专题01 新高考情景下的创新定义问题（八大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16285" 题型01 集合中的新定义 PAGEREF _Tc16285 \h 1
\l "_Tc5039" 题型02 平面解析几何中距离的新定义 PAGEREF _Tc5039 \h 3
\l "_Tc7047" 题型03 函数中的新定义 PAGEREF _Tc7047 \h 4
\l "_Tc9600" 题型04 立体几何中的新定义 PAGEREF _Tc9600 \h 6
\l "_Tc23043" 题型05 概率与统计中的新定义 PAGEREF _Tc23043 \h 8
\l "_Tc24675" 题型06 导数中的新定义 PAGEREF _Tc24675 \h 11
\l "_Tc20471" 题型07 圆锥曲线中的新定义 PAGEREF _Tc20471 \h 13
\l "_Tc28107" 题型08 数列中的新定义 PAGEREF _Tc28107 \h 15
题型01 集合中的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合.
(1)当时，写出集合；对于，写出；
(2)当时，如果，求的最小值；
(3)求证：.
（注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.）
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若对任意的，，有或，则称集合为完美集合．
(1)分别判断集合与是否为完美集合；
(2)当时，若，求完美集合；
(3)若集合为完美集合，记，求证：．
3．（2024·浙江·二模）已知集合，记，，是自然数集
称函数，若对于任意，；
称函数是单调的，若对于任意，；
•称函数是次模的，若对于任意,
已知函数是次模的．
(1)判断是否一定是单调的，并说明理由；
(2)证明：对于任意，，；
(3)若是单调的，是正整数，，记，已知集合满足．初始集合，然后小明重复次如下操作：在集合中选取使得最小的元素加入集合，最终得到集合．证明：
4．（2024·福建泉州·二模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如果约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制：满十六进一，就是十六进制．k进制的基数就是k．我们日常生活中最熟悉、最常用的就是十进制．例如，数3721也可以表示为：一般地，如果k是大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为．其中．为了简便，也会把它写成一串数字连写在一起的形式：，如果不加下标就默认是十进制．
(1)令集合，将B中的元素按从大到小的顺序排列，则第100个数为多少？
(2)若，记为整数n的二进制表达式中0的个数，如，求的值．（用数字作答）
(3)十进制中的数999在其他进制中是否也可以表示成一个各位数字之和为27的三位数？如果能，请求出所有的k进制数；如果不能，请说明理由．
5．（2024·浙江杭州·一模）已知正项有穷数列，设，记的元素个数为.
(1)若数列，求集合，并写出的值;
(2)若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”;
(3)若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数.
题型02 平面解析几何中距离的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·四川·期中）定义：如果在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离；为A，B两点间的欧几里得距离．
(1)已知，求的最小值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，点在函数图象上，点在函数图象上，且，点A，B有的最小值为4，求实数a的取值．
2．（2024·山东·模拟预测）设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，两点间的距离．
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，．（注：当足够大时，）
3．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）.
(1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离；
(2)若点，，求的最大值；
(3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
题型03 函数中的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
2．（2024·甘肃白银·一模）设A为一个非空的二元有序数组的集合，集合为非空数集.若按照某种确定的对应关系，使得A中任意一个元素，在中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在A上的二元函数，记作.已知二元函数满足，且.
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)已知数列满足，数列的前项和为，证明：.
3．（2024·上海宝山·一模）已知都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数，当分别是和的驻点时，记，若，则称和满足性质；当，且时，记，若，则称和满足性质.
(1)若，，判断和是否满足性质，并说明理由；
(2)若，，且和满足性质，求实数的取值范围；
(3)若的最小正周期为4，且，.当时，的驻点与其两侧区间的部分数据如下表所示：
已知和满足性质，请写出的充要条件，并说明理由.
题型04 立体几何中的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高一下·重庆·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为.、、为球面上三点，劣弧的弧长记为，设，表示以为圆心，且过、的圆，同理，圆，的劣弧、的弧长分别记为、，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.
(1)若平面、平面、平面两两垂直，求球面三角形的面积；
(2)若平面三角形为直角三角形，，设，，.则：
①求证：
②延长与球交于点.若直线，与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值，及此时平面截球的面积.
2．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的一个顶点，（，且）为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面、平面、、平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，．
(1)求四棱锥在顶点处的离散曲率；
(2)求四棱锥内切球的表面积；
(3)若是棱上的一个动点，求直线与平面所成角的取值范围．
3．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为的一条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.

(1)如左图，在四面体中，分别为所在棱的中点，证明：的三条内棱交于一点.
(2)同左图，若为垂棱四面体，，求直线与平面所成角的正弦值.
(3)如右图，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于两点，为平面下方一点，若为垂棱四面体，则其外接球表面积是的函数，求的定义域与最小值.
