辽宁省辽阳市2024年中考数学模拟试题（解析版）

这是一份辽宁省辽阳市2024年中考数学模拟试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数-2，3，0，中，最大的数是（ ）
A. -2B. 3C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数解答即可．
【详解】：-2＜-＜0＜3，
所以最大的数是3．
故选B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握比较实数大小的法则是解题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. x3+x5=x8B. (y+1)(y-1)=y2-1C. a10÷a2=a5D. (-a2b)3=a6b3
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的乘除运算分别计算得出答案．
详解】A、x3+x5，无法计算，故此选项错误；
B、（y+1）（y-1）=y2-1，正确；
C、a10÷a2=a8，故此选项错误；
D、（-a2b）3=-a6b3，故此选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
4. 如图所示几何体是由五个相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到几何体从左面看所得到图形即可．
【详解】从左面可看到从左往右2列小正方形的个数为：2，1．
故选D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握：左视图是从物体的左面看得到的视图．
5. 下列事件中，最适合采用全面调查的是（ ）
A. 对某班全体学生出生日期的调查B. 对全国中学生节水意识的调查
C. 对某批次灯泡使用寿命的调查D. 对辽阳市初中学生每天阅读时间的调查
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】A、对某班全体学生出生日期的调查情况适合普查，故此选项符合题意；
B、对全国中学生节水意识的调查范围广适合抽样调查，故此选项不符合题意；
C、对某批次灯泡使用寿命的调查具有破坏性适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D、对辽阳市初中学生每天阅读时间的调查范围广适合抽样调查，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6. 九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用小时，列方程即可．
【详解】设慢车的速度为x千米/小时，则快车的速度为1.2x千米/小时，
根据题意可得：．
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
7. 学习全等三角形时，某班举行了以“生活中的全等”为主题的测试活动，全班学生的测试成绩统计如下表：
则这些学生得分的中位数是（ ）
A. 89B. 91C. 93D. 96
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为93分．
故选C．
【点睛】本题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
8. 如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）
A. x=-3B. x=4C. x=D. x=
【答案】A
【解析】
【分析】根据所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．
【详解】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，
∵直线y=ax+b过B（-3，0），
∴方程ax+b=0的解是x=-3，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
9. 如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC.若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为（ ）
A. 5B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
OC为∠MAN的角平分线，
∵OA=OB，OC平分∠AOB，
∴OC⊥AB，
设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，
∵AB=6，OA=5，AC=OA，OC⊥AB，
∴AC=5，∠ADC=90°，AD=3，
∴CD=4，
∵，
∴，
解得，BE=，
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
10. 晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家.晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】①两人同行过程中的速度就是20分钟前进4000千米的速度;②爸爸有事返回的时间，比晓琳原路返回的时间20分钟少5分钟，n的值用速度乘以时间即可;③晓琳开始返回时与爸爸的距离是他们的速度和乘以时间5分钟;④两人相距900米是y1-y2=900.
【详解】：①4000÷20=200米/分∴两人同行过程中的速度为200米/分，①正确
②m=20-5=15，n=200×15=3000，②正确
③晓琳开始返回时，爸爸和晓琳各走5分钟，爸爸返回的速度为100所以他们的距离为：300×5=1500（米），③不正确
④设爸爸返回的解析式为y2=kx+b，把（15，3000）（45，0）代入得
,
解得
∴y2=-100x+4500
∴当0≤x≤20时，y1=200x
y1-y2=900∴200x-（-100x+4500）=900
∴x=18
当20≤x≤45时，y1=ax+b，将（20，4000）（45，0）代入得 ,
∴
y1=-160x+7200
y1-y2=900 ,
（-160x+7200）-（-100x+4500）=900
x=30∴④正确
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，明确横纵坐标的实际意义是解题得关键.
二、填空题
11. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为________________.
【答案】2.5×10-6
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000025=2.5×10-6，
故答案为：2.5×10-6．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12. 分解因式：4ax2-ay2=________________.
【答案】a（2x+y）（2x-y）
【解析】
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【详解】原式=a（4x2-y2）
=a（2x+y）（2x-y），
故答案为a（2x+y）（2x-y）．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13. 将一张矩形纸条与一块三角板如图放置，若∠1=36°，则∠2=________.
【答案】126°
【解析】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3．
【详解】如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+36°=126°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=126°．
故答案为126°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
14. 一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，6个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是_________.
【答案】
【解析】
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【详解】10个黑球，8个白球，6个红球一共是24个，所以从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了统计与概率中概率的求法，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为弧BE的中点，则∠A=__________°.
