湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含答案

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．的值是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生
植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，若该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）．（参考数据：，）
A．9B．8C．7D．6
8．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．下列说法错误的有（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．是的必要不充分条件
C．的单调递减区间为
D．函数且的图象恒过定点.
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ）
A．的最小正周期为
B．是的最小值
C．在区间上的值域为
D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
11．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12． .
13．已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ．
14．已知函数，当时恒成立，则的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
15．（满分13分）已知集合，集合.
（1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围.
（2）若；求实数的取值范围.
16．（满分15分）已知函数．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）利用函数的单调性和奇偶性，解不等式．
17．（满分15分）设函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，函数的最大值为，求实数的值．
18．（满分17分）已知函数
（1）当时，解不等式：；
（2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（满分17分）设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式. 例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
（1）若切比雪夫多项式，结合，求实数a，b，c，d的值；
（2）利用，结合（1）的结论，求的值；
（3）已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，求的值.
雅礼教育集团2024年下学期期末考试试卷（答案）
高一数学
1．【答案】D
【详解】.故选：D
2．【答案】A
【详解】因为集合，所以，所以.故选：A.
3*．【答案】C
【详解】因为函数在上单调递减，又，，，所以，所以函数有唯一零点，且在内.故选：C
4．【答案】B
【详解】∵，即在定义域上单调递增，且，∴，
∵，即在定义域上单调递增，且，∴，
∵，即在定义域上单调递减，且，∴，∴.
故选：B.
5．【答案】B
【详解】因为中，所以，所以的定义域为，排除C，
当时，，排除A，当时，，排除D，
故只有B符合，故选：B
6*．【答案】C
【详解】所以在上单调递减，则在上单调递增，
所以不等式即，即，解得，
所以实数的取值范围为.故选：C
7*．【答案】B
【详解】由题意得：，即，
所以，两边取对数得：，
因为，所以的最小值为，所以，故选：B
8．【答案】D
【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，又，得，
令，得，
所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，.故选：.
9．【答案】CD
【详解】对于A，易知命题“”的否定是“”，故A正确；
对于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，
故是的必要不充分条件，故B正确；
对于C，的单调减区间为，不能用并集符号，故C错误；
对于D，由且可令，解得，
又，故函数的图象恒过定点，故D不正确.故选：CD
10*．【答案】ABD
【详解】函数的周期，则，则，，由，得，即，
所以函数解析式为；
对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，是的最小值，故B正确；
对于C，当时，，利用正弦函数的性质知，，
得，故C错误；
对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数的图象，故D正确.故选：ABD.
11．【答案】BCD
【详解】对于函数，则，解得且，
所以函数的定义域为，故A错误；
当时，，
因为在上单调递增，且，又在定义域上单调递增，
所以在区间上单调递增，故B正确；
因为，
所以的图象关于点对称，故C正确；
因为，所以，
又，所以，即，
所以，所以，即，故D正确.
故选：BCD
12*．【答案】1
【详解】解：解法一：．
解法二：.
故答案为：
13*．【答案】
【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为3，
作出的图象，由图可知两个函数图象有3个交点时，的取值范围为
14．【答案】
【详解】设，，则，且在单调递增，
当时，；当时，；
因为当时恒成立，所以有一个零点为1，
且当时，；当时，，所以.
令，因为，所以有一个零点，且当
时，；当时，，所以，且，所以.
故答案为：
15.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）命题，命题，若p是q的充分条件，则有.
所以解得：.所以实数m的取值范围. ……6分
（2）因为，要使，只需或，解得：或.
所以实数m的取值范围. ……13分
16*．【答案】(1) 在上的单调递增，证明见详解 (2)
【详解】（1）在上的单调递增.
证明：对，且，
则，
因为，所以，，所以，即，
所以在上的单调递增. ……7分
（2）因为，定义域为关于原点对称，
又，所以为奇函数.
由，得，即，
又，，由（1）知在上的单调递增，
所以，所以. ……15分
17*．【答案】(1)答案见解析(2)最小值为2；
【详解】（1）
……5分
，解得，
所以的递增区间为 ……8分
（2）由（1）知，
，所以，令，
则在上单调递增，在单调递减，
所以，，所以，所以
…………15分
18．【答案】(1) (2) (3)不存在，使得结论成立，理由见解析
【详解】（1）由已知得，因为是增函数，所以，解得，
所以原不等式的解集为 ……4分
（2）由题意令，因为，所以，
所以不等式在上有解，即在上有解，
分离参数得，因为，当且仅当时取等号，
则要使原不等式有解，只需即可，即实数的取值范围为； ……10分
（3）首先要使函数在上有意义，需，所以，
易知函数在上的最大值必在端点处产生，
故只需，或，
由①得或4，由②得，故无解，舍去；
由④得或，由③得，故无解，舍去；
综上可知，不存在a使结论成立． ……17分
19．【详解】（1）依题意，
，
因此，即，则. ……5分
（2）因为，
因为，，即，
因为，解得（舍）. ……10分
（3）函数在区间上有3个不同的零点，
即方程在区间上有3个不同的实根，
令，由知，而，则或或，
于是，
则，
而，所以.
……17分