2024~2025学年湖北省宜昌市宜都市九年级上期中数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年湖北省宜昌市宜都市九年级上期中数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
2. 关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 3，B. 3，2C. 3，5D. 5，2
【答案】A
【解析】解：关于一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是3，，
故选A．
3. 已知关于的一元二次方程的一个解为，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程的解为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
4. 函数的图像的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数的图像的顶点坐标是；
故选：B．
5. 是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（ ）

A. 旋转中心是点CB.
C. D. 点D是中点
【答案】D
【解析】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，
∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点，
∴A、B、C结论正确．
故选：D．
6. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：
∴；
故选A．
7. 设是抛物线上的三点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
．
故选：A
8. 若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：设该增长率为x，
根据题意可得出，
故选：C．
9. 关于x的方程，其中a，b，c满足和．则该方程的根是（ ）
A. 1，3B. 1，C. ，3D. ，
【答案】B
【解析】解：由题意可知，当时，；
当时，；
∴该方程的根是1，，
故选：B
10. 已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（ ）
A. B. 1C. −1D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴对称轴直线，
∵当时，随的增大而减小，
∴抛物线的开口向上，
∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
解得：或（舍去）；
故选B．
二、填空题（共5题，每题3分，满分15分）
11. 抛物线的开口方向为________．（填“向上”或“向下”）
【答案】向下
【解析】解：由得： ，
∴二次函数图象开口向下．
故答案为：向下．
12. 若函数是二次函数，则的值为_________．
【答案】1
【解析】解：∵函数是二次函数，
∴，
∴．
故答案为：1
13. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为，
故答案为：．
14. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④．其中正确结论是______（写序号）．
【答案】③④
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，且抛物线与轴交点在轴上方，
，．
，故结论①错误；
抛物线与轴有2个交点，
，即，故结论②错误；
由图象可知，对称轴是直线，
当时的函数值与当时的函数值相等．
当时，，
又，
．
，
，故结论③正确；
当时，可有，
当时函数值为，
又时函数取最大值，
，即．
又，
，故结论④正确．
综上所述，结论正确的有③④．
故答案为：③④．
15. 如图，在中，，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当线段的最小值是时，的值是___________．
【答案】
【解析】解：如图所示，将CD绕点逆时针旋转90°得CE，连接，过点作于点，
∴，
∴四边形是正方形，则，
∵，
∴，
根据旋转可得，，且，
∴，
∴，即BD的最小值就是的最小值，
设，
∵，
∴，
在中，
，
∵，
∴当时，有最小值，且最小值为，则，
∵，
∴的最小值即为BD的最小值，即，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解方程：．
解：，
∴，
∴，
解得：.
17. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．

解：证明：是由旋转得到，

，，，
，
，，
，
，
.
18. 已知抛物线．
（1）开口向______，顶点坐标是______，对称轴是______，当时，随的增大而______；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），
则抛物线的开口向上，顶点坐标为：，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，
故答案为：上，，直线，减小；
（2）由（1）知，抛物线开口向上，对称轴为直线，
若，则函数取得最大值，
当时，，
抛物线在顶点处取得最小值为2，
即的取值范围．
19. 如图，已知二次函数的图象经过点和点．
（1）求该二次函数解析式；
（2）已知点在第一象限，若点与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标．
解：（1）∵二次函数的图象经过点和点，
得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：．
（2）∵点函数图象上，
∴，
解得：，
∵，
∴（舍去），
∴．
∵点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线，
∴．
20. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．
（1）求的取值范围；
（2）若，满足，求实数的值．
解：（1）∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，
∴，
；
（2）∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴
∴，
，
∴，
∴
解得：，（舍去）
∴．
21. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为．
（1）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的；
（2）以点为旋转中心，画出把逆时针旋转得到的；
（3）若绕某点顺时针旋转一定角度得到，请直接写出旋转中心D的坐标．
解：（1）如图，
（2）如图，
（3）如图，旋转中心D的坐标为．
22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）若外墙的长为，当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
（3）设墙长为a米，若要确保能建面积为的两种长宽不同的长方
形鸡场，则a的最小值为______（直接写结果）
解：（1）设矩形的边，
则边．
根据题意，得
化简，得
解得
当时，，故不合题意舍去．
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）不能，理由如下：
由题意，得
化简，得
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
（3）由（1）可知，当时，；当时，，故要确保能建面积为的两种长宽不同的长方形鸡场时，a的最小值为40．
23. 如图，在中，，．
（1）如图1，点在边上，，求的值；
（2）如图2，点在外部，且，，若，求证：．
解：（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，过点A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24. 综合运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在的上方，作轴，交于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当 时，求点E的坐标；
（3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将点，代入中，
得：，
解得：，
∴ 抛物线的解析式为：；
（2），
，
设直线的解析式为：，
将点，代入中，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则点，
，
解得：，
此时，，
∴点 E的坐标为 ；
（3）存在，
由题意，可知抛物线的对称轴为直线：
，
∵轴，点，
∴，
∴，
∵点，，
，
由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过平移已知顶点来找到点N，如图：

当为边时，点由点向右平移4个单位长度，
∴点向右平移4个单位长度得到，
∴四边形是平行四边形，∴，
点由点向左平移4个单位长度，
∴点向左平移4个单位长度得到，
∴四边形是平行四边形，∴，
当为对角线时，点由点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，
∴点向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到， 则四边形是平行四边形，
∴，
综上所述，点N的坐标为或1,0或．