题型05 概率与统计中的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·江西·模拟预测）在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．
2．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高三（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表：
(1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率；
(2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值.
(3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01）
（参考公式：相关系数）
3．（2024·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为，．定义X关于事件“”的条件数学期望为：．已知条件数学期望满足全期望公式：．解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为．规定，．
(1)求；
(2)求；
(3)已知，证明：随着n的增大而增大．
4．（2024·江西·二模）在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中，而在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中．现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
(1)求出维“立方体”的顶点数；
(2)在维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离．
①求的分布列与期望；
②求的方差．
5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中．
(1)若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差；
(2)若，．
①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求；
②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求．
题型06 导数中的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·上海·模拟预测）已知函数，如果存在常数，对任意满足的实数，其中，都有不等式恒成立，则称函数是“绝对差有界函数”
(1)函数是“绝对差有界函数”，求常数的取值范围；
(2)对于函数，存在常数，对任意的，有恒成立，求证：函数为“绝对差有界函数”
(3)判断函数是不是“绝对差有界函数”？说明理由
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
3．（22-23高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为，且满足：...已知在处的阶帕德近似为.注：，
(1)求实数的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中，
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在使的极值差比系数为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．
5．（2024·上海徐汇·一模）已知定义域为的函数y=fx，其导函数为y=f′x，若点在导函数y=f′x图象上，且满足，则称为函数y=fx的一个“类数”，函数y=fx的所有“类数”构成的集合称为“类集”.
(1)若，分别判断和是否为函数y=fx的“类数”，并说明理由；
(2)设y=f′x的图象在R上连续不断，集合.记函数y=fx的“类集”为集合，若，求证：；
(3)已知，若函数y=fx的“类集”为R时的取值构成集合，求当时的最大值.
题型07 圆锥曲线中的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，并按这样的规律继续下去．
(1)求．
(2)求证：不存在正整数，使得三角形的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数，三角形为锐角三角形．
2．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.
(1)求的方程;
(2)若是四边形的等线，求四边形的面积;
(3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线
3．（2024·浙江·一模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点0,1的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)圆：是直线族的包络曲线，求，满足的关系式；
(2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；
(3)在（1）（2）的条件下，过曲线上动点向圆做两条切线，，交曲线于点，，求面积的最小值.
4．（2024·四川·一模）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.
5．（2024·江西新余·模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系中，可以用两点之间距离公式刻画两点的距离，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定某一实数满足：①，当且仅当时等号成立； ②； ③.其中，为平面直角坐标系内的三个点，我们就称是关于两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系（为坐标原点）内两点的“距离”.
(1)求证：两点的“距离”是关于两点的一个“度量”.
(2)设为平面直角坐标系内任意一点.
（ⅰ）若，请在下图中定性做出点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与其特征）.

（ⅱ）求证：.
(3)规定平面内两条平行直线的距离为在上分别取的任意两个点距离的最小值.已知不重合的直线，，，求的取值范围.
题型08 数列中的新定义
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·江西九江·二模）已知无穷数列中，，记.
(1)若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值；
(2)若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；
(3)设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列.
2．（2024·广东·模拟预测）已知数列是由正整数组成的无穷数列.若存在常数， 对任意的成立，则称数列具有性质.
(1)若，请判断数列是否具有性质；
(2)若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件；
(3)已知数列中，且.若数列只有性质，求数列的通项公式.
3．（2024·河南新乡·一模）在平面直角坐标系中，是坐标原点．若点列中的3个相邻的点满足，则称关于的方程是的特征方程，将方程的实数根称为的特征根．已知，点列的特征根为1和．
(1)求点的坐标；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若是公差为的等差数列，且各项都为正整数，和是已知的常数，求点列的特征根．
4．（2024·山东·模拟预测）已知无穷数列，构造新数列满足满足满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，），若为常数数列，则称为阶等比数列.
(1)已知为二阶等差数列，且，求的通项公式；
(2)若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列．证明：为三阶等比数列；
(3)已知，令的前项和为，证明：．
5．（2024·广东广州·模拟预测）若有穷数列（且）满足，则称为M数列.
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由：
①1，2，4，3.
②4，2，8，1.
(2)已知M数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
(3)已知数列是（且）个连续正整数的一个排列.若，求的所有取值.
一、解答题
1．（2024·广西·模拟预测）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．
(1)已知电源电压X（单位：V）服从正态分布，且X的积累分布函数为Fx，求；
(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为．设，证明：；
附：若随机变量Y服从正态分布，则，，．
2．（2024高三·全国·专题练习）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．
3．（2024·河北张家口·二模）如果项数均为n的数列满足，且为奇数时，；为偶数时，，其中，那么就称为“互补交叉数列”，记为的“互补交叉数列对”，为的前项和.
