2023~2024学年四川省自贡市高二上期末数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年四川省自贡市高二上期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知点，向量，则向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
则.
故选：A.
2. 已知直线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 倾斜角为B. 倾斜角为
C. 方向向量可以为D. 方向向量可以为
【答案】A
【解析】因为斜率，令，则，故A正确，B错误；
方向向量时，斜率，故C错误；
方向向量为时，斜率，故D错误；
故选：A.
3. 在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
则，
故，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.

4. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】曲线表示椭圆，即或
. 或， “”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B．
5. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为（ ）

A. 5B. 10C. 6D. 9
【答案】B
【解析】如图，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
设椭圆的方程为，，
当时，，解得，
因为，，所以，
所以，①
又因，
所以，②
由①②解得，
所以光从焦点出发经镜面反射后到达焦点经过的路径长为.

故选：B.
6. 已知平面直角坐标系中函数的图象是双曲线C，将曲线C绕原点顺时针旋转得到曲线，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】因为的两条渐近线，所以顺时针旋转后的渐近线为，
所以，即，
设与的交点为，
令，解得或，
所以，，
旋转后为双曲线的左右顶点，
所以，
所以，
故选：B.
7. 下列命题中真命题是（ ）
A. 如果不同直线m、n都平行于平面，则m，n一定不相交
B. 如果不同直线m，n都垂直于平面，则m，n一定平行
C. 如果平面、互相平行，若直线，直线，则
D. 如果平面、互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若，则
【答案】B
【解析】对于A，如果不同直线m、n都平行于平面，则m、n可能平行、相交或异面，A错误；
对于B，如果不同直线m，n都垂直于平面，根据线面垂直的性质知m，n一定平行，正确；
对于C，如果平面、互相平行，若直线，直线，则或异面，C错误；
对于D，如果平面、互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若，
则或或，也可能和相交但不垂直，D错误，
故选：B
8. 已知，是圆上的两个动点，且，则，两点到直线的距离之和的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以为直角三角形，为斜边，
设线段的中点为，则，从而在圆上，
设，两点到直线的距离之和为，到直线的距离为，由题意得，
圆的圆心到直线的距离为，
所以，即，所以．
故选：D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知双曲线，则双曲线（ ）
A. 焦点坐标为和
B. 渐近线方程为和
C. 离心率为
D 与直线有且仅有一个公共点
【答案】CD
【解析】A：因为，所以，所以焦点坐标为，故A错误；
B：因为，所以渐近线方程为，即，故B错误；
C：因为，所以，故C正确；
D：因为与渐近线平行，所以与双曲线有且仅有一个交点，故D正确；故选：CD.
10. 如图，已知三棱锥的截面平行于对棱．下列命题正确的有（ ）
A. 四边形是平行四边形
B. 当时，四边形是矩形
C. 当时，四边形是菱形
D. 当时，四边形周长为4
【答案】ABD
【解析】由平面，平面平面，平面，得，
同理，于是，同理，因此四边形是平行四边形，A正确；
当时，则，平行四边形是矩形，B正确；
由，得，由，得，
又，则，而与不一定相等，
因此与不一定相等，即平行四边形不一定是菱形，C错误；
由选项C知，，，两式相加得，即，
所以平行四边形的周长为4，D正确.
故选：ABD
11. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使三点重合于点，则下列判断正确的是（ ）
A.
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积是
D. 三棱锥的外接球的体积是
【答案】ABD
【解析】正方形中，，，
折起后，有，
平面，∴平面，
又平面，所以，故A正确；
因为平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，故B正确；
折叠后可知三条直线两两垂直，
，，
，故C错误；
由三条直线两两垂直，
如图，补全长方体，
则长方体的体对角线即为三棱锥的外接球的直径，
设三棱锥的外接球的半径为，
则，所以，
所以三棱锥的外接球的体积是，故D正确.
故选：ABD.
12. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，过点作抛物线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 当时，
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 当最小时，切线与准线的交点坐标为
【答案】ACD
【解析】对于A，依题意可设直线的方程为，，，，则，，
联立，消整理得，
则，代入得，
则，当且仅当时取等号，
所以 的最小值为，故A正确；
对于B，结合A可得，，
由，得，解得，，故B错误；
对于C，由题意得抛物线准线方程为，焦点，
设，，在准线上的射影为，，，
则，，，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故C正确；
对于D，结合A可得，当最小时，不妨取，
则可设切线的方程为，
联立，
消整理得，
则，解得，所以切线的方程为，
联立，解得，，即切线与准线的交点坐标为，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的横线上）
13. 离心率的双曲线与椭圆有公共焦点，则该双曲线实轴长为______．
【答案】8
【解析】椭圆的半焦距，
依题意，双曲线的半焦距为，而双曲线的离心率，则双曲线实半轴长，
所以该双曲线的实轴长为.
故答案为：8
14. 在正方体中，平面，若，则_______．
【答案】
【解析】在正方体中，连接，连接，
显然平面平面，平面平面，
则，即，又正方体的对角面是矩形，
即有，于是，所以.
故答案为：
15. 过点的直线与抛物线交于不同两点A、B．则______．（O为坐标原点）
【答案】0
【解析】依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去x并整理得，设，则，
所以.
故答案为：0
16. 如图，圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径为圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则每个球的表面积为______．
【答案】
【解析】设球半径为，依题意，，解得，
所以一个小球的表面积为.
故答案为：
四．解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 设是等差数列，若．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和及其最值．
解：（1）设公差为，
由，
得，解得，
所以；
（2）设数列的前项和为，
则，
函数的对称轴为，
所以，无最小值.
18. 设圆C圆心在直线上，圆C与直线相切于点
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线与圆C相交于A、B．若，求直线AB的方程．
解：（1）由圆C与直线相切于点，得圆心在垂直于直线的直线上，
则直线的斜率为1，方程为，即，由，解得，即点，
圆的半径，所以圆C的方程为.
（2）由（1）知，圆：，由弦长为2，得圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，显然点到此直线距离为1，符合题意，
当直线的斜率存在时，设方程为，
即，
由，解得，即直线方程为，
所以直线方程为或.
19. 如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，且
（1）求证：平面；
（2）求二面角大小的余弦值．
解：（1）由AB是的直径，得，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，得，
而平面，所以平面.
（2）在平面内过作于，在平面内过作于，连接，
由（1）知，平面，则，而平面，
于是平面，又平面，则，而平面，
因此平面，而平面，则，从而是二面角的平面角，
由PA垂直于所在的平面，在所在的平面内，
则，
由，得，，
则，，
在中，，，
所以二面角大小的余弦值.
20. 双曲线左右焦点分别为，若双曲线C经过点且一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求的面积（为坐标原点）．
解：（1）由题意可得，，
解得，
所以双曲线C的方程为；
（2），
则直线的方程为，即，
则原点到直线的距离，
设，
联立，
消得，
，
则，
所以，
所以的面积.

