2024-2025学年北京市西城区第一六一中学高二上学期12月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区第一六一中学高二上学期12月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.曲线x2−xy+2y=0经过的一点是( )
A. (1,−1)B. (1,1)C. (−1,1)D. (0,1)
2.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB−AD−AA1=( )
A. AC1B. A1CC. D1BD. DB1
3.在x−1x26的展开式中，常数项为( )
A. −15B. 15C. −30D. 30
4.“a>1”是“直线ax−y−1=0的倾斜角大于π4”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知P为椭圆C:x24+y2b2=1上的动点，A(−1,0),B(1,0)，且|PA|+|PB|=4，则b2=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)，甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
7.如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过点P作圆A的切线l，当rr≥12AB变化时，l与圆B的公共点的轨迹是( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
8.已知向量a=(1,0,1),b=(−2,2,1),c=(3.4,z)，若a,b,c共面，则z等于( )
A. −9B. 9C. −5D. 5
9.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线N:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0).设椭圆M的两个焦点分别为F1,F2，椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若PF1⊥PF2且F1F2=2PF1，则e1e2的值为( )
A. 3−12B. 3+12C. 3−1D. 3+1
10.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是CC1的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点(包括边界)，则下列选项正确的是( )
A. 不存在点N满足∠A1NM=π2
B. 满足A1N= 5的点N的轨迹长度是π4
C. 满足MN//平面A1BC1的点N的轨迹长度是1
D. 满足B1N⊥A1M的点M的轨迹长度是 2
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.双曲线C:x23−y26=1的渐近线方程为 ；若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是双曲线C的右焦点，则p= ．
12.在空间直角坐标系O−xyz中，点P(−2,3,1)到x轴的距离为 ．
13.学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术街舞等六个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最多选择一个，则不同的选择方法共有 种．
14.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A−BD−C，则直线AB与平面BCD所成角的大小为 ；异面直线AC与BD所成角的大小为 ．
15.已知O为坐标原点，直线kx−y−3k+2=0与直线x+ky−2k−1=0相交于点P，则|OP|的最大值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知圆心坐标为(2,1)的圆C与y轴相切．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线l：x−y+m=0与圆C交于A，B两点，从条件①，条件②中选择一个作为已知，求m的值．
条件①AB=2 3；条件②：∠ACB=120∘．
17.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，点E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，平面EFGM∩棱PC=M．
(1)求证：EF//GM；
(2)求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值．
18.己知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1, 32，且C的离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程：
(2)过点P(1,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，求|PA|⋅|PB|的取值范围．
19.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，平面A1ADD1⊥平面ABCD，AD=2,AA1=A1D．
(1)求证：A1D⊥AB；
(2)若AB与平面A1DC1的所成角的正弦值为 217，求点B到平面A1DC1的距离．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.A
5.C
6.C
7.D
8.B
9.A
10.D
11.y=± 2x ；6
12. 10
13.16
14.45 ∘ ；90 ∘
15.2 2+1．
16.(1)由题意可得：圆C的圆心坐标为C2,1，半径为r=2，
故圆C的方程为x−22+y−12=4．
(2)若选①：圆心C到直线l：x−y+m=0的距离d= r2−AB22=1，
则2−1+m 12+12=1，解得m=−1± 2．
若选②：圆心C到直线l：x−y+m=0的距离d=rcs60 ∘=1，
则2−1+m 12+12=1，解得m=−1± 2．

17.(1)E,F分别是PA,AB中点，所以EF//PB，
又PB⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，所以EF//平面PBC，
因为平面EFGM∩棱PC=M.所以平面EFGM∩平面PBC=MG，
又因为EF⊂平面EFGM，所以EF//MG；
(2)底面AD⊥CD，又PD⊥底面ABCD，
以D为原点，分别以DA,DC,DP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，
又点E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，所以E(1,0,1),F(2,1,0),G(1,2,0)，
EF=(1,1,−1),FG=(−1,1,0)，
设平面EFGM的一个法向量是n=(x,y,z)，
则n⋅EF=x+y−z=0n=−x+y=0，取x=1，得n=(1,1,2)，
显然平面PAD的一个法向量是m=(0,1,0)，
csm,n=m⋅nmn=1 6= 66，
所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为 66．

18.解：(Ⅰ)由题意得ca= 32,1a2+34b2=1,a2=b2+c2.解得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1．
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1与椭圆C交于A(1, 32)，B(1,− 32)两点，
所以|PA|=|PB|= 32，所以|PA|⋅|PB|=34．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k(x−1)，
由y=k(x−1)x24+y2=1得(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0，
且Δ=64k4−4(1+4k2)(4k2−4)=16(3k2+1)>0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=8k21+4k2，x1x2=4k2−41+4k2，
所以|PA|⋅|PB|=( 1+k2|x1−1|)( 1+k2|x2−1|)
=(1+k2)|x1x2−(x1+x2)+1|=3(1+k2)1+4k2，
令t=1+4k2，则t≥1，
所以|PA|⋅|PB|=3(1+k2)1+4k2=3(1+t−14)t=3t+94t=34+94t∈(34,3],
当t=1，即k=0时，|PA|⋅|PB|取最大值3．
综上所述，|PA|⋅|PB|的取值范围是[34,3]．
19.(1)因为ABCD是正方形，则AB⊥AD，
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面AA1D1D，
又因为A1D⊂平面AA1D1D，所以AB⊥A1D；
(2)取AD中点O，连接A1O，
因为AA1=A1D，所以A1O⊥AD，
平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD=AD，A1O⊂平面AA1D1D，
所以A1O⊥平面ABCD，
以O为原点，AB,AD,OA1的方向分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
设A1O=a(a>0)，
则A(0,−1,0)，B(2,−1,0)，A1(0,0,a)，C1(2,2,a)，D(0,1,0)，
AB=(2,0,0),A1C1=(2,2,0),A1D=(0,1,−a)，BD=(−2,2,0)，
设平面A1C1D的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅A1C1=2x+2y=0m⋅A1D=y−az=0，取x=a，得m=(a,−a,−1)，
由已知csAB,m=AB⋅mABm=2a2 2a2+1=a 2a2+1= 217，解得a= 3(负值舍去)，
则m=( 3,− 3,−1)，
所以点B到平面A1DC1的距离为d=BD⋅mm=−2 3−2 3+0 7=4 217．