2024-2025学年湖南省永州一中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省永州一中高二（上）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线C:x23−y29=1的虚轴长为( )
A. 3B. 2 3C. 3D. 6
2.已知a=(−2,1,3)，b=(−1,1,1)，若a→⊥(a→−λb→)，则实数λ的值为( )
A. −2B. −143C. 73D. 2
3.抛物线y=−1ax2(a>0)的准线方程是( )
A. y=a4B. y=−4aC. y=−a4D. y=4a
4.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠A1AD=∠A1AB=60°，AA1=3，M为A1C1，B1D1的交点，则线段BM的长为( )
A. 3
B. 10
C. 11
D. 2 3
5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为( )
A. y2=125xB. y2=245xC. y2=12xD. y2=6x
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点，则yx−2的最小值为( )
A. −23B. −32C. −43D. −1
7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与y轴交于点M，与C的右支交于点P，且满足2F1P=3F1M，若点O,F2,P,M四点共圆(O为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )
A. 3 3B. 2 3C. 3+2D. 3+1
8.如图，在棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是平面A1BC1内一动点，且满足|PD|+|PB1|=2+ 13，则直线B1P和直线AD1所成角的余弦值的取值范围为 ( )
A. 0,12B. 0,13C. 12, 22D. 12, 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
B. “a=−2”是“直线ax+2y+a2=0与直线x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要条件
C. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)
D. 若点A(1,0)，B(0,2)，直线l过点P(2,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是−12≤k≤1
10.已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列判断正确的是( )
A. 当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆
B. 点Q的轨迹可能是一个定点
C. 点Q的轨迹不可能是圆
D. 当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线
11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如 (x−a)2+(y−b)2的代数式，可以转化为平面上点M(x,y)与N(a,b)的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数f(x)=| x2+2x+5− x2−6x+13|，下列说法正确的是( )
A. y=f(x)的图象是轴对称图形B. y=f(x)的值域是[0,4]
C. f(x)先减小后增大D. 方程f(f(x))= 13− 5有三个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点N是点M(3,3,4)在坐标平面Oxz内的射影，则|ON|= ．
13.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2−6x−91=0内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．
14.已知椭圆C:x24+y23=1的左､右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E:x−32+y−22=1上任意一点，则MN−MF1的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书。甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大?
(2)这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．
16.(本小题15分)
已知圆C：x2+y2−2x−6=0和定点A(−4,0)，直线l：y=m(x+6)−8(m∈R)．
(1)当m=1时，求直线1被圆C所截得的弦长；
(2)若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足MA= 2MB，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．

(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求平面BA1D与平面A1B1C1所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG⋅GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
19.(本小题17分)
若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使得f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判断函数g(x)=sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)=2x−1在定义域[m,n](m>0)上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
(3)已知函数ℎ(x)=(x−a)2(a≥43)在定义域[43,4]上为“依赖函数”，若存在实数x∈[43,4]，使得对任意的t∈R，不等式ℎ(x)≥−t2+(s−t)x+4都成立，求实数s的最大值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.C
5.B
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.ABD
11.ACD
12.5
13.x236+y227=1
14.2 2−5
15.解：(1)记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为A1，B1，C1，在实践考试中合格依次为A2，B2，C2，
则甲乙丙获得执业医师证书依次为A1A2，B1B2，C1C2，
并且A1与A2，B1与B2，C1与C2相互独立，
P(A1A2)=45×12=25;
P(B1B2)=34×23=12;
P(C1C2)=23×23=49，
故乙获得执业医师证书的的可能性最大；
(2)由于事件A1A2，B1B2，C1C2彼此相互独立
“恰有两人获得执业医师证书”指(A1A2)(B1B2)C1C2+(A1A2)(B1B2)(C1C2)+(A1A2)(B1B2)(C1C2)，
故3人中恰有两人获得执业医师证书的概率满足：
P=P[(A1A2)(B1B2)C1C2+(A1A2)(B1B2)(C1C2)+(A1A2)(B1B2)(C1C2)]
=P[(A1A2)(B1B2)C1C2]+P[(A1A2)(B1B2)(C1C2)]+P[(A1A2)(B1B2)(C1C2)]
=25×12×59+25×12×49+35×12×49=13．
故3人中恰有两人获得执业医师证书的概率为13．
16.解：(1)圆C：(x−1)2+y2=7，圆心C(1,0)，半径r= 7，
当m=1时，直线l的方程为x−y−2=0，所以圆心C到直线l的距离d=|1−0−2| 2= 22，
故弦长为2 r2−d2=2 7−( 22)2= 26；

