专题03 新高考情景下的结构不良问题（四大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27320" 题型01 解三角形结构不良 PAGEREF _Tc27320 \h 1
\l "_Tc5252" 题型02 数列结构不良 PAGEREF _Tc5252 \h 2
\l "_Tc6903" 题型03 立体几何结构不良 PAGEREF _Tc6903 \h 2
\l "_Tc2126" 题型04 圆锥曲线结构不良 PAGEREF _Tc2126 \h 4
题型01 解三角形结构不良
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·北京·三模）在中，，．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值．
条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高为3．
2．（2024·四川宜宾·二模）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的值.
3．（2024·全国·模拟预测）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______．
(1)求角B的大小：
(2)若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值．
4．（2024·四川南充·三模）已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，记的面积为S，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2024·全国·模拟预测）已知中，内角的对边分别为，且．
(1)求角A；
(2)若，角A的平分线交边于，在下列三个条件中选择一个作为已知，求．
①；②点A在以为焦点的椭圆上；③的面积为．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型02 数列结构不良
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·广西贺州·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列满足.
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式；
条件①：当时，；
条件②：数列与均为等差数列；
(2)在（1）的基础上，设为数列的前n项和，证明：.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
3．（2024·青海西宁·二模）已知数列，_______________.请从下列两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.）①数列的前项和为（）；②数列的前项之积为（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）在①，，，成等比数列，②，，③，，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：已知数列是公差为正数的等差数列，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，对任意的有恒成立，求的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
5．（2024·四川德阳·三模）已知是等差数列，是等比数列，且的前n项和为，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答．
(1)求数列和的通项公式;
(2)设数列的前n项和为，是否存在，使得若存在，求出所有满足题意的；若不存在，请说明理由．
6．（2024·广东广州·三模）已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和．
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
(2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和．
题型03 立体几何结构不良
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·北京西城·二模）如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面.
(1)求证：为的中点；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求点到平面的距离.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2024·北京东城·一模）如图，在五面体中，底面为正方形，.

(1)求证：；
(2)若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
3．（2024·江苏镇江·三模）如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上.
(1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）；
①平面⊥平面；
②；
③.
(2)若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小.
4．（2024·河南开封·三模）已知四棱锥的底面是正方形，给出下列三个论断：①；②；③平面．
(1)以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，求四棱锥体积的最大值．
5．（2024·北京·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，．
(1)设平面平面，求证：；
(2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定．
（ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值；
（ⅱ）平面交直线于点，求线段的长度．
条件①：平面平面；
条件②：；
条件③：四棱锥的体积为．
题型04 圆锥曲线结构不良
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·辽宁·模拟预测）已知定点，动点在直线上，过点作的垂线，该垂线与的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知点，动点在上，满足，且与轴不垂直．请从①在上；②三点共线；③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分.
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点，点P为圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，证明另外一个成立.
①轴；②直线l经过点；③D，B，N三点共线.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：
①点在双曲线上；②点在双曲线上，，且；③双曲线的一条渐近线与直线垂直.
(1)求双曲线的方程；
(2)设分别为双曲线的左、右顶点，过点的直线与双曲线交于两点，若，求直线的斜率.
4．（2024·福建漳州·一模）已知过点的直线与圆：相交于，两点，的中点为，过的中点且平行于的直线交于点，记点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程．
(2)若为轨迹上的两个动点且均不在轴上，点满足（，），其中为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①点在轨迹上；②直线与的斜率之积为；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
5．（2024·福建泉州·二模）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线AB的方程为．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线经过点，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，，若，求的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：的外接圆过焦点F．
一、解答题
1．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2024·江西宜春·三模）在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
(1)求的外接圆面积；
(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
3．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为.
(1)求的值；
(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
4．（2024高三下·全国·专题练习）在①，②，③
这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且______．
(1)求角的大小；
(2)已知，是边的中点，且，求的长．
5．（23-24高三上·浙江绍兴·开学考试）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.
已知为数列的前项和，，，且________.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
6．（2024·云南昆明·模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，且；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，证明：.
（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
7．（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项的积，，．
(1)求，并证明．
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前项和．
①；②．
8．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.
(1)求证：是的中点；
(2)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
9．（23-24高三·山西·阶段练习）在三棱锥中，是等边三角形，，是边的中点.

(1)求证:；
(2)，，从以下两个条件中任选一个，求直线与平面所成角的余弦值.①平面与平面所成二面角为；②三棱锥的体积为.
10．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）在如图所示的五面体中，共面，是正三角形，四边形为菱形，平面，点为中点.

(1)在直线上是否存在一点，使得平面平面，请说明理由；
(2)请在下列条件中任选一个，求平面与平面所成二面角的正弦值
；.
11．（23-24高三上·湖南张家界·阶段练习）如图①，在梯形中，，，，E为的中点，，以 DE 为折痕把折起，连接,得到如图②的几何体，在图②的几何体中解答下列问题．
(1)证明:；
(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求平面与平面 夹角的余弦值．
①四棱锥的体积为2；
②直线与所成角的余弦值为.
12．（2024高三·全国·专题练习）已知为平面直角坐标系上的动点，记其轨迹为曲线．
(1)请从条件①，条件②中任选一个，求出曲线的方程；
①点为动圆的圆心，动圆与圆内切，且与直线相切；
②已知，且点关于直线的对称点在曲线上．
(2)过点的直线交曲线于两点，分别以为切点作的两条切线交于点，求面积的最小值．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
13．（23-24高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应的的方程.①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为；②设是圆上的动点，过作直线垂直于轴，垂足为，且.
(2)在（1）的条件下，设曲线的左､右两个顶点分别为，若过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交曲线于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则线段的比值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
14．（2024·河北石家庄·一模）已知点在双曲线C：（，）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线，的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
①；②．
一、“结构不良问题”的解题策略
（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；
（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．
二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略
在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．
（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；
（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
三、“边化角”或“角化边”的变换策略
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．
一、数列中的结构不良问题
1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．
2．数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和．
3．常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
一、空间向量与立体几何的求解公式
(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)；
(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，
则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cs β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，
则两面的成角θ满足：cs θ＝cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)；
注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．
(4)点到平面的距离：
如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，
则点B到平面α的距离为：|eq \(BO,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，即向量eq \(BO,\s\up6(→))在法向量n的方向上的投影长.
二、几种常见角的取值范围
①异面直线成角∈(0，eq \f(π,2)] ；②二面角∈[0，π] ；③线面角∈[0，eq \f(π,2)] ；④向量夹角∈[0，π]
三、平行构造的常用方法
①三角形中位线法；②平行四边形线法；③比例线段法.
四、垂直构造的常用方法
①等腰三角形三线合一法；②勾股定理法；③投影法.
五、用向量证明空间中的平行关系
(1)线线平行：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)线面平行：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(3)面面平行：设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.
六、用向量证明空间中的垂直关系
(1)线线垂直：设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)线面垂直：设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)面面垂直：设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
七、点面距常用方法
①作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；②等体积法；③向量法