2023~2024学年四川省眉山市高二上期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年四川省眉山市高二上期末考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卷交回等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上．
4．考试结束后，将答题卷交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，又因为
所以，
故选：B.
2. 椭圆焦距为（ ）
A. B. 8C. 4D.
【答案】A
【解析】由题意，，故椭圆的焦点在轴上
故焦距
故选：A
3. 空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵M，G分别是BC，CD的中点，
∴，．
∴．
故选：C
4. 张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万．2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本事件为、、、、、、、、、共10个，其中是孪生素数的基本事件为、共2个，
所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率为.
故选：B.
5. 已知圆和存在公共点，则m的值不可能为（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】D
【解析】因为圆和存在公共点，
所以两圆相交或者相内切或者相外切，
即，
解得，选项ABC满足，m的值不能为D.
故选：D
6. 已知数列，若，，且（为正整数），则数列的第项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
，
数列是以为周期的周期数列，，
又，，，，，.
故选：D.
7. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，直线被圆所得截得的弦长为，

则圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得，则，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
8. 正四棱锥P—ABCD的高为3，，点E满足，则点D到平面AEC的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】正四棱锥中，连接，设与相交于点O，连接，
显然直线两两垂直，以点O原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

由，，得，
则，
，由，得，
，设平面AEC的法向量为，
则，取，得，
所以点D到平面AEC的距离．
故选：A
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件
B. 若为两个事件，则
C. 若事件两两互斥，则
D. 若事件满足与相互对立，则
【答案】AD
【解析】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立，
但与相互对立，则与一定互斥，
故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确；
对于B，若为两个事件，则，故B错误；
对于C，若事件两两互斥，则不一定成立，
如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，
“向上的点数为3”，
事件两两互斥，但，故C错误；
对于D，若事件满足与相互对立，则，故D正确.
故选：AD.
10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. 当取得最大值时，D.
【答案】ABC
【解析】等差数列的前项和为，
，所以，
，
所以，所以且，
所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值．
故D正确，ABC错误．
故选：ABC．
11. 在棱长为2的正方体中，E，F，M分别为棱BC，CD，的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 存在点P使平面
C. 当点P运动到点处时，点D到直线PM的距离为1
D. PE与平面所成角正切值的最大值为
【答案】ABD
【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
令，则点，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，令平面的法向量，
则，取，得，而，
由，得，因此存在点，即线段中点，
有，而平面，于是平面，B正确；
对于C，当点P运动到点处时，
，，
因此点D到直线PM的距离，C错误；
对于D，，而平面的一个法向量，
令PE与平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即点时取等号，而，正弦函数在上单调递增，
则当时，取得最大值，又正切函数在上单调递增，
即当时，取得最大值，此时，D正确
故选：ABD
12. 已知O为坐标原点，点在抛物线C：（）上，F为抛物线的焦点，过F的直线交C于M、N两点（M在y轴的右侧），且，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题设，可得，
令，联立抛物线，有，
则，，
所以，，
由，且，即，
所以，且，
故，有，则，
又M在y轴的右侧，易知，即，
则，故，A对；
综上，，，
则，
又，则到直线的距离，
所以，B错；
令，联立抛物线，得，
且，所以或，且，，
所以，，
而，，同理，
，
所以，C对；
，，同理，
，D对.
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为4，则双曲线的标准方程为_____________．
【答案】
【解析】双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，
设双曲线方程为，
即，而双曲线的虚轴长为4，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
14. 如图是某桁架桥模型一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成．其中，那么直线IF与直线EC所成角的余弦值为_____________．
【答案】
【解析】连接，依题意，四边形是正方体的对角面，
因此四边形是矩形，，则是直线IF与直线EC所成的角或其补角，
令，则，，，
而，，
所以直线IF与直线EC所成角的余弦值为.
