专题01 集合、常用逻辑用语、复数（7大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26664" 题型01 元素与集合的关系辨析应用 PAGEREF _Tc26664 \h 1
\l "_Tc21939" 题型02 根据集合的包含关系求参数 PAGEREF _Tc21939 \h 1
\l "_Tc16290" 题型03 集合交并补混合运算及参数问题 PAGEREF _Tc16290 \h 2
\l "_Tc25493" 题型04 集合中的新定义问题 PAGEREF _Tc25493 \h 2
\l "_Tc9768" 题型05 充要条件及其求参数问题 PAGEREF _Tc9768 \h 2
\l "_Tc6171" 题型06 全称量词和存在量词命题及其求参数问题 PAGEREF _Tc6171 \h 2
\l "_Tc1650" 题型07 复数综合运算 PAGEREF _Tc1650 \h 3
题型01 元素与集合的关系辨析应用
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.
【详解】因为且，所以，解得.
故选：A．
2．（2024·四川内江·三模）若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得.
【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为，
因此，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
3．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，若集合中至少有2个元素，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，从而可求出的取值范围.
【详解】因为集合中至少有2个元素，
所以，解得，
故选：D．
4．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（ ）
A．对任意实数a，B．对任意实数a，
C．当且仅当时，D．当且仅当时，
【答案】C
【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可．
【详解】对A，若，则，
将代入不全部满足，此时可知，故A错误；
对B，当时，则，
将代入全部满足，此时可知，故B错误；
对C，若，，解之可得，所以C正确；
对D，当，则，将代入不全满足，
所以，故D错误.
故选：C
二、填空题
5．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知集合，若集合中有且只有一个元素，则
【答案】
【分析】根据两个集合的描述，结合抛物线的性质判断参数取值对应点集情况，即可得答案.
【详解】当时，表示抛物线的一部分；
当时，为空集，
因此当且仅当a=2时，集合表示一个点，有且只有一个元素.
故答案为：
题型02 根据集合的包含关系求参数
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可．
【详解】由题意，因为，则.
故选：C．
2．（2024·湖北·一模）已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，得到，再由集合之间的包含关系列不等式组求解即可；
【详解】由解得，
因为，所以，
所以，解得，即的取值范围是，
故选：C.
3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合，若集合，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式化简,即可根据，对集合讨论求解.
【详解】由
，则,
故若，则，不等式无解，此时,符合题意，
当时，，
结合，则，解得，
综上可得，
故选：A
二、填空题
4．（2024·上海长宁·一模）已知，若是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】通过构造函数，利用的单调性解不等式，再由题意将是的充分条件转化为包含关系，进而求得参数范围.
【详解】设，
则在单调递增，又，
所以，即，故.
则.
由题意是的充分条件，则，
所以有，故实数m的取值范围是.
故答案为：.
5．（2024高三·全国·专题练习）设，，若对于任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】把恒成立及存在问题转化值域的包含关系，再根据列不等式求参.
【详解】当，函数，单调递增，
单调递减，可得函数,fx的值域为 .
当，∵，函数在其定义域内是增函数，函数的值域，
∴，∴得.
故答案为：.
题型03 集合交并补混合运算及参数问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合，再结合集合交集、补集运算即可求解.
【详解】，
，
可得：
，
故选：C.
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合A与集合B的补集，再由图可知图中阴影部分表示.
【详解】由可得，解得，所以，
因为，所以，
图中阴影部分表示的集合为.
故选：D.
3．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45B．48C．53D．43
【答案】C
【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数．
【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，
集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，
表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素，
表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，
故选：C．
4．（24-25高三上·江西赣州·期中）设全集，集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，即可得到与集合的关系.
【详解】由题知，
，
所以又，
所以.
故选：C.
二、多选题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，集合，集合，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先分别解不等式求出集合，然后逐个分析判断即可.
【详解】由，得，所以.
由，得且，得或，所以或.
由，得，所以.
对于A，，所以A错误；
对于B，，所以B正确；
对于C，因为{或}，所以，
所以，所以C正确；
对于D，因为，所以.
因为{1或}，所以，所以D正确，
故选：BCD.
题型04 集合中的新定义问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河南新乡·期中）定义非空数集的“和睦数”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合的“和睦数”是，的“和睦数”是，的“和睦数”是1.对于集合，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82B．74C．12D．70
【答案】A
【分析】分别列举子集，根据“和睦数”的定义，即可求解每种情况的“和睦数”，相加即可求解.
