2024~2025学年湖北省宜城市九年级上期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省宜城市九年级上期中数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A. B. C. D. 为任意实数
【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴．
故选：A
2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，
∴
∴，
∴
故选：D．
3. 方程有相等的两个实数根，则 c 等于（ ）
A. 0B. 4C. 9D. 16
【答案】C
【解析】解：∵方程有相等的两个实数根，
∴，
∴，
故选：C．
4. 正五边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：,
∴旋转角至少为，
故选：B．
5. 对于二次函数的性质描述正确的是 （ ）
A. 该函数图象开口朝下
B. 该函数图象的对称轴在y 轴右侧
C. 当时，y 随 x 的增大而减小
D. 该函数图象与y 轴的交点位于y 轴正半轴
【答案】B
【解析】A、，该函数图象开口朝上，故A不符合题意；
B、对称轴为，该函数图象的对称轴在y 轴右侧，故B符合题意；
C、对称轴为，当时，y 随 x 的增大而增大，故C不符合题意；
D、时，即与y轴交点为原点，故D不符合题意；
故选：B．
6. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 10
【答案】A
【解析】解：∵点与点关于原点对称,
∴,
解得：,
∴,
故选：A．
7. 如图，绕点B顺时针旋转一定角度后得到，点 D 刚好在的延长线上．若，则旋转角的度数为（ ）

A. 48°B. 68°C. 84°D. 96°
【答案】C
【解析】解：∵点 D 刚好在的延长线上．若,
∴，
∵绕点B顺时针旋转一定角度得到,
∴，
∴，
则，
故选：C．
8. 如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为米、米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：∵小道的宽为x米，
∴需要种植的矩形的长为，宽为，
则，
故选：A
9. 如图，三点都在上，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=43°，
∴∠AOB=94°，
∴∠ACB=47°．
故选：C．
10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，y有最大值；⑤一元二次方程的解是，，其中正确的结论有（ ）
A. ①②③B. ③④⑤C. ①③④D. ②③⑤
【答案】B
【解析】解：根据图象得：
函数图象开口向下，
与y轴的交点在x轴上方，与x轴的交点是，，
∴．
对称轴为， 即，
则,
∴,
∴，
故①错误；
当时，，且，
∴,
∴，
故②错误；
∵，
∴，
故③正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为，
当时，y有最大值，
故④正确；
一元二次方程的解指的是与x轴的交点，
二次函数与x轴的交点是，，故，，
故⑤正确．
综上所示，正确的结论有③④⑤．
故选：B．
二、填空题 (本大题有5个小题，每小题3分，共15分）
11. 方程的根是________
【答案】，．
【解析】解：,
移项得，
∴．
故答案为：，．
12. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．
【答案】
【解析】解：∵是关于的一元二次方程的一个根,
∴，解得：,
故答案为：-1．
13. 小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：，当篮球在空中的飞行时间____________秒时，篮球距离地面最高．
【答案】
【解析】解：∵，，
∴当时，h有最大值，即此时篮球距离地面最高，
∴当篮球在空中的飞行时间为秒时，篮球距离地面最高，
故答案为：．
14. 如图，水管横截面半径为13cm，水面宽，则水的最大深度 ___________cm．

【答案】18
【解析】解：过O作于C，交优弧于点D，连接，如图，
则，，
在中，由勾股定理得：，
∴．
即水的最大深度为18cm，
故答案为：18．

15. 如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值_____．
【答案】2
【解析】解：如下图所示，延长至点F，使，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，
当时线段的最小，
∵，，，
∴
∴,
∵，
∴,
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分）
16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若且为整数，求方程的根．
解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，．
（2）∵且为整数，且，
∴，
∴整数值为，
当时，原方程可化为：，
∴，
解得，．
17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．
（1）判断的形状；
（2）求证：平分．
解：（1）解：绕点逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
（2）证明：绕点逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分．
18. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价5元，当天可获利多少元？
（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
解：（1）（元），
答：若某天该商品每件降价5元，当天可获利1800元．
（2）由题意得： ，
化简得：，即，
解得： ，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
19. 已知关于的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵关于的一元二次方程有，两实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵关于的一元二次方程有，两实数根，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，即，
解得或，
又∵方程关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴，
经检验，当时，，
∴存在，满足．
20. 如图，已知抛物线经过点．

（1）求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当时，直接写出的取值范围．
解：（1）把代入得：
，
解得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，有最大值4，
∵当时，或，
∴当时，x的取值范围是或．
21. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
解：（1）证明：连接，如图，
∵为直径，
∴，即，
又∵，
∵，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，是的直径，
∴是的切线，
∵CD是的切线；
∴，
∵，
∴，
解得．
22. 某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．
（1）求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价总成本研发费用）；
（3）公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．
解：（1）设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得：
解得，
；
（2）根据题意得：
，
，由已知可得，
时，取最大值，最大值为，
答：，第一年年利润的最大值时万元；
（3）由（2）得出，
依题意，记扣除捐赠后的利润为，
则，
∴，开口向下，对称轴，
∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m 元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，
，
∴.
23. 半角模型探究
如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到．
（1）求证：；
（2）当时，求的长．
（3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长．
解：（1）证明：逆时针旋转得到，
，，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：设，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
则．
∴；
（3）解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到，
由旋转可得，，，，，
，
，
，
，
点、、三点共线，
在和中，
，
，
，
，
；
∵
∴
则
∴
∴
则的周长为．
24. 如图1，在平面直角坐标系内，抛物线的顶点坐标为，与直线交于点和点．
（1）直接写出点的坐标 ；
（2）求抛物线的解析式，并求出点的坐标；
（3）如图2，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，以为一边，在的右侧作矩形，且．当矩形的面积随着的增大而增大时，求的取值范围．
解：（1）如图1，作交于点D，
∵，∴，∴，
∵、B为二次函数与x轴的交点，
∴、B关于直线对称，
∴，
∴，
∴．
（2）设抛物线解析式为，
将代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
∴．
（3）∵点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，交抛物线于点，
∴，，
如图2，当点D在点C左侧时，
，
∴，
∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大，
如图3，当点D在点C右侧时，
，
∴，∴，
∴当时，矩形的面积随着的增大而增大．
综上所述，当或时，矩形的面积随着的增大而增大．