云南省昭通市2025届高三上学期1月诊断性检测数学试题（PDF版附解析）

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1．由集合A得，所以，故选B．
2．，故选A．
3．由知，所以，故选B．
4．该组数据的中位数为，极差为15，故，则，，则
第60百分位数为10，故选D．
5．方法一：整理为，则则直线恒过定点（3，1），而，定点在圆内，则直线与圆必有2个交点，故选C．
方法二：联立直线与圆的方程，判别式大于0，故选C．
6．经分析函数在上单调递增，由题意 又因为，则或若，由零点存在性定理若，而，由零点存在性定理综上所述，则C一定正确，故选C．
图1
7．设，则. 因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，如图1，在四边形中，过点作于点，
，所以，解得
.在平面中，过点作于点，则
，故选A．
8．， 因为函数在处取得极值，所以，即，A错误；的对称轴为，所以是的极小值点，B错误；因为，又因为，所以，故C错误；因为（当且仅当即时，取等号），即，所以D正确，故选D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
【解析】
9．由题意得，由图象可得 又，所以，由五点法可得，所以. A：由以上解析可得，，故A正确；B：由以上解析可得，故B错误；C：的对称中心的横坐标为，则对称中心为，令C正确；D：当时，，所以最小值为，故D正确，故选ACD．
10．对于A：，故A正确；对于B：
，故故当时，，故B正确；另解：由A选项可知为椭圆的上焦点，则(本题中)，则，故B正确；对于C：经分析当轴时，PQ最短为3，故C错误；对于D：
，则EF垂直平分AC，则EA=EC，FA=FC，经分析C，D为曲线的上，下焦点，
，故D正确，故选ABD．
11．为奇函数，则关于点中心对称，则，又因为，令，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误；对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确；对于C：在上也单调递增，故C错误；对于D：
而在上也单调递增，则，D正确，故选BD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
【解析】
12．数列满足为正整数），则数列为等比数列，不妨设其公比为，则，因为与的等差中项是20，所以，即，解得．
13．，
14．在个、十、百、千、万位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有（个）.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）由余弦定理得，
则………………………………………（2分）
解得，则……………………………………（4分）
则…………………………（6分）
（2）……………………（7分）
又
解得
故或则 …………………………（9分）
由正弦定理得：
若，则，
故……………………………………（11分）
若，则
故 ……………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）若，则， ………………………（1分）
. ………………………………（2分）
令，可得或；令，可得，
……………………………………（4分）
所以单调增区间为和，单调减区间为.
………………………………………（6分）
（2）因为对于任意，都有成立，
所以对于任意，都有成立， ………………………（7分）
即对于任意，. ……………………………………（8分）
因为，所以对于任意，.
……………………………………………………………（9分）
设，其中，则， ………………………（11分）
因为，所以，
当时，. ……………………………………（13分）
因此在上单调递增，在上单调递减，
所以， ……………………………………（14分）
所以，即，故的取值范围为.
…………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：如图2，取PC的中点M，连接FM，BM.
在中，因为M，F分别为PC，PD的中点，………………………………（1分）
所以，.
在菱形ABCD中，因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形， ……………………………………（3分）
因此. ……………………………………（4分）
又因为，
所以. ……………………………………（6分）
（2）解：因为，
所以，
因为，所以.
在菱形ABCD中，，
因为E为AB的中点，所以.
建立如图2所示的空间直角坐标系. ……………………………………（8分）
图2
在正三角形中，
因为，， ，，
所以向量，. ………………………………（10分）
设平面EFC的法向量为，则即
取得. ………………………………（12分）
设直线CD与平面EFC所成角为，
. ……………………………………（15分）
18. （本小题满分17分）
（1）解：①记事件A为抽取的任一学生的竞赛成绩在内，
记事件B为抽取的任一学生的竞赛成绩在内.
从这80名学生中任取一人，这名学生的竞赛成绩在内的概率为 ………………………………（4分）
②解：用X表示这80名学生中抽取的学生的成绩在的人数，
经分析服从二项分布，
……………………………………（6分）
由得即
解得 ………………………………………（9分）
又因为，所以.
即当最大. ………………………………………（10分）
（2）证明：根据方差的定义，记男生的成绩为
记女生的成绩为则总体的方差为
由
同理

………………………………………………（17分）
19. （本小题满分17分）
（1）解：因为，
联立解得或(舍去)，则
……………………………………（2分）
已知，则 ……………………………………（4分）
（2）证明：当为偶数时，取连续3个反射点，，则直线的方程为，与双曲线交于点，
联立消去得
由韦达定理得两式相除，得，
可得，
故 ……………………………………（6分）
将代入直线的方程，得
所以双曲线与直线的另一个交点为
……………………………………（7分）
同理，双曲线与直线的另一个交点为
……………………………………（9分）
故，
即 ……………………………………（10分）
（3）当为奇数时，点在第二象限，设
则 (*).
由（2）小题的结论知
，即
所以，，
可得，，
两式相除，得，即.
又因为，
故数列是首项为27，公比为81的等比数列. …………………（14分）
可得将此式代入前面（*），
得，
所以（为奇数）. ……………………………………（17分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
C
A
D
题号
9
10
11
答案
ACD
ABD
BD
题号
12
13
14
答案
1