【详解】，非空子集有个.
当子集为单元素集，，，时，“和睦数”分别为1，2，3，6，和为12；
当子集为双元素集，，，，，时，
“和睦数”分别为3，4，7，5，8，9，和为36；
当子集为三元素集，，，时，
“和睦数”分别为4，7，8，7，和为26；
当子集为四元素集时，“和睦数”为.
故“和睦数”的总和为.
故选：A
2．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：
①；
②；
③
④；
其中是“垂直对点集”的序号的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断③④,即可得答案.
【详解】对于①，，为偶函数，定义域为，
对于任意实数对，
则存在，满足，集合M是“垂直对点集”；
对于②，，取实数对,
假设存在，使成立，则，与矛盾，
即不是“垂直对点集”；
对于③，,作出函数的图象如图，
图象过点，向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线，
在的图象上任取一点Ax1,y1，连接OA，作，
则OB总与函数图象相交，设交函数图象于Bx2,y2，
即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”；
对于④，作出函数的图象如图，
图象向左向右无线延伸，
在的图象上任取一点Ax1,y1，连接OA，作，
则OB总与函数图象相交，设交函数图象于Bx2,y2，
即对于任意实数对，总存在，使得成立，故集合M是“垂直对点集”；
故集合M是“垂直对点集”的有3个，
故选：D
二、多选题
3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素
C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素
D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误.
【详解】对于A，因为，所以A错误．
对于B，设，满足戴德金分割，则有一个最大元素1，没有最小元素，所以B正确．
对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，所以C错误．
对于D，设，满足戴德金分割，此时中没有最大元素，中也没有最小元素，所以D正确．
故选：BD
4．（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合，若，则称为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据对偶互存集的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，当时，，故A正确；
对于B，为全体奇数构成的集合，
当为奇数时，也为奇数，故B正确；
对于C，，则，
但，故C错误；
对于D，，当时，，故D正确．
故选：ABD．
5．（2024·福建·模拟预测）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
【答案】ACD
【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确.
【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确；
对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误；
对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确；
对于D，因是阶聚合点集等价于，
因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，
故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确.
故选：ACD.
题型05 充要条件及其求参数问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为，
由为纯虚数，即且，
即且.
故选：D.
2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）“直线与圆相交”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式,结合充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若直线与圆相交，则圆心到直线的距离满足，故，
由于能推出，
当不能得到，
故“直线与圆相交”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知：．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
解分式不等式、对数不等式求对应范围，结合充分不必要条件有，即可得范围.
【详解】由，可得；
由，
因为是的充分不必要条件，则.
故选：C
4．（24-25高三上·河北石家庄·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用数量积探求充要条件为和.
【详解】因为平面且底面为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0，设，，
则，则，，
故，，
的充要条件为即：
的充要条件为即：
的充要条件为，即的充要条件为，
故C正确，D错误；
即，此时得不到，故A错误；
对于B，，，
若，则即即，
由A的分析可得的充要条件为不是，故B错误；
综上，选C.
故选：C
5．（24-25高三上·北京·阶段练习）设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据数列的性质以及充分条件、必要条件的定义即可解出.
【详解】因为，所以；
当时，，此时显然单调递增，
所以可以推出为递增数列；
当为递增数列时，不妨取，此时为递增数列，但不满足，
所以为递增数列不能推出，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A.
题型06 全称量词和存在量词命题及其求参数问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知命题，或，则为（ ）
A．，且B．，且
C．，或D．，或
【答案】B
【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题是全称命题，因为命题，或，
所以，且.
故选：B.
2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上恒成立，构造函数求解最小值即可．
【详解】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
记，，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以实数可取的最小值是．
故选：D.
3．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论：
①“”是“”的充分不必要条件；
②若命题，则；
③若，则是的充分不必要条件；
④若命题q：对于任意为真命题，则
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解.
【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误；
对于②，，②错误；
对于③，若，则且，反之，，， 成立，
因此是的充分不必要条件，③正确；
对于④，，而，则，④正确，
所以正确结论的个数为2.
故选：B
4．（24-25高三上·福建龙岩·期中）命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】存在性命题为假等价于“”为真，应用参变分离求解即可.
【详解】解：因为命题“”为假命题
等价于“”为真命题，
所以，
所以只需.
设，
则在上单增，所以.