21. 如图，三棱柱中，侧棱底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，的中点．
（1）证明平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：（1）在三棱柱中，
连接，
由分别为的中点，得且，
而且，
又为的中点，
则且，
于是且，
因此四边形是平行四边形，
则，而平面，平面，
所以平面.
（2）在三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，令，
取中点，连接，而为中点，则，有底面，
由正，得，显然直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，设平面的法向量，
则，令，得，
令直线与平面所成的角为，
于是，
所以直线与平面所成角的正弦值.
22. 已知椭圆的左右焦点分别，若______．
请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答（若都选择，则按照第一个解答给分）
①四点中，恰有三点在椭圆C上．
②椭圆C经过，轴，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点D为椭圆C的上顶点，过点D作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A、B两点，过D作直线AB的垂线垂足为M，判断y轴上是否存在定点N，使得为定值？请证明你的结论．
解：（1）若选①：因为中有三点在椭圆上，
由于关于原点对称，所以均在椭圆上，
又因为的横坐标相同，所以不在椭圆上，在椭圆上，
所以，所以，所以椭圆的方程为；
若选②：因为轴，，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，，
因为，所以且，
解得，此时显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设，，
联立可得，
且，即，
所以，
所以
，
所以，
化简可得，解得或，
当时，过点，显然不符合题意，
当，过定点，
若时，此时为直角三角形且为斜边，
所以当为中点时，，即为定值；
当时，此时重合，取，则，符合情况，
综上所述，存在使得为定值.