4.1.2 垂线学案 2024-2025学年华东师大版数学七年级上册

第4章 相交线和平行线4.1相交线2.垂线※教学目标※1.理解垂线的有关概念、性质及画法.2.理解点到直线的距离的意义，掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（重点）3.知道垂线段和点到直线的距离概念，并会应用其解决问题. （难点）※教学过程※一、新课导入[情境导入] 观察下列图片中的直线，它们有什么特殊的位置关系？ 二、新知探究（一）垂线的概念[提出问题]取两根木条a、b，将他们钉在一起固定木条a，转动木条b.问题：（1）在木条b转动的过程中，什么也随着改变？答：a与b所成的角也随之发生改变.（2）在木条b与a成90°的位置有几个？木条b与a所在的直线有什么位置关系？答：a与b垂直.[归纳总结]如图，当两条直线AB、CD相交所构成的四个角中有一个角为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB、CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，它们的交点O叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．垂线的判定:如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，那么AB⊥CD.符号语言：因为∠AOD=90°（已知），所以AB⊥CD（垂直的定义） .垂线的性质:若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°.符号语言：因为 AB⊥CD （已知），所以 ∠AOD=90°（垂直的定义）.(或∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)[提出问题]日常生活中，我们经常可以看到线线互相垂直的图形，你能再举出一些例子么？[针对练习]1.如图1，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则__m⊥n__. 2.若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =__90°__.3.如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝__72°__， ∠BOC的补角为__162°__.（二）垂线的画法与基本事实试一试：经过直线AB外一点P，按图中所示的两种方法，画出垂直于直线AB的直线，这样的垂线能画多少条呢？[提出问题]如图，经过直线AB外一点P，画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画出多少条？答：只能画一条.[提出问题]如图，经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画出多少条？答：只能画一条.[归纳总结]同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；2.“有且只有”中,“有”指存在性,“只有”指唯一性.垂直平分线：如图，直线CD经过线段AB 的中点O，并且垂直于线段AB，则有AO=BO，AB⊥CD.我们把这样垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又可称为中垂线.（三）点到直线的距离探究：在如图所示的方格图中，点A是直线l外一点，从点A向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.说一说：1.线段AB， AC， AD ，AE谁最短？2.你能用一句话表示这个结论吗？答：线段AB的长度最短.[归纳总结]作图过程中我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线l的垂线段.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简述：垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.思考：体育课上是怎样测量跳远成绩的？你知道其中的原因吗？ 做一做：如图，小海龟位于图中点 A 处，按下述口令移动：前进 3 格；向右转 90°，前进 5 格；向左转 90°，前进3 格；向左转 90°，前进 6 格；向右转 90°，后退 6 格；最后向右转 90°，前进 1 格. 用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形．三、课堂小结1.垂直当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为直角时，其他三个角也都成为直角，此时两条直线互相垂直.2.垂线的画法3.垂线的基本事实及垂直平分线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.4.垂线段及点到直线的距离连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.四、课堂训练1.如图，∠ABD = 90°，在下列各语句中填入适当的文字或数字： （1）点 B 在直线____AC (或BD)___上，点 D 在直线___AC___外；（2）直线__AD___与直线__AC__相交于点 A，点 D 是直线__AD__与直线__BD__的交点，也是直线__AD__与直线___CD__的交点，又是直线__BD__与直线__CD__的交点；（3）直线__BD__垂直于直线__AC__，垂足为点__B__；（4）过点 D 有且只有__一__条直线与直线 AC 垂直.2.在同一平面内，下列语句正确的是（ C ）A．过一点有无数条直线与已知直线垂直B．和一条直线垂直的直线有两条C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．若两直线相交，则它们一定垂直3.如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，若∠1=50°，则∠2=（ C ）A.60° B.50° C.40° D.30°4.在数学课上，同学们在练习作点B到线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ D ）A.1 B.2 C.3 D.45.在体育课上，某同学跳远的情况如图所示，直线l表示起跳线，经过测量，PB=3.3米，PC=3.1米，PD=3.5米，则该同学的实际跳远成绩是___3.1__米.