小题限时卷02（最新模拟速递）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算化简求出复数，求得其共轭复数，利用复数的几何意义即可判断.
【详解】由，可得，
故在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C.
2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】导函数在处的函数值即为斜率，点斜式即可写出直线方程.
【详解】因为，所以，故，，所以曲线y=fx在处的切线方程为，即.
故选：D.
3．（24-25高三上·四川自贡·期中）下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】定义域关于原点对称，且，可以判断函数为偶函数，对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】的定义域为R，
且，
故为偶函数，A正确；
B选项，的定义域为R，，
，故不为偶函数，B错误；
C选项，的定义域为R，
，
故是奇函数，C错误；
D选项，的定义域为R，
且，
故为奇函数，D错误.
故选：A
4．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在等比数列中，记其前项和为，已知，则的值为（ ）
A．2B．17C．2或8D．2或17
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式求得或，再利用等比数的求和公式求解即可.
【详解】由等比数列的通项公式可得，
整理得，
解得或．
当时，；
当时，．
所以的值为2或17．
故选：D．
5．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出的值，再根据两个等式相除可求得结果.
【详解】由题可得，两式相除可得，
则，，
∵，解得，
设天后金针菇失去的新鲜度为，
则，又，
∴，，，，
则，
故选：B.
6．（2024·江苏南通·一模）在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用及棱锥体积公式求棱台的体积.
【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥，如下图，且均为正三角形，
其中为底面中心，连接，则面，而面，即，
所以与平面ABC所成角为，而，则，所以，
令的高为，结合棱台的结构特征，知，
所以棱台体积.
故选：C
7．（2024高三上·江苏盐城·期中）已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知，，
且，，
所以，

因为，所以，
所以即，
又，所以，
所以由余弦定理得，
整理得，所以即.
故选：B.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知对于，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，可转化为，设，则，结合函数单调性可知，分离参数，构造新函数，根据导数判断单调性可得最值，即可得解.
【详解】由已知，，
即，即，
设，函数，即恒成立，
又函数在上单调递增，且，
即，
即，，
设，，
则，
令，解得，
当时，ℎ′x0，ℎx单调递增，
所以当时，ℎx取最小值为，
即，
故选：C.
二、多选题
9．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．过点作圆的切线有且只有一条
B．圆和圆共有4条公切线
C．若M，N分别为两圆上的点，则M，N两点间的最大距离为
D．若E，F为圆上的两个动点，且，则线段的中点的轨迹方程为
【答案】ACD
【分析】A选项，利用点圆位置关系即可判断；B选项，将两圆的一般方程化为标准方程，得到圆心和半径，判断两圆位置关系即可判断；C选项，数形结合得到；D选项，由垂径定理得到，从而得到线段的中点的轨迹方程.
【详解】对于A，对于圆，有，
所以点在圆上，则点作圆的切线有且只有一条，故A正确；
对于B，圆化为标准方程得，
则圆的圆心为，半径为2，
圆的方程化为，
则圆的圆心为圆心，半径为3，
因此，
因为，所以，
所以两圆相交，则圆和圆共有2条公切线，故B错误；
对于C，根据圆的图象可知，故C正确；
对于D，不妨设中点为，则，圆的半径为3，
由垂径定理可知，即，
设点的坐标为，又点的坐标为0,1，
所以的轨迹方程为，故D正确.
故选：ACD.
10．（2024高三上·安徽阜阳·期中）设，为正数，且且，则（ ）
A．的最小值是2B．的最大值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式判断A；利用基本不等式建立不等式，换元后解不等式判断BC；根据条件转化为求的最大值，换元后利用二次函数最值得解判断D.
【详解】由，
所以，所以，
对A，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对B，由
可得，
当且仅当时取等号，
令，则，解得，
即，
当且仅当时取等号，故B错误；
对C，由，
令，则，
解得，即，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对D，由可得，
所以，
令，由B知，
则由可知当时，，
故当时，有最大值，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：通过对已知条件恰当变形后，利用基本不等式，换元法解不等式是解题的关键所在，对变形化简能力要求很高.