(2)设M(x,y)，则|MB|= |MC|2−r2= x2+y2−2x−6，
由A(−4,0)，MA= 2MB，

得(x+4)2+y2=2(x2+y2−2x−6)，化简得(x−6)2+y2=64，
所以点M的轨迹是以D(6,0)为圆心，8为半径的圆．
又因为点M在直线l：mx−y+6m−8=0上，所以l与圆D有公共点，
所以|6m+6m−8| m2+1≤8，解得0≤m≤125，
所以m的取值范围是[0,125]．
17.解：(1)证明：取BC的中点O，连接AO，A1O，
因为AB=AC=2，D是B1C1的中点，所以A1D⊥B1C1，
因为BC/​/B1C1，∴A1D⊥BC，
因为A1在底面ABC的射影为BC的中点，所以A1O⊥平面ABC，
又平面ABC/​/平面A1B1C1，所以A1O⊥平面A1B1C1，
又A1D⊂面A1B1C1，所以A1O⊥A1D，
因为A1O∩BC=O，A1O，BC⊂平面A1BC，
所以A1D⊥平面A1BC；
(2)如图，以O为坐标原点，以OA、OB、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则BC= 2AC=2 2，A1O= AA12−AO2= 14，
则A1(0,0, 14)，A( 2,0,0)，C(0,− 2,0)，B(0, 2,0)，
D(− 2,0, 14)，B1(− 2, 2, 14)，A1D=(− 2,0,0)，BD=(− 2,− 2, 14)．
设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z)，
则m⊥A1Dm⊥BD，则m⋅A1D=0m⋅BD=0，
得− 2x=0− 2x− 2y+ 14z=0，
取z=1，得m=(0, 7,1)，
因为A1O⊥平面A1DB1，
所以OA1=(0,0, 14)即为平面A1DB1的一个法向量，
则cs= 14 14×2 2= 24，
所以平面BA1D与平面A1B1C1的所成角的余弦值为 24．
18.解：
由题意A(−a,0),B(a,0),G(0,1),AG=(a,1),GB=(a,−1),
AG⋅GB=a2−1=8⇒a2=9⇒a=3，
∴椭圆E的方程为x29+y2=1．
(2)由(1)知A(−3,0),B(3,0),
设P6,m，则直线PA的方程为y=m9(x+3)，
联立y=m9(x+3)x29+y2=1⇒(9+m2)x2+6m2x+9m2−81=0,
由韦达定理−3xC=9m2−819+m2⇒xC=−3m2+279+m2，
代入直线PA的方程y=m9(x+3)得，yC=6m9+m2，
即C(−3m2+279+m2,6m9+m2)，
直线PB的方程为y=m3(x−3)，
联立y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,
由韦达定理3xD=9m2−91+m2⇒xD=3m2−31+m2，
代入直线PB的方程y=m3(x−3)得，yD=−2m1+m2，
即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，
∴直线CD的斜率kCD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，
∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，
整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，
∴直线CD过定点32,0．

19.解：(1)对于函数g(x)=sinx的定义域R内存在x1=π6，则g(x2)=2无解，
故g(x)=sinx不是“依赖函数”；
(2)因为f(x)=2x−1在[m,n]递增，故f(m)f(n)=1，即2m−12n−1=1，m+n=2，
由n>m>0，故n=2−m>m>0，得0