(1)若，且，写出所有满足条件的“互补交叉数列对"；
(2)当为“互补交叉数列”时，
（i）证明：取最大值时，存在；
（ii）当为偶数时，求的最大值.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、第n块，将前块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为．
①比较与的大小；
②对于无穷数列，如果存在常数，对任意的正数，总存在正整数，使得，，则称数列收敛于，也称数列的极限为，记为；反之，则称不收敛．请根据数列收敛的定义判断是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．
5．（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中．
(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．
(2)对任意一次测试，证明：．
(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
6．（2024·浙江温州·三模）现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.
(1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率；
(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：）
（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数）
7．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的非空点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.
8．（24-25高三上·广西·阶段练习）一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果当无限接近于0（亦即时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线y=fx，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积（如下图）．
如果是区间上的连续函数，并且，那么
(1)求；
(2)设函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）数列满足，利用定积分的几何意义，证明：．
9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.
10．（2024·辽宁·一模）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若，则称具有性质.
(1)是否存在集合具有性质，若存在，请写出的表达式，若不存在，请说明理由；
(2)判断集合是否具有性质？若具有，求的值；若不具有，请说明理由；
(3)是否存在具有性质的集合？若存在，请找出来；若不存在，请说明理由.
11．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数．
(1)若，请直接给出和；
(2)若均为正数，且，求的最小值；
(3)若，求证：．
12．（24-25高三上·河南·期中）在数列中，设是数列的前项和，并规定，定义集合，中元素的个数为.
(1)在数列中，若，，，，，，，，求；
(2)若，满足，
①证明：集合非空；
②证明：当，时，.
13．（23-24高二上·北京昌平·期中）在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 .
(1)填空：(直接写出结论)
①若， 则 ；
②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ；
③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ；
(2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标；
(3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件：
①；
②
若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由.
14．（24-25高二上·上海·阶段练习）在自然界中，蜂巢是蜜蜂的家园，由紧密排列的六角形蜂房连结在一起组成（如图1所示）.研究发现，蜂房的形状为"曲顶多面体"，其中开口的下底面可以近似看成平面正六边形，而蜂房的"上顶"，由三个全等的菱形闭合组成（如图2所示），蜂房的"侧棱"均垂直于底面，且满足关系.蜂房"上顶"的"弯曲度"可用"曲率"来刻画，定义其"弯曲度"的度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的"曲率"之和，而每一顶点的"曲率"定义为减去蜂房多面体在该顶点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.

(1)求蜂房"上顶"的"曲率"；
(2)若图2所示的蜂房满足，求的余弦值；
(3)若蜂房的底面正六边形边长，"侧棱"，求当蜂房的表面积最小时，顶点的"曲率"的余弦值.
15．（2024·福建泉州·模拟预测）已知有穷正项数列,若将每个项依次围成一圈,满足每一项的平方等于相邻两项平方的乘积,则称该数列可围成一个“HL-Circle”．例如：数列都可围成“HL-Circle”．
(1)设,当时,是否存在使该数列可围成“HL-Circle”,并说明理由：
(2)若的各项不全相等,且可围成“HL-Circle”．
（i）求的取值集合；
（ii）求证：．
16．（2024·辽宁·模拟预测）若函数在区间上满足对任意成立，则称为上的“可加函数”.
(1)若在区间上的“可加函数”单调递减，证明：；
(2)若对任意及满足的正实数，都有，则称函数是区间上的“凸函数”. 若对区间上的“凸函数”及给定的正整数，对任意及满足的正实数，都有，证明：对任意及满足的正实数，都有；
(3)设随机变量的可能取值为，记，则. 信息熵是信息论中的一个重要概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量时提供的信息量为，在实际应用中常取等. 定义信息熵为信息量的数学期望，证明：当时，.
17．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
(1)求出f（x）的“优秀区间”；
(2)设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．
1、集合新定义问题的方法和技巧
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
2、解决以集合为背景的新定义问题的关键点
（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.
1、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作．
结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则
结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则．
函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
1
3
0
0
0
极小值
极大值1
极小值
面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对
解决计数原理与概率背景下的新定义问题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数学成绩
116
131
124
126
121
110
106
99
118
117
数学名次
7
1
3
2
4
8
9
10
5
6
物理成绡
80
78
79
81
74
65
63
70
73
84
物理名次
3
5
4
2
6
9
10
8
7
1
导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸．
圆锥曲线背景下的新定义问题，关键在于理解新定义的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合。
方法总结如下：
1、明确新定义：首先仔细阅读题目，明确新定义的内容、符号及其含义。
2、联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系。
3、建立数学模型：根据新定义，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解。
4、验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求。
5、灵活应用：对于复杂问题，可能需要综合运用多种数学知识和方法，灵活应对。
数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
实际有雷
实际无雷
总计
检测到有雷
40
24
64
检测到无雷
10
26
36
总计
50
50
100