专题06 导数中的极值点偏移问题（4大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc28669" 题型01 极值点偏移：加法型 PAGEREF _Tc28669 \h 1
\l "_Tc30729" 题型02 极值点偏移：减法型 PAGEREF _Tc30729 \h 12
\l "_Tc8170" 题型03 极值点偏移：乘法型 PAGEREF _Tc8170 \h 20
\l "_Tc20076" 题型04 极值点偏移：其他型 PAGEREF _Tc20076 \h 29
题型01 极值点偏移：加法型
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设、是两个不相等的实数，且．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知，，然后利用导数分析函数的单调性，求出的最大值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围；
（2）由已知可得，构造函数，可知存在不相等的两个实数、，使得，分析函数的单调性，设，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出在区间上恒成立，由已知条件得出，再结合函数的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）当时，，
因为，所以，即，不符合题意；
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，由恒成立可知，所以．
又因为，所以的取值范围为．
（2）因为，所以，即．
令，由题意可知，存在不相等的两个实数、，使得．
由（1）可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
不妨设，则，设，
则，
所以在上单调递增，所以，
即在区间上恒成立．
因为，所以．
因为，所以．
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，.
(1)若对于任意，都有，求实数的取值范围；
(2)若函数有两个零点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过转化构造函数，利用导数求出该函数的最小值即可；
（2）通过利用极值点偏移的知识，令，，利用导数相关知识转化为证明即可.
【详解】（1）结合题意：对于任意，都有，所以，
因为，所以只需，
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以只需；
（2）等价于，
设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减，
由知且，，
设函数，其中，
知，
知在区间上单调递增，即时，
即时，，
即，
又由已知由且，
有且，由在上单调递减，
所以，即.
3．（23-24高三上·江西九江·阶段练习）已知函数，直线与曲线相切．
(1)求实数的值；
(2)若曲线与直线有两个公共点，其横坐标分别为．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解；
（2）①问题转化为有2个实数根，转化为与有2个交点，利用导数分析函数，即可求解的取值范围；
②构造函数，，利用导数判断函数的单调性，再结合极值点偏移问题的解决方法，即可证明.
【详解】（1）设切点，，
得，，所以，代入直线方程得；
（2）①由（1）知，若曲线与直线有两个公共点，则等价于有2个实数根，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，当趋向于正无穷大时，趋向于0，当趋向于负无穷大时，趋向于负无穷大，
则；
②，即，等价于，
令，，
，
因为，所以，故，
所以在上单调递增，故,
不妨设，故，即，
由已知，所以，
由①知，当时，单调递增，
故，所以，
所以.
【点睛】极值点偏移问题中（极值点为），证明或的方法：
①构造，
②确定的单调性，
③结合特殊值得到或，再利用，得到与的大小关系，
④利用的单调性即可得到或.
4．（23-24高三下·陕西安康·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定的取值范围，构造差函数证明即可.
【详解】（1）当时，，易知，
所以曲线在点处的切线方程为：；
（2）由已知可得，
①若，则，，
即在上单调递增，上单调递减，，
又时，，所以函数存在两个零点；
②若时，，显然不符合题意；
③若时，令，
当时，令或，令，
即在上单调递减，和上单调递增，
函数极小值为，函数极大值为，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，，则单调递增，至多一个零点，不符合题意；
当时，令或，令，
即在上单调递减，和上单调递增，
函数极大值为，函数极小值为，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
综上所述，时函数有两个零点，则一正一负，
不妨令，设，
令，即在R上单调递增，
所以，，
故时，有，时，有，
即，所以，
则，
又因为在上单调递减，故，证毕.
【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证明可利用构造差函数，通过证明来判定极值点偏移问题.
5．（2024高三·全国·专题练习）设函数．
(1)判断函数的单调性；
(2)若，且，求证：．
【答案】(1)在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得，令，根据的正负确定的单调性，
得，即得函数的单调性.
（2）构造函数，其中，则，
令，得，从而可得在上单调递减，然后根据函数的单调性可得.
【详解】（1）∵，，
∴．
令，则．
令，得或．
当时，；当时，；当时，．
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
又，，故对一切恒成立，
∴，于是，故在上单调递增．
（2）易知当时，由（1）知，，
所以，当且仅当时取等号，与题意不符，
当，由（1）知，，与题意不符，
所以中一个在内，一个在内，不妨设．
构造函数，其中，
则．
由，得．
令，
∵，
∴在上单调递增，则．
∴在上单调递减，∴，
即对恒成立．
∵，∴，
∴．
由（1）知在上单调递增，
∴，故．
6．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】(1)是上的“双中值函数”，理由见解析
(2)①0,+∞；②证明见解析
【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；
（2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明.
【详解】（1）函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以.
因为，，所以
令，得，即，解得.
因为，所以是上的“双中值函数”.
（2）①因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证．
设，
则．
设，则，
所以φx在0,1上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．
【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.
题型02 极值点偏移：减法型
【典例训练】
一、解答题
1．（23-24高三下·云南·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）求定义域，求导，结合得到，即f′x>0在0,+∞内恒成立，所以在0,+∞内单调递增；
（2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为0,+∞，
，
令，可得，当时，即，
，可知在0,+∞上恒成立，
即f′x>0在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上单调递增.
（2）当时，可得，
，
或
故在上单调递增，在上单调递减，
由题意可得：，
因为，
令，
则，
可知在0,1上单调递增，
则，可得在0,1上恒成立，
因为，则，
且在上单调递减
则，即；
令，
则，
可知ℎx在上单调递增，则，
可得在上恒成立，
因为，则，
且在上单调递增，
则，即；
由和可得.
【点睛】关键点点睛：构造两次差函数，解决极值点偏移问题，即构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到.
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；
①求证：；
②求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；
（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.
【详解】（1），，
其中，，
当时，即，此时恒成立，
函数在区间单调递增，
当时，即或，
当时，在区间上恒成立，
即函数在区间上单调递增，
当时，，得或，
当，或时，，
当时，，
所以函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是，
综上可知，当时，函数的单调递增区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是；
（2）①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是，、是方程的两根，
有，，
又的图象与有三个公共点，
故，则，
要证，即证，又，
且函数在上单调递减，即可证，
又，即可证，
令，，
由，
则
恒成立，
故在上单调递增，即，
即恒成立，即得证；
②由，则，
令，，
则
，
故在上单调递增，即，
即当时，，
由，故，又，故，
由，，函数在上单调递减，故，
即，又由①知，故，
又，
故.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.
3．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)若有两个不同的实数根，求证：.
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合最小值求参数值即可；
（2）根据题设及导数判断的单调性及区间符号，进而有，根据极值点偏移，构造并利用导数研究x∈0,1上的单调性，证明，再记函数与和交点的横坐标分别为，结合导数证得、，有，即可证结论.
【详解】（1）因为，令，可得，
当时单调递减；当时单调递增.
所以，所以.
（2）证明：由（1）知，在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
当时，当时，

所以，
先证明.
记，则，
当x∈0,1时，，所以单调递减，
所以当x∈0,1时，，即，
故，即.
又，由单调性知：，即.
再证明.
记函数与和交点的横坐标分别为.
①当x∈0,1时，，故，所以，.
（或：y=fx的图象在的图象的下方，且两个函数在0,1上都是减函数）
②当时，记，所以.
当时单调递减；当时单调递增.
又，当时，ℎx0可得，由f′x