专题08 数列中含绝对值与奇偶项的问题（3大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc11091" 题型01 含绝对值求和问题 PAGEREF _Tc11091 \h 1
\l "_Tc21108" 题型02 等差、等比数列奇偶项和的性质 PAGEREF _Tc21108 \h 4
\l "_Tc8329" 题型03 含奇偶项的数列求和问题 PAGEREF _Tc8329 \h 7
题型01 含绝对值求和问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024·四川成都·二模）已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，所以，
当时，，
当时，（符合上式），
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．
2．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用等差数列的通项公式及前n项和公式求基本量，进而写出通项公式；
（2）根据的符号，讨论、，结合等差数列前n项和公式求.
【详解】（1）设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以.
（2）由（1）知，
当时，，则；
当时，，则，
当时，，
当时，.
综上，.
3．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)，.
【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式；
（2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论．
【详解】（1）由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
题型02 等差、等比数列奇偶项和的性质
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（ ）
A．60B．70C．75D．85
【答案】A
【分析】设等差数列的奇数项的和为P，偶数项之和为Q，由等差数列的性质列方程组，可求出P、Q的值，从而可得出结果.
【详解】设，
因为数列是等差数列，且公差，，
所以，解得，
所以.
故选：A.
2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2B．-2C．-1D．2或-2
【答案】D
【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可.
【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，
故满足，解得，
又，
所以.
故选：D
3．（23-24高三上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可．
【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为，
得到奇数项为，
偶数项为，整体代入得，
所以前项的和为，解得.
故选：B
4．（2024·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
5．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可.
【详解】项数为的中奇数项共有项,
其和为
项数为的中偶数项共有项, 其和为
所以解得
故选: A.
6．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．2B．1012C．2024D．4048
【答案】B
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，从而得到，即可得解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
，
所以，
所以，所以，
所以.
故选：B
题型03 含奇偶项的数列求和问题
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知数列为正项数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：构造数列是恒为的常数列，结合可得出数列的通项公式；
解法二：利用累加法结合可求得数列的通项公式；
（2）利用并项求和法结合分组求和法可求得.
【详解】（1）解法一（构造常数列）：由，且，
可得，
故数列是恒为的常数列，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
解法二（累加法）：由题意得：且，
有，，，，
将以上各式相加，得，
将代入上式即得，且当时也成立，所以，
又因为数列为正项数列，所以.
（2）由（1）可得，令，其前项和为，
对任意的，，则，
又因为，
所以.
2．（24-25高三上·江苏常州·期末）已知数列满足．
(1)设，求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据已知可得，验证是否满足要求，即可得结果；
（2）根据已知可得，且，讨论的奇偶性得关系，应用分组求和及已知列方程求.
【详解】（1）由①，
当时，②，
①②则，又满足上式，
所以．
（2）由（1），知，则，故，
所以，且，
若为偶数，，则；
若为奇数，，则；
故，
解得或．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的前n和．
【答案】
【分析】根据题意，由递推关系可得，再由累加法以及等比数列的求和公式可得，再由分组求和法，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，则，
两式相减作差可得，
所以，
即，
累加可得，
又，当时，，所以，
即，设数列的前n和为，
则
.
4．（2024高三上·山东济南·专题练习）已知数列的前n项和为，，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得到当，时，，且有，由等比数列的定义即可证明结果；
（2）由（1）及条件可得，，再利用等比等差数列前项和公式分组求和，即可求解．
【详解】（1）证明：因为，
所以当，时，，
即
又时，，
所以数列为首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由（1）知，所以，
又由，可得，
所以
5．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列满足．
(1)设，写出；
(2)证明数列为等比数列；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据已知的数列递推关系，分别代入计算的前三项.
（2）通过分析的递推关系，利用等比数列的定义来证明为等比数列.
（3）先求出的通项公式，再根据与的关系求出.
【详解】（1）已知，因为，所以.
当时，，即.
当时，.
先求，因为为偶数，.
再求，因为为奇数，，即.
当时，.
先求，因为为偶数，.
再求，因为为奇数，，即.
（2）由可得.
所以.
则. 又.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）可知，则.
.
因为，.
所以.
即.
由等比数列求和公式可得.
所以.
6．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据与之间的关系可知是以2为首项，2为公比的等比数列，结合等比数列通项公式可得，利用等差数列通项公式分析求解；
（2）根据题意可知：的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）当时，，且，所以；
当时，由，得，则
，可得，
即，且，可得，
可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，可得，
且，可知是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即.
（2）由（1）可知，
可知的奇数项为以为首项，4为公比的等比数列；偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.
当时，；
当时，；
综上所述：.
7．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知在数列中，，且满足.
(1)求证：数列是等比数列.
(2)设数列满足，求最小实数，使得对一切正整数均成立.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定的递推公式，取倒数变形，结合等比数列定义推理得证.
（2）由（1）求出通项公式，再利用分组求和及裂项相消法求和，并借助单调性求出范围即可得解.
【详解】（1）依题意，，由，得，则，
由，得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，数列，
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此
，
而数列是递减数列，则数列是递增数列，
因此恒成立，又恒成立，则，
所以m的最小值为.
8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项．
(1)求数列 与 的通项公式：
(2)若数列 满足：求数列 前n项和 ;
(3)求的前n项和
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式，即可得到结果；
（2）根据题意，结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法，即可得到结果；
（3）根据题意，分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由为等比数列可得，即，
即，解得或（舍），
所以，
又的前三项为，即，即，
公比，所以.
（2）因为，
则
.
（3）因为，即，
设数列的前项和为，
当为奇数时，
；
当为偶数时，
；
综上所述，.
