2023~2024学年河北省邢台市部分重点高中高二上1月期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年河北省邢台市部分重点高中高二上1月期末数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了 双曲线的渐近线方程为， 等差数列的前项和为，公差，则， 已知抛物线等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由双曲线可得，，
所以渐近线方程为.
故选：B.
2. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，数列，
可化为，
所以数列一个通项公式为，所以该数列的第10项是.
故选：D.
3. 等差数列的前项和为，公差，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，则.
故选：D.
4. 已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，解得，
则，，所以直线的斜率为．
故选：D
5. 现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，
则该等比数列的前项和.
由，得，得.
故选：B.
6. 已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】由题意得圆的圆心为，得，
圆与圆的半径之差为，
所以圆与圆的位置关系为内含，所以PQ的最小值为.
故选：C.
7. 在等比数列中，是方程的两个实根，则（ ）
A. -5B. ±5C. 5D. 25
【答案】A
【解析】由题意得，得，
则.由，得.
故选：A.
8. 已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（ ）
A. 9B. C. D. 8
【答案】B
【解析】设，则，所以
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
故选：B
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由，得，故A、B正确；
因为，
所以公差.故C错误，D正确.
故选：ABD
10. 已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（ ）
A. 2B. -4C. 1D. -3
【答案】CD
【解析】由，得，取的中点，连接，如图，则.
由，得，则，
所以圆心到直线的距离，得或，
故C、D正确.
故选：CD.
11. 已知数列的前项和为，则（ ）
A.
B. 为等比数列
C.
D.
【答案】ACD
【解析】选项A，
由题意得，A正确；
选项B，将两边同时除以，
得，即，
则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误；
选项C，由，
得，
所以①，
则②，
①-②得，，
，
即，
则，C正确；
选项D，因为，
所以，D正确.
故选：ACD.
12. 已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】CD
【解析】由，得．
因为点Mx1,y1，Nx2,y2在椭圆上，
所以
消去得，
解得．
因为直线斜率存在为，
所以，所以，显然，解得．

故选：CD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知数列的前项和为，且，则__________.
【答案】4
【解析】由题意得.
故答案为：4
14. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.
【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）
【解析】由题意得抛物线的准线可能为直线，
所以的标准方程可能为.
故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.
15. 已知等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】46
【解析】由等差数列的性质可知成等差数列，
即1，8，成等差数列，且公差为，
所以，
得.
故答案为：.
16. 已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.
【答案】；1024
【解析】由题意得
，则，得.
因为，所以.
易得，则，
所以.
当时，，当时，，
所以.
故答案为：；
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列的前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
解：（1）由，得，所以.
（2）设这5个数组成的等差数列为，
则，，
得该数列的公差，
所以，，.
因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.
18. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.
（1）求的方程；
（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.
解：（1）由题意可得，得，所以的方程为.
（2）由题意得.
设，，依题意可得，且，
由得，
则，解得.
经检验，点在椭圆内.
所以为所求.
19. 已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）当时，，
当时，由，①
得，②
①-②得，即，
经检验，也符合，
所以；
（2）由题意得，
所以
.
20. 已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.
（1）求的离心率；
（2）若直线与交于两点，且，求.
解：（1）由题意，设，
由双曲线经过两点，得，
得，即，则，
所以的离心率为.
（2）设，由，得，
依题意可得，且，即.
由韦达定理得，
所以
，
整理得，解得或.
21. 已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.
（1）设，证明：是等比数列.
（2）求数列的通项公式.
解：（1）当时，线段的中点为，，
则.
由得，
所以，即.
因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，即，
则，，…，，
将以上各式相加得
.
因为，所以.
当时，也符合上式，故.
22. 已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.
（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；
（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.
解：（1）抛物线焦点，设，
由消去x得，则，，
由点F是的重心，得，则，
而点C在上，于是，又，所以.
（2）当时，的方程为，设，，，
当AB,AC的斜率均存在时，直线的斜率，
同理得直线的斜率，直线的斜率，
直线AB的方程为，化简得.
而直线AB过点，即，显然，则，
又，即，于是，整理得，
直线AC的方程为，化简得，
将代入，得，令，得，直线AC过定点，
设线段ME的中点为G，则G的坐标为，
因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，
因为，所以D的轨迹方程为（且）；
当直线的斜率不存在时，，，，
解得，不合题意；
当直线AB的斜率不存在时，，则或，经检验直线AC过定点；
所以D轨迹方程为（且）