2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校高二上学期12月月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区教师进修学校高二上学期12月月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.直线x+y+1=0的倾斜角为( )
A. −45 ∘B. 45 ∘C. 90 ∘D. 135 ∘
2.若点a,0在圆x2+y2=1的内部，则实数a的取值范围是( )
A. −1,1B. −∞,1C. 0,1D. 1,+∞
3.直线x−2y−2=0在y轴上的截距为( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
4.圆(x+1)2+(y−1)2=1关于直线x=1对称的圆的方程是( )
A. (x+1)2+y2=1B. (x−3)2+(y−1)2=1
C. x2+(y−1)2=1D. (x+1)2+(y−3)2=1
5.已知直线l的方程为x+2y+1=0，则过点A(1,3)且与l垂直的直线方程为( )
A. x+2y−7=0B. 2x−y+1=0C. x+2y−5=0D. 2x−y−5=0
6.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，AD=2，则AP⋅A1D1等于( )
A. 1B. −1C. 4D. −4
7.如图，过点P分别作平面α，β，γ截圆柱得到椭圆C1，C2，C3.其中，椭圆C1，C3所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，它们的大小关系为( )
A. e1>e2>e3B. e1=e2>e3C. e1=e3>e2D. e2>e1=e3
8.在平面直角坐标系xOy中，若点P(a,b)在直线ax+by+4a+3=0上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是( )
A. −∞,− 33∪ 33,+∞B. − 33, 33
C. −∞,− 52∪ 52,+∞D. − 52, 52
9.圆C:(x−1)2+y2=1上的点P到直线xcsθ+ysinθ=3(θ∈R)的距离为d，点P和θ在变化过程中，d的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.某地居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成.若AB=60km，AE=CD=30km，现准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中P1,P2,P3,P4是AC的五等分点，则转播台应建在( )
A. P1处B. P2处C. P3处D. P4处
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.直线y=x与直线y=x−1之间的距离为 ．
12.已知椭圆x2m+y2=1的一个焦点为(1,0)，则m= ．
13.如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为a，且OM=2MA,BN=NC，则MN= (用OA,OB，OC表示)．
14.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则PF2= ；∠F1PF2的大小为 ．
15.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E,F分别为棱B1C1,BB1的中点，点G为线段A1D上的一个动点，给出下列四个结论：
①三棱锥B1−EFG的体积为定值;
②存在点G，使A1C⊥平面EFG；
③存在点G，使平面EFG//平面ACD1;
④设直线FG与平面ADD1A1所成角为θ，则sinθ的最大值为2 23．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知点A−2,−1、B6,3．
(1)求线段AB的垂直平分线的直线方程；
(2)若点A、B到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求实数a的值．
17.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是棱B1C1的中点，过A,D1,E的平面与棱BB1相交于点F．
(1)求证：F是BB1的中点；
(2)求点D到平面AD1E的距离．
18.已知圆C:(x−2)2+y2=r2(r>0)与y轴相切．
(1)直接写出圆心C的坐标及r的值；
(2)直线l:3x−4y−1=0与圆C交于两点A,B，求|AB|．
19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E,F分别为AB,PD的中点．

(1)求证：EF//平面PBC；
(2)若AD=2 3,PD=4，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角E−FC−D的大小．
条件①：PB=PC；
条件②：DE⊥PC．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点P到左右两焦点F1,F2的距离之和为2 2，离心率为 22．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点.若y轴上一点M0,13满足MA=MB，求直线l斜率k的值．
21.已知集合P的元素个数为3nn∈N∗且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即P=A∪B∪C，A∩B=⌀，A∩C=⌀，B∩C=⌀，其中A=a1,a2,⋯,an，B=b1,b2,⋯,bn，C=c1,c2,⋯,cn，且满足c10，
则x1+x2=145,x1x2=125，
所以AB= 1+342x1−x2=54 (x1+x2)2−4x1x2=54 1452−425=2 3；
法二：圆心C(2,0)到直线l:3x−4y−1=0的距离d=2×3−1 32+(−4)2=1b>0)，
由题意知|PF1|+|PF2|=2a=2 2，∴a= 2，
∵e=ca= 22，∴c= 22× 2=1，∴b2=a2−c2=2−1=1，
∴椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(Ⅱ)已知F2(1,0)，当直线l的斜率不存在时不满足题意，
设直线的方程为y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立直线与椭圆的方程y=k(x−1)x22+y2=1，化简得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，Δ>0，
∴x1+x2=4k21+2k2，y1+y2=k(x1+x2)−2k=−2k1+2k2，
∴AB的中点坐标为(2k21+2k2,−k1+2k2)，
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y−−k1+2k2=−1k(x−2k21+2k2)，
∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得13−−k1+2k2=−1k(0−2k21+2k2)，即2k2−3k+1=0，解得k=1或k=12．
②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意．
∴斜率k的取值为0，1，12．
21.(1)将P分为1、2、3满足条件，则P是完美集合．
将Q分成3个，每个中有两个元素，则a1+b1=c1，a2+b2=c2，
Q中所有元素之和为21，21÷2=10.5=c1+c2，而c1+c2为整数，不符合要求，
故Q不是“完美集合”；
(2)若集合A=1,4，B=3,5，根据完美集合的概念知集合C=6,7；
若集合A=1,5，B=3,6，根据完美集合的概念知集合C=4,11；
若集合A=1,3，B=4,6，根据完美集合的概念知集合C=5,9．
故x的可能值为7、9、11中任一个；
(3)证明：P中所有元素之和为1+2+⋯+3n=3n3n+12
=a1+b1+c1+a2+b2+c2+⋯+an−1+bn−1+cn−1+an+bn+cn=2c1+c2+⋯+cn−1+cn，
因为cn=3n，所以，3n3n+14=c1+c2+⋯+cn−1+3n，
所以，c1+c2+⋯+cn−1=3n3n+14−3n=9nn−14，
因为c1+c2+⋯+cn−1为正整数，则9nn−1可以被4整除，
所以，n=4k或n−1=4kk∈N∗，即n=4k或n=4k+1k∈N∗．
故集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1k∈N∗．