广东省茂名市化州市2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

这是一份广东省茂名市化州市2025届九年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．图形：①平行四边形，②正方形，③菱形，④矩形：其中对角线一定垂直的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．方程的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．B．C．D．6，7
4．在下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠，使点D落在处，若平分，则长为（ ）
A．2B．C．D．4
6．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．四个完全相同的正方形面积之和是36，则正方形的边长是（ ）
A．1.5B．3C．6D．9
8．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形的对角线，相交于点O，平分交于点E，F是的中点，若，则的长为（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
10．茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长（ ）
A．B．C．mD．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．已知菱形的对角线，，则菱形的面积为 ．
12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．不等式的解集为 ．
14．如图在矩形中，，则的度数为 ．
15．如图正方形中，E是对角线上一点，在右侧取一点F，使，与交于点G，若，则的长为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
17．解方程：．
18．如图，已知，把向下平移4个单位长度，再向右平移6个单位长在度，得到．
(1)请在图中画出并写出三点坐标．
(2)在网格内是否存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形，若存在请直接写出点D的坐标，若不存在请说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图在矩形中，点E，F分别在边上，且．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
20．【任务】如何确定化橘红销售单价及如何进货才能获得最大利润．
①化州某大药房购进李橘园、宝橘园两种型号的橘红，进货价分别是40元每克、65元每克．
②大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍，若顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克．
③大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克，它们都按标价销售．
【问题解决】
(1)求李橘园、宝橘园两种型号的橘红的标价．
(2)探究李橘园、宝橘园两种型号的橘红的进货方案一共有多少种？（注：进货重量克取正整数）
(3)确定大药房如何进货才能获得最大利润？
21．如图在矩形中，，，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，点Q从点C开始沿边向点D以的速度移动，两点同时出发，当一个点运动到终点时另一个点也停止运动，设运动时间为（）．

(1)填空：______，_____，（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，；
(3)当t为何值时，的面积为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．综合与实战
材料：四根等大等长的木条（看作全等），直角坐标系：
实践与操作：
步骤1：如图1把一根木条放在横轴上，一个端点B放在坐标处，端点C放在坐标处，把另一根木条的一个端点D放在纵横上，四根木条首尾连接．
步骤2：把木条向下压下1个单位，使点D离开了纵横，变为如图2所示，
实践探索
（1）求图1中，点A的坐标；
（2）求图2中，求过点B，D直线的关系式．
深入探究
（3）点B固定，把四根木条如图3所示摆放，对角线，相交于点Q，点E，F分别在，边上，，且是的角平分线，CE与交于点G，，求四边形的面积（注：木条长为5）
23．在数学课上，老师让学生探究线段间的数量关系．

问题情境
（1）如图，点在线段上运动（不含端点），以，为直角边在的同侧作等腰直角，等腰直角，，连接，点，分别是，的中点，同学们发现点在移动的过程中，的长度为定值，则与数量关系是______，
问题探究
（2）如图，连接，，判断的形状并证明，
问题拓展
（3）如图，当等腰直角绕点旋转一定角度后，（）中的结论是否还成立，若成立请证明，若不成立，请说明理由．
1．D
解：A、中，只有当，它才是一元二次方程，故本选项不合题意；
B、，方程中含有2个未知数，故不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C、，它不是整式方程，故不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D、，它是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D
2．B
解：上述图形中，对角线一定垂直的有②正方形，③菱形，共2个．
故选：B
3．A
解：方程的一次项系数是，常数项是7．
故选：A
4．D
解：A、等腰梯形也满足此条件，但不是矩形；故本选项错误；
B、两条对角线互相垂直平分的四边形才是菱形；故本选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，所以两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形；故本选项错误；
D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确．
故选：D．
5．B
解：由折叠的性质得：，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∴在中，，
．
故选：B
6．C
解：．
故选：C
7．B
解：根据题意可知正方形的面积为，
所以正方形的边长为．
故选：B．
8．A
解：方程可化为，
配方，得，
即．
故选：A．
9．C
解：在矩形中，，，，，
；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
．
F是的中点，，
．
故选：C．
10．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A
11．6
解：∵菱形的对角线，，
∴菱形的面积
故答案为：6
12．##
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：．
13．
解：移项，得，
两边除以，得．
故答案为：．
14．60°##60度
解：∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
15．
解：∵四边形是正方形，
∴，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴．
故答案为：
16．3
解：
17．，
解：
方程可化为：，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
18．(1)见解析，三点坐标分别为
(2)存在，点D的坐标为或
（1）解：如图，即为所作，
由坐标系知，三点坐标分别为；
（2）解：如图，存在点D，使由点A，点B，点C与点D四点构成的四边形是平行四边形，
点D的坐标为或．
19．(1)见解析
(2)16
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积是．
20．(1)李橘园橘红标价为50元，则宝橘园橘红的标价为100元
(2)进货方案一共有51种
(3)从李橘园进货100克，则从宝橘园进货400克，才能获得最大利润
（1）解：设李橘园橘红标价为x元，则宝橘园橘红的标价为元．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是该方程的解，且符合题意．
∴，
答：李橘园橘红标价为50元，则宝橘园橘红的标价为100元．
（2）解：设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，根据题意，得
，
解得
∵n取整数，
∴，
答：进货方案一共有51种．
（3）解：设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货克，所获利润为W元，则
，
∵，
∴随着n的增大而减小，
由（2）有，
∴当时，W有最大值，此时，
答：从李橘园进货100克，则从宝橘园进货400克，才能获得最大利润．
21．(1)，
(2)
(3)或3
（1）解：∵四边形是矩形，
∴，．
当运动时间为时，，，
∴
故答案为：，
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴在中，，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴当时，；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
解得：，，
∴当或3时，的面积为．
22．（1）；（2）；（3）24
解：（1）∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
即平行于x轴，
∴点A的坐标为：；
（2）过点A作轴于点E，如图所示：
则，
∵把木条向下压下1个单位，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∴，
∴，
∵，
∴点D的坐标为，即，
设直线的解析式为：y=kx+bk≠0，把B-2,0，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：．
（3）∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，，
∴．
23．（）；（）是等腰直角三角形，理由见解析；（）仍然成立，，理由见解析．
解：（）如图，过作于点，交延长线于点，

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴， ，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故答案为：；
（）是等腰直角三角形，理由：
如图，过作于点，交延长线于点，

∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴， ，，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，是等腰直角三角形，
∴，，
设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（）解：仍然成立，理由：
如图，过作于点，过作于点，过作于点，过作交延长线于点，过作于点，过作于点，

同上得：四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，，
∵点分别是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∴．