专题06 导数与函数的极值、最值（6大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22950" 题型01 函数的单调性（含参） PAGEREF _Tc22950 \h 1
\l "_Tc26384" 题型02 求函数的极值（点） PAGEREF _Tc26384 \h 7
\l "_Tc14823" 题型03 极值（点）中的参数问题 PAGEREF _Tc14823 \h 14
\l "_Tc18959" 题型04 求函数的最值 PAGEREF _Tc18959 \h 21
\l "_Tc20925" 题型05 最值中的参数问题 PAGEREF _Tc20925 \h 27
\l "_Tc23479" 题型06 恒成立和有解问题 PAGEREF _Tc23479 \h 35
题型01 函数的单调性（含参）
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数在上是增函数，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可知，对任意的，f′x≥0，令，则，可得出，利用参变量分离法可求出的最小值.
【详解】因为，则，
因为，令，则，
因为函数在上是增函数，则对任意的，f′x≥0恒成立，
即对任意的，，可得，
因为函数、在区间上为减函数，
所以，函数在上为减函数，则，
因此，实数的最小值为.
故选：B.
2．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】函数定义域为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
因为，
所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
3．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）已知0为函数的极小值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函数导数，利用导函数的导数，结合分类讨论，判断其正负，得出的增减性，再结合，判断的符号，得出增减性，验证函数的极小值点为0即可.
【详解】，令的导函数为.
若，ℎ′x>0，f′x在R上单调递增，且，
所以当x∈0,+∞时，f′x>0，单调递增，当时，f′x0，f′x在上单调递增，
因为，，所以当时，f′x0，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.
若，当时，ℎ′x>0，当x∈0,+∞时，ℎ′x0，当时，f′x0，当时，f′x0，
当时，f′x0，单调递增，
当x∈1,+∞时，f′x0，单调递增，
当x∈0,1时，f′x0，单调递增，
所以，，
，，
则在区间上的最大值为6.
故选：C.
2．（2024·四川眉山·一模）若函数在时取得极小值，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表，可得答案.
【详解】由函数，求导可得，
由题意可得，则，解得，
所以，则，
，
令，解得或2，
可得下表：
则函数的极大值为.
故选：D.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知某圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由圆锥的外接球的表面积为可得圆锥的外接球半径，再设圆锥的底面半径为，高为，可得，再圆锥的体积为，构造函数求导可得圆锥体积的最大值.
【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，其外接球的半径为，
由题知，外接球的表面积，．
由球的截面性质知，，化简得
故圆锥的体积为．
令，则，
当时，，单调递增，
当时，时，单调递减，
，即该圆锥体积的最大值为.
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相应函数的最值求得参数范围.
【详解】因为函数是0,+∞上的增函数，所以在0,+∞上恒成立，
即在0,+∞上恒成立．令，x∈0,+∞,则，
则当时，，当时，，故在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以，所以．
故选：C．
5．（23-24高三下·天津滨海新·阶段练习）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性及最小值和，结合，即可求解.
【详解】由函数，可得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得最小值，最小值为，
又由函数在上单调递增，所以函数，
因为函数，，使得成立，
可得，解得，即实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）若函数有两个极值点，，且，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求导可得两个极值点满足的二次方程，再根据韦达定理与判别式求解即可．
【详解】函数的定义域为，
，，
令，可得，，
由题意是方程的两根，且
故且，解得，
又，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：A．
7．（2024高三·全国·专题练习）若是函数的极值点，在区间上单调递增，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据在区间上单调递增求出得范围，再根据是函数的极值点，确定的值求出解析式，将代入得出答案.
【详解】因为在区间上单调递增，所以，
解得，因为，
所以，且，
解得，又，则，故．
又是的极值点，
所以，解得，
令，解得，故，
则，，故．
故选：B.
8．（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围.
【详解】已知函数，函数的定义域为
，
当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点；
当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
此时最小值为，
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，又
；
，
由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点．
所以有两个零点，a的取值范围为；
故选:A．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数，，则（ ）
A．函数，的图象关于直线对称
B．，使得
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据函数图象的特点判断A是否正确；设，分析函数的单调性，求出函数的极值，判断B的单调性；由同构结合函数的单调性可得的关系；由，两边取自然对数，可得，可验证D的真假.
【详解】对A：当x>0时，，恒成立，所以在1,+∞上单调递增，且增长速度比快，
即的图象在上方；同理的图象也在上方.
所以函数，的图象关于直线对称是不可能的，故A错；
对B：设（），则，（），
设（），则在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，即.
当x∈0,x0时，Fx单调递减；当x∈x0,+∞时，Fx单调递增.
所以（因为，故不能取“”）.
所以在0,+∞恒成立，故B错；
对C：因为，.
因为在0,+∞上单调递增，所以，故C正确；
对D：由，由的单调性，只有一解，且，所以.
由，由的单调性，只有一解，且，所以.
所以.故D错.
10．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，有如下3个结论：
①当时，在区间上单调递减；
②当时，有两个极值点；
③当时，有最大值.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】①求出函数的导数，根据已知求得，即可求得说法正确；
②根据已知将问题转化为两个函数与的图象交点问题，作出图象，求得两个图象有两个交点，从而求得有两个极值点，则说法正确；
③结合图象，时，可求得，则单增无最大值，故说法错误.
【详解】，，
对于①，因为，所以，
当时，，则在区间上单调递减，所以①正确.
对于②，令，得，令，，
当，则，当，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当，，
又当趋近于时，趋近于，，当趋近于时，趋近于0，
所以可作出函数的大致图象如图所示，

由图可知，当时，直线与的图象有两个交点，
即方程有两个不等实根，
当或时，， 当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
故有两个极值点，所以②正确.
对于③，当时，，即恒成立，则函数在上单调递增，
所以函数无最大值，所以③错误.
则说法正确的个数为，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题②的关键在于求导后分离参数，再次构造函数求导分析单调性和最值.
11．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导得，分、、，讨论函数的单调性及最值，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以，
又因为，
所以当时，，在上单调递减，
所以，不满足题意；
所以，
令，
则，
令，得，
当，即时，在上恒成立，
所以，即在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
则，满足题意；
当，即时，
当时，，则，即单调递减，
当时，，则，即单调递增，
又因为，
假设存在唯一，使成立，则必有，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，
所以当时，必有，不满足题意；
综上，.
故选：D.
【点睛】难点点睛：本题的难点是在对时，正负的确定，其关键是结合题意得出、.
二、多选题
12．（23-24高三下·陕西安康·期末）对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值但没有最大值
B．对于任意的，恒有
C．仅有一个零点
D．有两个极值点
【答案】BC
【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确.
【详解】AD选项，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误；
BC选项，由于恒成立，故当时，，
令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确.
故选：BC
13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．点是图象的对称中心
B．是的极小值点
C．当时，
D．当时，
【答案】BC
【分析】利用导数判断出单调性，作出的大致图象，利用任意三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图象均为中心对称图形，且对称中心为点可判断A；由单调性可判断BCD.
【详解】由题可得，令，得或，
所以当时，f′x0，单调递增，当时，f′x0，ℎx单调递增；
当时，ℎ′x