2023~2024学年四川省凉山州西昌市高二上期末考试数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年四川省凉山州西昌市高二上期末考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知为等比数列，若，则的值为， 若直线与圆相切，则m的值为， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟.
2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码站贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回.
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为直线方程为，
所以斜率为1，故倾斜角为，
故选:B.
2. 某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出15位同学进行项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】C
【解析】由题：，
故 “史地政”组合中选出的同学人数为4人，
故选：C．
3. 已知为等比数列，若，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故选:B.
4. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. （2，﹣1，2）
C. D. （1，﹣2，1）
【答案】A
【解析】因为，，所以，，
故向量在向量上的投影向量是.
故选：A．
5. 若直线与圆相切，则m的值为（ ）
A. 21或B. 或1
C. 5或D. 或15
【答案】D
【解析】圆的圆心为圆，半径为2，
由题意可得：，解得或.
故选：D.
6. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第二十层球的个数为（ ）
A. 210B. 220C. 230D. 240
【答案】A
【解析】设第层的小球个数为依次构成数列，由题：
从而有规律：
所以
所以．
即第20层有210个小球，
故选：A．
7. 如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（ ）
A. 等于B. 和EF的长度有关
C. 等于D. 和点Q的位置有关
【答案】A
【解析】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B错．
又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D错．
如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，∴，，，
设是平面的法向量，则由得
令，则，所以是平面的一个法向量．
设点Q到平面的距离为d，则，A对，C错．
故选：A．
8. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第二象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意：设，分别为的中点，
椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，
则由椭圆及双曲线定义可得：，解得，
又因为，且分别为，的中点，可得，
所以到渐近线的距离为，
所以，，结合，可得：，
因为，所以即，
整理得：，将代入得，
即，所以.
故选：C.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若空间向量，，满足，则
B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面
C. 若空间向量，，则
D. 对于任意空间向量，，必有
【答案】BD
【解析】若为零向量，有，但不一定成立，A错：
三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对；
若为零向量，，，
但不一定成立，C错：
由，，
而，所以，D对.
故选：BD
10. 已知抛物线焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的焦点坐标是
B. 焦点到准线的距离是4
C. 的最小值为8
D. 若点P的坐标为，则的最小值为6
【答案】BCD
【解析】A项，抛物线，所以，焦点坐标为，即，所以A错误；
B项，焦点到准线的距离为，即4，所以B正确；
C项，焦点弦MN，由几何性质可知通径最小，为，所以C正确；
D项，如图所示，，当M，，P三点共线时有最小值为，所以D正确.
故选：BCD.
11. 已知首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列
B. 数列不是等比数列
C.
D. 中任意三项不能构成等差数列
【答案】ABD
【解析】对于A,中位数2，极差为5，所以最大值不会超过7，符合条件；
对于B，若过去10天的人数分别为，
满足平均数为2，众数为2，但有一天人数超过7人，
所以不符合条件，故B错误；
对于C，因为平均数为2，标准差为，
所以，若有一天人数超过7，设为8时，
则，不符合题意，故没有一天人数超过7，
故C正确；
对于D，若过去10天的人数分别为，
满足平均数为1，方差大于0，但有一天人数超过7人，
所以不符合条件，故D错误，
故选：AC.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知方程表示双曲线，则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】由双曲线的标准方程可得：，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 如图,电路中A、B、C三个电子元件正常工作的概率分别为,则该电路正常工作的概率______.
【答案】
【解析】由题，该电路正常工作指的是A元件正常工作且B，C中至少有一个能正常工作，设A，B，C元件能正常工作为事件A，B，C，该电路正常工作为事件D，由题A，B，C相互独立，则
故答案为：．
15. 已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为______．
【答案】
【解析】由已知数列为等差数列，
则，
又，
所以，
则，
所以数列为递减数列，
则当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
故答案为：.
16. 在中,,，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝__，此时三棱锥的体积为 ____．
【答案】;
【解析】作于点，连接，设，则，
所以，在中，由余弦定理可得，
，
因为为直二面角，所以平面平面，
因为平面平面，，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
则，
当最短时，，所以，
即此时为的角平分线，，
且由角平分线定理可得，，
即，所以，
所以.
故答案为:；.
四、解答题（本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图,在空间四边形中,,点为的中点,设.
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值.
解：（1）因为点E为的中点，
所以
．
（2）因为，
所以
.
18. 某学校组织全校1000名学生参加了主题为“健康生活，积极运动”的大运会文创大赛，抽取了100名学生的得分进行分析，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生得分不低于80分的人数；
（2）试估计该校学生比赛得分众数和80%分位数（80%分位数保留小数点后2位）；
（3）若样本中有得分在的学生甲、乙两人，得分在的学生a，b，c三人，从这五人中抽取2人集中学习，请写出抽取的样本空间，并求出这2人得分都在的概率.
解：（1）由频率分布直方图可知，
，解得.
该校学生得分不低于80分的人数为：
.
（2）众数：75
因为，，
所以80%分位数在内，
所以80%分位数为：.
（3）样本空间为共10种，
2人得分在的情况有，，3种，
所以这2人得分都在的概率为.
19. 已知圆，直线.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.
解：（1）直线的方程可化为
联立，解得
故直线恒过定点
（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长
设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短
则直线的斜率为
由得直线的斜率为，解得
此时的方程为，
即
圆心到直线的距离为
∴最短弦长
故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为
20. 已知等差数列与正项等比数列满足，且，20，既是等差数列，又是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
由题得，即，
解得，，
所以，；
（2），
则，
.
故.
21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E点在AD上，且．

（1）求证：平面平面PAC；
（2）若直线PC与平面PAB所成的角为45°，求二面角的余弦值．
解：（1）∵平面，平面，∴，
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）∵，且，∴，
∵，∴，
∵，∴为等腰直角三角形，
∴，取BC中点G，连接AG，
∴，即，
由（1）可得，
以A为坐标原点，AG为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立如图所示的坐标系

由（1）可得，平面，
∴为直线PC与平面所成角，即
设平面的法向量为
∵，
∵，，
∴，令，则，，
∴
∵x轴⊥平面，∴平面的法向量，
设为二面角的平面角，且为锐角，
∴.
22. 已知椭圆：经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值．
解：（1）由题可得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，设直线的方程为，由得，
，
因为，所以，
即，所以，即，
设，，所以，，
因为，所以，
即，
所以，
所以，即，解得或（舍），
所以直线的方程为，即直线l恒过定点，
令，，则
，当时，最大值为．