直接设元求解的问题，可以通过间接设元的方法将所有的数量关系进行整理，发现等量关系，列出方程组.四、课堂训练1. 某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5 t, 5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35 t.3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨?解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨.根据题意，得 解得3辆大货车与5辆小货车一次可以运货3×4+5×2.5=24.5（t）.答：3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨.2. 七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查.上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元，缆车票价如右表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张?解：设他们购买了往返票x张，单程票y张. 根据题意，得 解得答：他们购买了往返票8张，单程票12张.3. 甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练.如果他保持上坡的速度为30km/h，平路的速度为40km/h，下坡的速度为50km/h，那么他从甲地骑到乙地需54min，从乙地骑到甲地需42min. 甲地到乙地全程是多少千米?解：设从甲地到乙地上坡路长xkm，平路长ykm. 根据题意，得解得15+16=31（千米）.答：甲地到乙地全程是31千米.五、布置作业本节课是要让学生正确掌握用间接设元法解决问题的方法，通过学生自己的观察、发现、总结、归纳，探索间接设元法的解题的过程，进一步培养主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.票种票价/元往返80单程45