【答案】22.5
【解析】
【分析】连接半径OC，先根据点C为的中点，得∠BOC=45°，再由同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠A=∠ACO=×45°，可得结论．
【详解】连接OC，
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵点C为的中点，
∴∠BOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=×45°=22.5°，
故答案为22.5°．
【点睛】本题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
16. 如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为_________海里.（结果保留根号）
【答案】5
【解析】
【分析】如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，求出BH，再在Rt△BCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可．
【详解】如图，作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵AB=10海里，∠BAH=30°，
∴∠ABH=60°，BH=AB=5（海里），
在Rt△BCH中，∵∠CBH=∠C=45°，BH=5（海里），
∴BH=CH=5海里，
∴CB=5（海里）．
故答案为:5．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
17. 如图，直线与坐标轴交于A，B两点，在射线AO上有一点P，当△APB是以AP为腰的等腰三角形时，点P的坐标是________________．
【答案】或
【解析】
【分析】把x=0，y=0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点A、B的坐标；根据等腰三角形的判定，分两种情况讨论即可求得．
【详解】解：当y=0时，x=-8，即A（-8，0），
当x=0时，y=4，即B（0，4），
∴OA=8，OB=4，
在Rt△ABO中，AB=，
若AP=AB=4，则OP=AP-AO=4-8，
∴点P（4-8，0）
若AP'=BP'，在Rt△BP'O中，BP'2=BO2+P'O2=16+（AO-BP'）2．
∴BP'=AP'=5，
∴OP'=3，
∴P'（-3，0），
综上所述：点P（-3，0），（4-8，0）
故答案为（-3，0）或（4-8，0）
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，利用分类思想解决问题是解题的关键．
18. 如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1,过点A1作A1B1∥OA,交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA,交OC于点B2；……，按此规律进行下去，点A2020的坐标是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据△ABC是等边三角形，得到AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，解直角三角形得到A（ ），C（1，0），根据等腰三角形的性质得到AA1=A1C，根据中点坐标公式得到A1（，），推出△A1B1C是等边三角形，得到A2是A1C的中点，求得A2（），推出An（），即可得到结论．
【详解】：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=1，∠ABC=∠A=∠ACB=60°，
∴A（），C（1，0），
∵BA1⊥AC，
∴AA1=A1C，
∴A1（，），
∵A1B1∥OA，
∴∠A1B1C=∠ABC=60°，
∴△A1B1C是等边三角形，
∴A2是A1C的中点，
∴A2（），
同理A3（），
…
∴An（）,A2020的坐标是,
故答案为 .
【点睛】本题考查了点的坐标，等边三角形的性质，解题的关键是能根据求出的数据得出规律．
三、解答题
19. 先化简，再求值：，其中
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂得到a的值，继而将a的值代入计算可得．
【详解】原式=[]•（a+1）
=•（a+1）
=，
当a=2cs30°+（）-1-（π-3）0=2×+2-1=+1时，
原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值、负整数指数幂与零指数幂．
20. 我省中小学积极开展综合实践活动，某校准备组织开展四项综合实践活动：“A.我是非遗小传人，B.学做家常餐，C.爱心义卖行动，D.找个岗位去体验”.为了解学生最喜爱哪项综合实践活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：
（1）本次一共调查了 名学生，在扇形统计图中，m的值是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，估计最喜爱B和C项目的学生一共有多少名？
（4）现有最喜爱A，B，C，D活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率.
最喜爱各项综合实践活动条形统计图 最喜爱各项综合实践活动扇形统计图
【答案】（1）200，20%；（2）详见解析；（3）840；（4）.
【解析】
【分析】（1）用喜欢A项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；用100%减去其它项目所占的百分比，即可求出m的值；
（2）用总人数乘以C项目所占的百分比，求出C项目的人数，从而补全统计图；
（3）用该校的总人数乘以喜爱B和C项目的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出最喜爱C和D项目的两位学生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】：（1）本次共调查的学生数是：20÷10%=200（人），
m=100%-10%-45%-25%=20%；
故答案为200，20%；
（2）C项目的人数是：200×25%=50（人），补图如下：
（3）根据题意得：
1200×（45%+25%）=840（名），
答：最喜爱B和C项目的学生一共有840名；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的结果数为2种，
所以恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
21. 青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面.已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元.
（1）求每袋大米和面粉各多少元？
（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉?
【答案】（1）每袋大米60元，每袋面粉45元；（2）最大购买18袋面粉.
【解析】
【分析】（1）设每袋大米x元，每袋面粉y元，根据“购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元”列方程组求解可得；
（2）设购买面粉a袋，则购买米（40-a）袋，根据总费用不超过2140元列出关于a的不等式求解可得．
【详解】：（1）设每袋大米x元，每袋面粉y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每袋大米60元，每袋面粉45元；
（2）设购买面粉a袋，则购买米（40-a）袋，
根据题意，得：60（40-a）+45a≤2140，
解得：a≥17，
∵a为整数，
∴最多购买18袋面粉．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系或不等关系，并据此列出方程和不等式．
22. 如图，菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，且BC=5，sin∠ABC=，反比例函数（x>0）的图象分别与AD，CD交于点M、点N，点N的坐标是（3，n），连接OM，MC.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：△OMC是等腰三角形.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）先根据菱形的性质求出AD=AB=5，再根据三角函数求出OA，进而利用勾股定理求出OB，求出点C，D坐标，利用待定系数法求出直线CD解析式，进而求出点N坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）先求出点M坐标，再用两点间的距离公式求出OM和CM，即可得出结论．
【详解】：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB=AD=BC=5，
在Rt△AOB中，sin∠ABC=，
∴OA=4，
根据勾股定理得，OB=3，
∴OC=BC-OB=2，
∴C（2，0），
∵AD=5，OA=4，
∴D（5，4），
∴直线CD的解析式为y=x-，
∵点N的坐标是（3，n），
∴n=，
∴N（3，），
∵点N在反比例函数y=（x＞0）图形上，
∴k=3×=4，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y=，
∵点M在AD上，
∴M点的纵坐标为4，
∴点M的横坐标为1，
∴M（1，4），
∵C（2，0），
∴OM=，CM=，
∴OM=CM，
∴△OMC是等腰三角形．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，待定系数法，两点间的距离公式，求出直线CD的解析式是解题的关键．
23. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°.