故答案为：
15. 已知圆C：，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则弦长的最小值为_____________．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
由切圆C于点，则，，且，
于是四边形的面积，
因此，
点到直线的距离，显然，当且仅当垂直于直线时取等号，
所以当垂直于直线时，弦长取得最小值.
故答案为：
16. 已知数列的前n项和为,且,若对于都有，则实数的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】由，得，解得，
当时，，
整理得，即，因此数列是首项为，公差为1的等差数列，，
不等式，
依题意，对于都有成立，
而，当且仅当时取等号，因此，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．
17. 已知，，．
（1）求边BC上的高线所在直线方程；
（2）求过点A且平行于直线BC的直线方程．
解：（1）点，，则直线的斜率为，
因此边上的高所在直线的斜率为，方程为，即，
所以边上的高所在直线的方程为.
（2）由（1）知，平行于直线的直线斜率为，
所以过点A且平行于直线的直线方程为，即.
18. 设为等差数列的前n项和，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）设等差数列的公差为,由,,得，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，则，
所以.
19. 四川省高考目前实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选科目“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门，已知四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目中生物为必选科目．
（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求的概率；
（2）假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中至少有两人的选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求的概率．
解：（1）用分别表示“选择物理”“选择历史”，用分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，
则所有选科组合的样本空间，，
设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求”，
则，，
.
（2）设甲､乙､丙三人每人的选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求的事件分别是，
显然事件相互独立，由（1）知，
记“甲､乙､丙三人中至少有两人的选科组合符合四川大学华西医学院临床医学类招生选科要求”，
则，显然事件两两互斥，
所以
.
20. 已知两个条件：①圆经过圆与圆的交点．②圆C与x轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为．
在这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
（1）圆心在直线上，且____，求圆的方程；
（2）在（1）的条件下，由圆C外一点向圆C引一条切线，切点为Q，O为坐标原点，且有，求的最小值．
解：（1）选①，与相减可得，
故圆与圆交点弦方程为，
设两交点坐标为，
联立与得，
解得，不妨设，则，即，
故，则，
故的中点坐标为，
由几何关系可知，圆心在直线的垂直平分线上，即，
即圆心上，
联立，解得，故圆心，
半径为，
所以圆的方程为；
选②，圆C与x轴正半轴相切，且被直线截得的弦长为，
设圆心，，则半径为，
故圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
由垂径定理得，解得，
故圆的方程为；
（2）由题意得，
故，
又，
由题意得，
化简得，
故点在直线，
故当⊥直线时，取得最小值，
最小值为，故的最小值为.
21. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，．D，E分别是线段的中点，二面角为直二面角．
（1）求证：；
（2）棱（除两端点外）上是否存在点P，使得平面PBD与平面EBD夹角余弦值为？若存在，请求出点P的位置，若不存在，说明理由．
解：（1）如图，连接,因D，E分别是线段的中点,则,
又因,易得菱形,故,从而①.
因是正三角形，则,又平面平面，
且平面平面,平面，则平面，
因平面，故②又,平面，
由① ② 可得：平面,因平面,则.
（2）假设在棱（除两端点外）上存在点，使得平面PBD与平面EBD夹角余弦值为.
如图，连接因,且，
易得：,因平面平面，平面，
平面平面，
故得平面，
则可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则
设,则，又,
故,又,
设平面的法向量为，则
故可取；
又,设平面的法向量为，
则故可取.
于是，解得：或.
因，故舍去，
即在棱（除两端点外）上存在点满足，
使得平面PBD与平面EBD夹角余弦值为.
22. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F﹔
步骤⒉：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．
现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为，按上述方法折纸，以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2），，过点作斜率不为0的直线l，直线l与曲线C交于两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线方程．
解：（1）由题意可知，，
故点的轨迹是以，为焦点，且长轴长的椭圆，
焦距，所以，
因此轨迹方程为；
（2）由题意可设直线的方程为，，
联立，消得，
恒成立，
则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，
解得
，
所以点B在定直线上.