11．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，，是的两个零点，且，则（ ）
A．B．为的极小值点
C．的极大值为4D．满足的解集是
【答案】BCD
【分析】根据，是的两个零点可得，，进而结合即可求得的值，进而判断A；结合导数分析函数的单调性，可判断BC；结合函数的图象可判断D.
【详解】因为，是的两个零点，
则，即，，
则，
所以，
即，
解得，则，即.
对于A，，故A错误；
对于B，由，
令f′x>0，得或；令f′x1时，由得，，则，
由上可得，又在1,+∞上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：A．
二、多选题
5．（2024·四川成都·模拟预测）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项.
【详解】A.，所以，，
所以，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，，
所以，，故D正确.
故选：CD
6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．将向左平移个单位长度，得到函数
D．若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】AC
【分析】由图象经过点列方程求，判断A，结合余弦函数性质验证B，根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C，令，可得在上有个不相等的实数根，结合正弦函数性质判断D.
【详解】观察可得函数的图象过点，
所以，
所以，，
所以，，又，
所以，A正确；
所以，
因为时，，
所以点不是函数的图象的对称中心，B错误；
函数向左平移个单位长度，可得函数的图象，
又，所以C正确；
因为，
由可得，，
令，由已知可得在上有个不相等的实数根，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且时，，时，，
时，，
所以，D错误.
故选：AC.
三、填空题
7．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是 ．
【答案】
【分析】两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色，分类计算两次均取到同色球的概率即可得结论.
【详解】若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；
若第一次取球均取到红球，其概率为，
第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球，
第二次取到同色球概率为；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是；
若第一次取球均取到白球，其概率为，
第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球，
第二次取到同色球概率为；
此时乙袋中恰有4个小球的概率是；
所以乙袋中恰有4个小球的概率是.
故答案为：.
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇函数的性质得到，然后通过求导得到，再结合为奇函数得到f′x的周期，根据为奇函数和得到f′1，最后利用周期性计算即可.
【详解】由为奇函数可得，
两边分别求导可得，
即，故，所以，
又为奇函数，所以，可得，
故，从而，
故是f′x的一个周期，
在中，分别令和可得：，，
所以．
由为奇函数可得，
故，所以．
故选：A.
【点睛】方法点睛：周期性的相关结论：
①，则周期；
②，则周期；
③，则周期.
二、多选题
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的第2项小于1B．
C．为等比数列D．中存在大于100的数
【答案】AD
【分析】根据，，时，即可判断AB；利用反证法即可判断C；假设对任意的，，证明假设矛盾即可判断D.
【详解】对于A，由题意，当时，，解得，
当时，，解得，故A正确；
对于B，当时，，解得，
，所以B错误；
对于C，假设数列为等比数列，
则，，矛盾，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，
所以数列是递增数列，所以，
假设对任意的，，则，
取，则，矛盾，
所以中存在大于100的数，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题在推断选项C，D的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导．
三、填空题
3．（2024·四川眉山·一模）已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】
【分析】根据题目先得到的奇偶性和单调性，从而令，若仅有一个实数根，则，此时只有两个根，不符合题意，若有两个实数根，由对称知，，故和均有两个解，根据判别式即可得到且，然后结合函数单调性和奇偶性求得结果.
【详解】由题知，的定义域为，
且，
所以为偶函数，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
由对称性可知在上单调递减，
所以，
令，
若仅有一个实数根，则，
此时，解得或，有两个根，不符合，舍去；
若有两个实数根，由对称知，，
需要满足和均有两个解，
即和均有两个解，
由，，解得，
又，故.
故答案为：
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路主要有：
（1）利用换元思想，设出内层函数；
（2）分别作出内层函数与外层函数的图像，分别探讨内外函数的零点个数或范围；
（3）内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.