（1）求证：EM是⊙O切线；
（2）若∠A=∠E,BC=，求阴影部分的面积.（结果保留和根号）.
【答案】（1）详见解析；（2）；
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCE=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，得到△BOC是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】：（1）连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO+90°=180°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，
∴∠ACE=90°+∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠A=∠E，
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E，
∴∠ABC=∠BCE+∠E=2∠A，
∴∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB=BC=，
∴阴影部分的面积=，
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC 是解题的关键．
24. 随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w（元）.
（1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？
（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？
【答案】（1）；（2）30；（3）36人，3168元.
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可，注意旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元可得x的取值；
（2）利用利润=人均报名费用y×团队报名人数x=3000，列方程解出即可，并计算人均报名费用，由旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元进行取舍；
（3）配方成顶点式后，求出二次函数最值即可．
【详解】：（1）设y=kx+b，
把（20，120）和（32，96）代入得：，
解得：，
y与x之间的函数关系式为：y=-2x+160；
∵旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元，
当y≥88时，-2x+160≥88，
x≤36，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-2x+160（20≤x≤36）；
（2）20×120=2400＜3000，
由题意得：w=xy=x（-2x+160）=3000，
-2x2+160x-3000=0，
x2-80x+1500=0，
（x-50）（x-30）=0，
x=50或30，
当x=50时，y==60，不符合题意，舍去，
当x=30时，y==100＞88，符合题意，
答：报名旅游的人数是30人；
（3）w=xy=x（-2x+160）=-2x2+160x=-2（x2-80x+1600-1600）=-2（x-40）2+3200，
∵-2＜0，
∴x＜40，w随x的增大而增大，
∵x=36时，w有最大值为：-2（36-40）2+3200=3168，
∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题的关键．
25. 在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°.
（1）如图1，当=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ；
（2）如图2当=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=，请直接写出△BDE的面积.

【答案】（1）;（2）;（3）2
【解析】
【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题；
【详解】（1）如图①中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，
∴△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=BE2+EC2．
故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2．
（2）结论：EA2=EC2+2BE2．
理由：如图②中，
∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，
∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵=， =，
∴，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠ABE=90°，
∴∠ABD+∠ABE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，
∵EA=DE，BD=EC，
∴EA2=EC2+BE2，
∴EA2=EC2+2BE2．
（3）如图③中，
∵∠AED=45°，D，E，C共线，
∴∠AEC=135°，
∵△ADB∽△AEC，
∴∠ADB=∠AEC=135°，
∵∠ADE=∠DBE=90°，
∴∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，
∴DE=BD，
∵EC=BD，
∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，
在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，
∴AC=2，
在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，
∴x2+4x2=40，
∴x=2（负根已经舍弃），
∴AD=DE=2，
∴BD=BE=2，
∴S△BDE=×2×2=2．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26. 如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；
（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在矩形，
【解析】
【分析】（1）直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，-3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y=x2-x-3…①；
（2）当∠MBE=75°时，如下图所示，分M在x轴上和x轴下分别求解即可；
（3）存在①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n=-m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1=，P′B所在的直线k2=，则：k1•k2=-1即可求解，②当BC为矩形一边时，矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y=-x-3，则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），则Q（2，8），即可求解．
【详解】：（1）直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，-3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y=x2-x-3；
（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，
当∠MBE=75°时，
∵OA=OB，∴∠MBO=30°，
此时符合条件的M只有如图所示的一个点，
MB直线的k为-，所在的直线方程为：y=-x-3…②，
联立方程①、②可求得：x=4-4，
即：点M的横坐标4-4；
当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，
直线MB的k值为-，其方程为y=-x-3，
将MB所在的方程与抛物线表达式联立，
解得：x=，
故：即：点M的横坐标4-4或．
（3）存在．
①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n=-m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1=，
P′B所在的直线k2=，则：k1•k2=-1…④，
③、④联立
解得：m=0或6
解得: m=0或6,这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故:这种情况不存在,舍去.；
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y=x-3，
则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．Q″坐标为（-16,29）．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（-16，29）．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．得分（分）
85
89
93
96
100
人数（人）
4
6
15
13
2