2025年中考复习浙教版数学专题训练---三角形的外接圆与外心

这是一份2025年中考复习浙教版数学专题训练---三角形的外接圆与外心，共10页。试卷主要包含了基础夯实，能力提升，拓展创新等内容，欢迎下载使用。
1．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A=50°，则∠BPC=（ ）
A．100°B．95°C．90°D．50°
2．如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）.
A．△ACEB．△ABDC．△ACDD．△BCE
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC的外接圆直径为（ ）
A．5B．12C．13D．6.5
4．点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心，若∠A=70°，则∠BDC的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
5．《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步B．15步C．16步D．17步
6．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
7．已知直角三角形的两条边长为6和8，则其外接圆的半径为 ．
8．（1）尺规作图，作出△ABC的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）；
（2）若∠B=45°，AC=2，求△ABC外接圆的半径长．
9．如图，在等腰直角△ABC中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求∠APE的度数．
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
二、能力提升
10．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（ ）
A．12B．14C．16D．18
11．如图，以AB为直径的⊙O与CB相切于点B，连接AC交⊙O于点D，点E为BC边中点，连接DE交OC于点P．若⊙O的半径为4，DE=3．则OPCP的值为（ ）
A．1825B．2518C．2532D．3225
12．如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
13．三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心O1和重心O2的距离为 .
14．如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D，且EF∥BC，若BC＝23，则外接圆的半径为 ，EF= .
15．如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC外接圆的圆心是点 ，弧AC的长是 .
16．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度.
三、拓展创新
17．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．
（1）如图1，点C是BD的中点，∠DAB是BD所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．
（2）如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝ .请填写结论，并说明理由．
（3）如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】4或5
8．【答案】解：（1）分别以点A、B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于M、N两点，
作直线MN，
分别以点B、C为圆心，以大于12BC长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，
作直线PQ，交MN于点O，
以O为圆心OB长为半径画圆，
⊙O即为所求作，如图．
（2）如图，连接并延长AO交⊙O于点D，连接CD，
则∠D=∠B=45°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAC=90°−∠D=45°，
∴CD=AC=2，
∴AD=AC2+CD2=22，
∴OA=12AD=2．
∴△ABC外接圆的半径长为2
9．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，∴∠AEP=∠ABP=45°．
∵PE是⊙O的直径，∴∠PAE=90°，
∴∠APE=180°−∠PAE−∠AEP=45°．
（2）如图，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，则四边形PMAN是矩形，
∴PM=AN．
∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，
∴PC=2PM，PB=2PN．
∴PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4．
10．【答案】B
11．【答案】B
12．【答案】B
13．【答案】1124
14．【答案】23；39
15．【答案】D；5π2
16．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，
∴c=0，−b2=2，
则b=−4、c=0，
∴抛物线解析式为y=x2−4x
（2）解：设点B(a，a2−4a)，
∵y=x2−4x=(x−2)2−4，
∴点A(2，−4)，
则OA2=22+42=20、OB2=a2+(a2−4a)2、AB2=(a−2)2+(a2−4a+4)2，
①若OB2=OA2+AB2，则a2+(a2−4a)2=20+(a−2)2+(a2−4a+4)2，
解得a=2(舍)或a=52，
∴B(52，−154)，
则直线OB解析式为y=−32x，
当x=2时，y=−3，即P(2，−3)，
∴t=(−3+4)÷1=1；
②若AB2=OA2+OB2，则(a−2)2+(a2−4a+4)2=20+a2+(a2−4a)2，
解得a=0(舍)或a=92，
∴B(92，94)，
则直线OB解析式为y=12x，
当x=2时，y=1，即P(2，1)，
∴t=[1−(−4)]÷1=5；
③若OA2=AB2+OB2，则20=(a−2)2+(a2−4a+4)2+a2+(a2−4a)2，
整理，得：a3−8a2+21a−18=0，
a3−3a2−5a2+15a+6a−18=0，
a2(a−3)−5a(a−3)+6(a−3)=0，
(a−3)(a2−5a+6)=0，
(a−3)2(a−2)=0，
则a=3或a=2(舍)，
∴B(3，−3)，
∴直线OB解析式为y=−x，
当x=2时，y=−2，即P(2，−2)，
∴t=[−2−(−4)]÷1=2；
综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5
（3）解：∵⊙M为△AOB的外接圆，
∴点M在线段OA的中垂线上，
∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，
当t=1时，如图1，
由（2）知∠OAB=90°，
∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，
∵B(52，−154)，
∴M(54，−158)；
当t=5时，如图2，
由（2）知，∠AOB=90°，
∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，
∵B(92，94)、A(2，−4)，
∴M(134，−78)；
当t=2时，如图3，
由（2）知，∠OBA=90°，
∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，
∵A(2，−4)，
∴M(1，−2)；
则点M经过的路径长度为(54−1)2+(−158+2)2+(1−134)2+(−2+78)2=58+958=554.
17．【答案】（1）解：∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD，∠BAC＝∠DAC．
又∵AC＝AC，
∴△ACB与△ACD是偏等三角形；
（2）180°
（3）解：分类讨论：①当BC＝CD时，如图，
∵BC＝CD，∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝30°．
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°-∠ABC＝180°-105°＝75°，
∴∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-30°-75°＝75°，
∴∠ADC＝∠ACD，∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD符合题意，
∴AD＝AC＝4；
②当AB＝CD时，
如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB＝CD，∠ACB＝180°-∠CAB-∠B＝45°，
∴∠DAC＝45°，
∴AE＝DE，∠ACD＝180°-∠DAC-∠ADC＝180°-45°-75°＝60°，
又∵∠DAC＝30°，
∴∠ACD＞∠DAC，
∴AD＞CD，符合题意．
设CE＝x，则 AE=DE=3x ，
∵AC＝AE+CE，即4＝x+ 3 x，
∴x＝ 3−12
∴AE＝DE＝ 3 × 3−12 ＝ 3−32
∴AD＝ 2 AE＝ 2 × 3−32 ＝ 32−62
综上可知AD的值为4或 32−62 ．