专题07 三角形中的四心问题与奔驰定理的应用（5大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc639" 题型01 重心 PAGEREF _Tc639 \h 1
\l "_Tc21679" 题型02 外心 PAGEREF _Tc21679 \h 2
\l "_Tc28074" 题型03 内心 PAGEREF _Tc28074 \h 3
\l "_Tc6536" 题型04 垂心 PAGEREF _Tc6536 \h 4
\l "_Tc300" 题型05 奔驰定理 PAGEREF _Tc300 \h 6
题型01 重心
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知在中，为的重心，为边中点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
3．（2024高三·全国·专题练习）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
二、多选题
4．（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线B．
C．D．点在的内部
三、填空题
5．（2024·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则 ．
四、解答题
6．（2024·浙江温州·模拟预测）的角对应边是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的长.
(2)求的面积.
题型02 外心
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽·模拟预测）已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（ ）
A．B．50C．25D．
3．（23-24高三下·新疆·阶段练习）在中，，是的外心，为的中点，，是直线上异于、的任意一点，则（ ）
A．3B．6C．7D．9
4．（24-25高三上·辽宁·期中）设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知为的外心，，则（ ）
A．与不共线B．与垂直
C．D．
三、填空题
6．（2024·四川凉山·三模）在中，已知，点G为的外心，点O为重心，则 ．
题型03 内心
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山西晋城·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，M为C的顶点，若的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川南充·三模）已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
3．（2024高三·全国·专题练习）若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
4．（2025高三·全国·专题练习）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 是 所在平面上的一点， ，则点 是 的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
二、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆E的离心率为 ．
6．（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ．
题型04 垂心
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东汕尾·期末）在中，，点为的垂心，且满足，，则（ ）
A．B．－1C．D．
2．（23-24高三下·广东惠州·期中）已知三棱锥中，若，，两两互相垂直，作平面，垂足为，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．（2025高三·全国·专题练习）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹经过的（ ）
A．内心B．外心C．垂心D．重心
4．（23-24高三下·贵州贵阳·期末）已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心D．外心、重心、内心
二、多选题
5．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）在等腰中，已知，若分别为的垂心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，从点发出平行于轴的光线经过抛物线上的点反射后再经过抛物线上另一点，则（ ）
A．存在点使得点.都在以为圆心的圆上
B．存在点使得点是的垂心
C．存在点使得点是的重心
D．点到直线的最短距离为4
三、填空题
7．（23-24高三下·北京东城·阶段练习）在三角形中，点是三角形所在平面内一点，的三个内角的对边分别是，则下列给出的命题：
①若，则点是三角形的垂心；
②若向量，则点的轨迹通过的重心；
③若，则点是三角形的内心；
④若，则点是三角形的内心．
其中正确的命题是： 填写正确结论的编号)
四、解答题
8．（23-24高三下·广西桂林·阶段练习）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，．
(1)求A的大小；
(2)请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点，求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
题型05 奔驰定理
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、多选题
1．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
2．（23-24高三下·重庆沙坪坝·期末）平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的lg非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将，，的面积分别记为，，，则.根据上述结论，下列命题中正确的有（ ）

A．若，则
B．若，则
C．若为的内心，且，则
D．若为的垂心，则
3．（23-24高三上·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
二、填空题
4．（23-24高三下·湖南·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若是内一点，的面积分别为，则有.已知为的内心，且，若，则的最大值为 .
一、单选题
1．（23-24高三下·河北张家口·期末）已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
2．（2024高三·全国·专题练习）已知三角形的外心为，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·北京通州·期中）已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．4
4．（24-25高三上·湖北·开学考试）在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
5．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，点是右支上一点，点是的重心，若，则点到的两条渐近线的距离之和为（ ）
A．B．C．D．4
6．（23-24高三下·浙江·期中）设O为的内心，，，，则 （ ）.
A．B．C．D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
8．（24-25高三·上海·课堂例题）已知，点P是平面ABC外一点，点O是点P在平面ABC上的投影．
①点P到的三个顶点的距离相等；
②点P到的三边的距离相等且O点在内；
③，，．
当点P分别满足以上条件时，点O一定是的（ ）
A．外心、垂心、内心；B．垂心、内心、外心；
C．内心、外心、垂心；D．外心、内心、垂心．
9．（23-24高三下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）若O是的外心，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高三上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边AB上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
12．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知内角的对边分别为a,b,c，为的重心，csA=15,AO=2，则（ ）
A．B．
C．的面积的最大值为D．的最小值为
13．（23-24高三下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ）
A．若向量，则的外心为中点
B．若点G为的重心，则
C．若点O为所在平面内一点，且，则
D．若点I为的内心，则
14．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）边长为1的正三角形的内心为，过的直线与边交于，则（ ）
A．B．当时，此时
C．的最大值为18D．的最小值为15
15．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为的内心，，则
D．若O为的垂心，，则
三、填空题
16．（24-25高三上·上海静安·期中）已知在平面上，平面外一点满足，，，则点在平面上的投影点是的 .（请在“外心”、“内心”、“垂心”中选填一个）
17．（2024高三·全国·专题练习）在锐角中，内角的对边分别为，为其外心.若外接圆半径为，且，则的值为 .
18．（2024高三·全国·专题练习）请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是的重心，则有；
②若成立，则P是的内心；
③若，则；
④若P是的外心，，，则；
⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为.
则正确的命题有 .（填序号）

四、解答题
19．（23-24高三下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.
20．（24-25高三上·广东·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为，且.D是AB的中点，点E在线段AC上且，线段CD与线段BE交于点M（如下图）
(1)求角A的大小：
(2)若，求的值；
(3)若点G是的重心，求线段GM的最小值.
21．（23-24高三下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，点，，在抛物线上，直线，，的斜率分别为，，．
(1)若F为的重心，求证：为定值；
(2)若F为的垂心，求证：为定值．
一、三角形的重心
1.定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；
2.重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．
在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）；
（2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、
、，，则有.
一、三角形的外心
1.定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；
2.外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
3.外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或
；
一、三角形的内心
1.定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心
2.内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等
②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
3.内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形
在平面向量的应用：若点是△的内心，则有
一、三角形的垂心
1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；
在平面向量的应用：若是△的垂心，则或
一、奔驰定理
1.奔驰定理：O是△ABC内一点，且xOA+yOB+zOA=0,，则
2.奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+xOA=0,，则：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① S∆BOC：S∆AOC:S∆AOB=x:y:z
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ② S∆BOCS∆ABC=|xx+y+z|;S∆AOCS∆ABC=|yx+y+z|;S∆AOBS∆ABC=|zx+y+z|
由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理.
二、奔驰定理的证明
奔驰定理：是内一点，且，则

已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
法一证明：延长与边相交于点则

法二证明：延长OA到OA1，OB到OB1,OC到OC1使得，O为△A1B1C1的重心.
三、三角形四心与奔驰定理的关系及证明
①是的重心：．
证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得
②是的内心：
证明：，，（为内切圆的半径），所以
，再由奔驰定理可得
③是的外心：．
证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得
④是的垂心：
证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得