专题05 导数中的切线问题（5大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc3210" 题型01 在某一点的切线 PAGEREF _Tc3210 \h 1
\l "_Tc8110" 题型02 过某一点的切线 PAGEREF _Tc8110 \h 2
\l "_Tc24814" 题型03 切线中平行、垂直、重合问题 PAGEREF _Tc24814 \h 3
\l "_Tc5144" 题型04 求公切线（两个切点） PAGEREF _Tc5144 \h 4
\l "_Tc8463" 题型05 切线的条数问题 PAGEREF _Tc8463 \h 5
题型01 在某一点的切线
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·河北保定·期末）已知点在抛物线的准线上，过点的直线与抛物线在第一象限相切于点，记抛物线的焦点为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（24-25高三上·湖南·期中）曲线在点1,f1处的切线方程为 .
5．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知点在函数的图象上，则曲线在点处的切线方程为 .
题型02 过某一点的切线
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）设曲线的一条切线过点，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）若函数的图象在点处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．1
3．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A．B．C．D．4
二、填空题
4．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为 ．
5．（2024高三·全国·专题练习）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， .
6．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数过原点作曲线的切线，其切线方程为 ．
题型03 切线中平行、垂直、重合问题
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖北·期末）函数在处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西·模拟预测）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（23-24高二下·河北石家庄·期中）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）
A．0B．C．2D．3
4．（2024高三·全国·专题练习）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．B．C．26D．28
5．（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．0或2B．或2C．或0D．0或1
6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）若曲线在点处的切线也是的切线，则一定是下列函数（ ）的零点.
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线在点处的切线为，若直线，则直线的方程可能是 ．（写出一个正确答案即可）
8．（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ．
题型04 求公切线（两个切点）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）若直线是曲线与的公切线，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ．
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ．
6．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）若曲线在点Px1,y1处的切线与曲线相切于点Qx2,y2，则 ．
7．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
题型05 切线的条数问题
【解题规律·提分快招】
切线的条数问题
切线条数判断，一般转化为关于切点横坐标的函数零点个数判断问题.
【典例训练】
一、单选题
1．（2023·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）过点作曲线的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
3．（23-24高二下·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川内江·模拟预测）若过点可以作两条直线与曲线相切，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·山东·模拟预测）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（24-25高三上·河北邢台·期末）若过点恰好可作曲线的两条切线，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）对于函数，则下列判断正确的是（ ）
A．直线是过原点的一条切线
B．关于对称的函数是
C．过一点可以有条直线与相切
D．
三、填空题
9．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知曲线与有公共切线，则实数的最大值为 ．
10．（2024·云南昆明·三模）过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对
11．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数 其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时则的取值范围是 ．
一、单选题
1．（24-25高三上·天津·期中）已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（ ）
A．B．1C．D．
3．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（ ）
A．1B．C．3D．
4．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·福建·期中）若直线与曲线相切，则（ ）
A．2B．eC．D．
6．（2024·四川眉山·一模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且直线垂直于轴，则（）
A．eB．C．D．e或3e
9．（24-25高三上·河南·阶段练习）若直线是函数的一条切线，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
10．（24-25高三上·山西·阶段练习）曲线与的公切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（ ）
A．B．C．D．
12．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数和两点，，设曲线过原点的切线为，且，则所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数，点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点与的图象相切的切线的斜率恒不为1
B．若，则过点可作3条直线与的图象相切
C．若过点且斜率为4的直线与的图象有2个交点，则
D．若图象上任意两点连线所在直线的斜率恒大于点与点连线所在直线的斜率，则的取值范围是
14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）记函数的图象为曲线，点不在曲线上，过点作曲线的切线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，可作1条切线
B．若，，可作0条切线
C．若，，可作3条切线
D．若，，可作2条切线
三、填空题
15．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数.曲线在点处的切线方程为，则
16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为 .
17．（23-24高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线与的公切线为，则实数 .
18．（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
19．（23-24高三上·陕西西安·期中）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是 .
20．（2024·安徽·模拟预测）若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为 ．
21．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值为
22．（23-24高三上·山东烟台·期中）若过点有三条直线与函数 的图象相切，则实数m的取值范围为 .
23．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知曲线存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为 .
在某一点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
过某一点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则