9．（24-25高三上·天津南开·期末）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设，求；
(3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，；
(2)；
(3)2170.
【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再借助等差数列前项和公式求出公比，进而求出通项公式.
（2）由（1）的结论，分奇偶求出的通项，并结合裂项相消法及错位相减求出对应前项和，再利用分组求和法求解.
（3）根据给定条件，求出数列的前2025项中数列的项及1的个数，再分组求和即得.
【详解】（1）在等差数列中，，而，解得，
公差，则；
设等比数列的公比为，，由，得，
即，解得，，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，当为奇数时，，
则；
当为偶数时，，，
，
则，
两式相减得
，因此，
所以.
（3）依题意，数列：
项为前的总项数为，
数列是递增的，当时，，
当时，，
因此数列的前项中，有数列的前10项，有个，
所以.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
③对于结构，利用分组求和法；
④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
一、填空题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
【答案】10
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为，
故，解得.
故答案为：10
2．（2024高三·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 .
【答案】/
【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可.
【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，.
由题意可得
解得
所以．
故答案为：.
3．（24-25高三上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
【答案】 2 9
【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解.
【详解】在等比数列中，由，得，解得，
设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9.
故答案为：2；9
4．（24-25高三上·全国·课后作业）已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ．
【答案】2
【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解.
【详解】设，
由题意可知：，解得，
所以．
故答案为：2.
5．（2024高三上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【答案】
【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项.
【详解】设等差数列的项数为，
则，
，
，解得：，即等差数列的项数为；
项的数列的中间项为第项，即，
由得：，解得：，即中间项为.
故答案为：；.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 .
【答案】
【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为，，又，所以，
即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列；
同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列．
所以前40项和为．
故答案为：.
二、解答题
7．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．
(1)求的最小值；
(2)设的前项和为，求．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，分别选择①②③，求得公差的值，结合等差数列的通项公式和前项和公式，即可求解；
（2）由（1）中的通项公式，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，且．
选择①：（1）因为，所以，解得．
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
选择②：因为，可得，
因为，所以，此时，所以，
因为，所以单调递增，且当时，．
所以当或11时，最小，此时.
选择③：因为，所以，即，所以，
所以，则，
利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，
因为，所以当或6时，.
（2）解：若选择①或③：由（1）知，当时，，
所以
.
若选择②：由（1）知，且当时，，且，
所以
.
8．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由解的方式解出，进而解出；
（2）分类讨论去除绝对值解出即可.
【详解】（1）因为，且，
当时，，
得，
整理得：，
所以为首项是，公差为的等差数列，
所以.
（2）由，所以当时，，当时，；
所以当，，
当时，，
而，
所以.
9．（24-25高三上·全国·自主招生）若表示正整数n的最大奇数因数，记，求.
【答案】
【分析】由表示的最大奇数因数，可归纳得，，，将分组，分成奇数项和偶数项的和，可得，累加法整理即可得到.
【详解】依题意：，，，，，，，，，，…，
结合的定义可以发现：，，，
当时，
，
于是，，．
，
．
所以．
10．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列为等比数列，公比，前项和为，数列为等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式：
(2)若，，且数列的前项和为，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式列方程组，解方程组即可；
（2）根据数列的递推公式，利用累加法可得奇数项的通项公式，再结合并项求和的方法可得解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由，，
得，即，
解得，或，
又，
所以，
即，；
（2）由（1）得，则，
当为奇数时，，
则，，，，
等式左右分别相加的，
则，
当为偶数时，，
则
.
11．（24-25高三上·黑龙江大庆·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)已知，求数列的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当n=1时代入求出，当时仿写作差即可；
（2）将数列的前2n项和转化为，利用等比数列的求和公式求出，利用错位相减法求出即可；
【详解】（1）当n=1时，，解得，
当时，由，可得，
两式相减得，所以，
又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列.
（2）由（1）可知，
所以，
设数列的前项和为，
所以，
即，
令，知，
，，
作差得，化简，
所以
12．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且．
(1)分别求数列和数列的通项公式；
(2)设，求数列前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）应用等比数列通项公式建立方程组可解出，利用待定系数法可求出；
（2）应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为q，且有，
由于解得
所以数列的通项公式为．
由于是等差数列，设，
则有，
所以,解得
所以数列的通项公式为．
（2）解：由（1）知，，
所以
．
13．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用，求解通项公式；
（2）利用分组求和，裂项相消，分类讨论求解前项和.
【详解】（1）根据题意可得，是正项数列，，
当时，，解得（舍去），
当时，由得，
两式相减得，
即，由于，
所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以.
（2）由（1）得
所以①当为偶数时,
,
②当n为奇数时,
所以.
14．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）设各项非零的数列的前n项和记为，记，且满足，
(1)求，的值，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）依据题意列出关于的方程即可求得的值，依据等差数列的定义去证明数列为等差数列，进而求得的通项公式；
（2）先求得数列的通项公式，再分类讨论去求数列的前项和．
【详解】（1）由题意可知，，且，
解得：或（舍去）,
又当时，，所以有,
化简得：，则，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）及题设可知，.
当时，，
当时，.
.
①当是奇数时，
当时，
当时，
，
当时，也适合上式，
即：，且为奇数；
②当是偶数时，
.
即：，且为偶数；
综上所述；.
1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有
2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。
1、等差数列中
①若项数为偶数，则；；．
②若项数为奇数，则；；．
2、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则．
1、项数问题
①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项；
②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项；
③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数；
2、常见类型
①，求的值；则
②，求的值
（1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则
（2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则
3、其他类型
①数列中连续两项和或积的问题：或
②含有类型