2024-2025学年广西柳州市高三上册9月月考数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西柳州市高三上册9月月考数学质量检测试题（含解析），共25页。试卷主要包含了 的虚部为， 下列运算中正确的是， 设为数列的前项和，满足等内容，欢迎下载使用。
1. 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 48B. 42C. 24D. 21
3. 已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
4. 函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（ ）
A B. C. D.
5. 已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6 已知向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 直角三角形中，，分别为的中线，角平分线，若线段的长度成等差数列，公差，则等于（ ）
A. 5B. C. 2D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A.
B. 直线，，交于同一点
C. 直线与直线所成角正切值为
D. 平面截正方体所得的截面周长为
11. 已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，最大
B. 使得成立的最小自然数
C.
D. 数列中的最小项为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知是公比为的等比数列，若，则______.
13. 直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且．若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_________．
14. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______．
四､解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）.
15. 已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）探究最小值.
16. 设为数列的前项和，满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）设，数列的前项和.
17. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，.
（1）点在侧棱上，且平面，确定在侧棱上的位置；
（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.
18. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若AB的中点坐标为，求直线l的方程；
（3）若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
19. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.
（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；
（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.
2024-2025学年广西柳州市高三上学期9月月考数学质量检测试题
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1. 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．
【详解】，则所求虚部为.
故选：A．
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 48B. 42C. 24D. 21
【正确答案】B
【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可求得.
【详解】因为等差数列，故，
则.
故选：B.
3. 已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
【正确答案】B
【分析】对于A，若，，，不一定；对于B，先由和得，再由结合面面垂直的判定定理即可得解；对于C，若，，，则与相交或或；对于D，若，，由面面垂直的性质得或.
【详解】对于A，若，，，则与相交或，故A错误；
对于B，若，，则，又，则，故B正确；
对于C，若，，，则与相交或或，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：B.
4. 函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据函数图象的平移即可求解.
【详解】的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再把横坐标缩短为原来的一半，得到的图象
故选：A．
5. 已知圆台的体积为，母线长为3，高为，则圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用母线长和高，求出上底面半径和下底面半径的等式关系，然后利用体积求出上底面半径和下底面半径的另一个等式关系，然后求出上下底面半径，再用侧面积公式即可求解.
【详解】
设上底面半径为，下底面半径为，
如图，根据题意，
在中，，即，
又因为圆台的体积为，所以，
即
由①②方程可得：，
所以圆台的侧面积为.
故选：D.
6. 已知向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用平面向量的数量积即可求解.
【详解】由得，
两式相减得，，所以，则.
故选：A.
7. 在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再利用点到平面距离的向量法，即可求出结果.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，所以，
所以点到平面的距离为，
故选：C.
8. 直角三角形中，，分别为的中线，角平分线，若线段的长度成等差数列，公差，则等于（ ）
A. 5B. C. 2D.
【正确答案】B
【分析】利用等差中项可得，即可利用正弦定理求解.
【详解】设，
由题意可得,
由成等差数列，得，则，故,
由正弦定理可得，即
故,
故选：B

二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】利用对数运算计算判断A；利用诱导公式计算判断B；利用二次根式化简判断C；利用辅助角公式计算判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则（ ）
A.
B. 直线，，交于同一点
C. 直线与直线所成角的正切值为
D. 平面截正方体所得的截面周长为
【正确答案】AC
【分析】建立空间直角坐标系，得出各点坐标，由直线的方向向量知识逐一分析ABC,找到截面判断D即可.
【详解】由题意，如图所示建立空间直角坐标系，
正方体的棱长为，，
则，，即，故正确；
由题意，如图，与共面且相交，设，则，
，可得与不平行，即不共线，
故直线，，不交于同一点，故错误；
，则，
，则，故正确；
如图，延长，与所在直线分别交于，连接分别交于
，则五边形即为所得截面，
分别为的中点，
得，，
又，，故为三等分点，
，
，
故平面截正方体所得的截面周长为，故错误.
故选：AC.
11. 已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，最大
B. 使得成立的最小自然数
C.
D. 数列中的最小项为
【正确答案】ACD
【分析】利用等差数列及，判断出， ，再利用等差数列和等差数列前项和的性质逐项判断即可.
【详解】若，则，
所以，即等差数列an为递减数列，
对于A，由，知等差数列an前7项为正数，其余项为负数，
故当时，最大，故A正确；
对于B，，
故
所以使得成立的最小自然数不是，故B错误；
对于C，，
则，故C正确；
对于D，当或时，；当时，；
由，所以中最小项为，
故D正确.
故选：ACD
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知是公比为的等比数列，若，则______.
【正确答案】25
【分析】由等比数列的性质即可求解.
【详解】因为
所以
故25
13. 直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且．若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_________．
【正确答案】
【分析】由已知直三棱柱的底面为直角三角形，所以其外接球的球心位于侧面的中心，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．
【详解】解：，，，
直三棱柱外接球的球心即为侧面的中心，
设球半径为，则，
，即，
直三棱柱的高，
直三棱柱的体积，
故．
14. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______．
【正确答案】
【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可.
【详解】由，
又，所以.
设，则，
所以在0,+∞上单调递增.
所以（）.
设（），则，
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为存在正实数x，使得不等式成立，所以.
即的最大值为.
故
方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四､解答题（本题共5小题；共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）.
15. 已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）探究的最小值.
【正确答案】（1）
（2）答案见解析.
【分析】（1）当时，求出f1=0，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）对求定义域，求导，根据取不同的值得到函数单调性，即可求出最小值.
【小问1详解】
当时，，则f1=0，
由，得.
因此所求的切线方程为.
即.
【小问2详解】
由题意得的定义域为0,+∞.
由，得.
当时，f'x>0，则在0,+∞上单调递增，故没有最小值.
当时，令f'xb>0的右焦点为，且该椭圆过点，直线l交椭圆E于A，B两点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若AB的中点坐标为，求直线l的方程；
（3）若直线l方程为，过A、B作直线的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
（3）联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，计算，以及AF与RQ，从而判断出四边形ARQF为梯形.
【小问1详解】
由题得，
将代入得：
，
椭圆E的方程为.
【小问2详解】
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
且，
两式相减得：，可得，
l方程为，即.
【小问3详解】
由得：
，且，
，
∴，
又直线的斜率存在，AF与RQ不平行，
∴四边形ARQF为梯形.
关键点点睛：根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的右焦点以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.
19. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.
（1）求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差；
（3）在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.
【正确答案】（1）平均数123，第60百分位数为125；
（2）分布列见解析，方差为
（3）6
【分析】（1）利用中间值作代表求出平均数；判断出第60百分位数落在内，设其为，列出方程，求出答案；
（2）求出一级口罩与二级口罩的个数比，从而得到抽取8个口罩中，一级口罩有2个，二级口罩有6个，的可能取值为0,1,2，并得到相应的概率，得到分布列和方差；
（3）的可能取值为，并求出相应的概率，得到，换元后，求导，得到其单调性，从而确定当时，取最大值.
【小问1详解】
该厂商生产口罩质量指标值的平均数为
；
，
故第60百分位数落在内，设其为，
则，
解得，故第60百分位数为125；
【小问2详解】
一级口罩与二级口罩的个数比为，
现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，
则一级口罩有个，二级口罩有个，
再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0,1,2，
，，，
故的分布列如下：
数学期望为，
方差为
【小问3详解】
的可能取值为，
，
，
，
故，
令，设，则，
因为，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，取最大值.
关键点点睛：表达出，用换元思想，进而求导，求解最值.
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