所以，即.
故选：A
二、多选题
5．（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）下列命题中，是真命题的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】AB选项，先得到的范围，再用作商法比较大小；CD选项，先得到，再用作商法比较大小.
【详解】A选项，，，
故，A错误，
B选项，，，故，B正确；
C选项，，且，故，C错误；
D选项，，且，故，D正确.
故选：BD
题型07 复数综合运算
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案.
【详解】由，且，则，
所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限.
故选：D.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的概念求解.
【详解】设，则，
由，得，即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：A．
3．（24-25高三上·云南昆明·期中）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】设，由复数的几何意义和模长公式可得，结合的范围，即可得出答案.
【详解】解析：设，则，
，
所以，
因为，所以，
所以的最大值为.
故选：D.
二、多选题
4．（2024高三·全国·专题练习）已知是关于的方程的两根，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【分析】计算，确定的范围，分情况讨论，根据韦达定理判断A，B，D；由求根公式求出方程的根可判断C.
【详解】关于的二次方程．
当时，，所以，，但不一定成立．
当时，，是方程的两个复数根，仍成立，此时，故A正确，B错误．
若，方程的两根为，所以互为共轭复数，C正确．
若，由于，所以，D正确．
故选：ACD
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则中至少有一个为0
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】举反例即可求解A，根据模长的性质即可求解BC，根据模长公式，即可求解D.
【详解】对于A,若，满足，但，故A错误，
对于B，由，则或，故中至少有一个为0，B正确，
对于C，，C正确，
对于D，设，,故，故，，故D正确，
故选：BCD
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知集合 ，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分别求解集合和集合，再找出它们的公共部分.
【详解】由可得且.
解得；解得.
所以集合.
先对因式分解，得到.
解得. 所以集合.
集合，集合.
那么.
故选：C.
2．（2024·山西长治·一模）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式及绝对值不等式求集合，结合韦恩图，根据集合的交集及补集运算可得结果.
【详解】因为，
图中阴影部分表示的集合为：
或，
故选：A.
3．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知i是虚数单位，，则=（ ）
A．B．C．6D．50
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，即可求得，根据复数模的计算公式，即得答案；另外也可利用复数的模的性质 ，进行计算，求得答案.
【详解】由可知==，
所以，则．
另解：由可知，
故=，所以，
故选：A
4．（24-25高三上·上海奉贤·期中）设，则是的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，据此可判断选项.
【详解】令，则，但，故“”不能推出“”.
设，由得，
，
故“”能推出“”.
综上得，是的必要非充分条件.
故选：B.
5．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45B．48C．53D．43
【答案】C
【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数．
【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，
集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，
表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素，
表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，
故选：C．
6．（2024高三下·江西新余·专题练习）已知集合，，则：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由集合之间的关系判断即可.
【详解】集合表示半径为1的圆形除去圆心，
集合表示半径为1的圆形除去与坐标轴重合的部分，
故选：B.
7．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合中元素，代入集合即可.
【详解】因为中有且仅有两个元素，
则，，
所以，解得，且.
故选：D.
8．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集，，则集合B的元素个数为（ ）
A．6B．7C．8D．不确定
【答案】B
【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素.
【详解】因为全集，，
所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有，
所以，
故选：B
9．（2024·陕西西安·模拟预测）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】B
【分析】首先判断命题为假命题，令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断命题为真命题，即可得解.
【详解】因为，所以，恒成立，
所以命题为假命题，则为真命题；
令，，则，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以对任意的恒成立，所以在上单调递增，
所以，即对任意的恒成立，故命题为真命题，则为假命题；
所以和都是真命题.
故选：B
10．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ）
A．3或4B．2或3C．1或2D．1或3
【答案】C
【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案.
【详解】因为此数为小于5的正整数，所以，
.因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
所以是的真子集，是的真子集，
所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确.
故选：C.
11．（23-24高三下·重庆·开学考试）设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】D
【分析】由题意对谁取0分类讨论即可求解.
【详解】若，则，即有序数对有4种取法，
同理若，则，即有序数对有4种取法，
若，则，即有序数对有4种取法，
综上所述，集合满足条件“”的元素个数为.
故选：D.
12．（24-25高三上·青海·期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构建，利用导数判断的单调性，结合单调性分析充分性，再举反例说明必要性不成立即可.
【详解】令，则.
当时，f′x>0；当x∈1,+∞时，f′x