广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期1月期末数学试卷（解析版）

广东省阳江市高新区2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】.故选：D.2. 在复平面内，复数对应点位于第二象限，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】复数，其对应的点在第二象限，则，解得．故选：A3. 在梯形中，满足，则（ ）A. 4 B. 6 C. 10 D. 12【答案】C【解析】∵，∴，，故选：C．4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，则，即，即，即，所以.故选：C.5. 圆台的高为2，体积为，两底面圆的半径比为，则母线和轴的夹角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设圆台上底半径为，则下底半径为，由题意：.所以圆台母线和轴的夹角的正切值为：.故选：B6. 已知球的半径为,是球表面上的定点,是球表面上的动点,且满足，则线段轨迹的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，以球的球心为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，因为球的半径为，则，设，则，，所以，又，，则，得到，如图，在线段取点，使，所以线段轨迹为圆锥的侧面，又，则，所以圆锥的侧面积为，所以线段轨迹的面积为，故选：C.7. 在平面直角坐标系中，，点在直线上，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意，设点，则，则在上的投影向量为.故选：C8. 已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，代入点的坐标，可得关于的方程，圆，的半径，是该方程的两个不同实根，所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得．当点在轴上时，，此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，且，满足．同理，当点在轴上时，，同样满足．故选：C.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法不正确的是（ ）A. 至少有一个实数x，使B. 若定义域为，则的定义域是C. 命题p：，，则，D. “集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件【答案】ABC【解析】对于A，在实数范围内，，则，故A不正确；对于B，因为的定义域为，所以，即，所以对于，，解得，所以的定义域是，故B不正确；对于C，命题p：，，则，，故C不正确；对于D，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意；当时，由题意可得，即，综上或，所以必要性成立，故D正确；故选：ABC10. 投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量．记A表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（ ）A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立【答案】BC【解析】根据题意，表示事件“”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则，表示事件“”，即第二次抛掷中，正面向上，则，表示事件“”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，，依次分析选项：对于A，事件、可能同时发生，则事件、不是对立事件，A错误；对于B，事件、可能同时发生，则事件和不互斥，B正确；对于C，事件，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，，由于，则事件和相互独立，C正确；对于D，事件，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，，，事件、不是相互独立事件，D错误．故选：BC．11. 已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（ ）A. 取值范围是B. 当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6C. 当直线l斜率时，AB平分D. 最大值为【答案】ACD【解析】设Mx,y，因为，即，整理可得，可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交，且，则的最大值为，最小值为，所以取值范围是，故A正确；设，联立方程，消去x可得，则.对于选项B：可得，令，则，可得，因为在内单调递增，则的最小值为，即，则，可得的面积，所以面积的最大值为，故B错误；对于选项C：因为，又因为，则，即，可知，所以AB平分，故C正确；对于选项D：因为AB平分，则，可知当与曲线C相切时，取到最大值，此时，且为锐角，则，即的最大值为，则的最大值为，所以最大值为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设，若，则的值为__________．【答案】【解析】，若，，，，，．故答案为：.13. 已知三棱台上、下底面均为正三角形，且平面平面，，为的中点，则直线与夹角的余弦值为______．【答案】【解析】如图所示，因为，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，取的中点为，由题知和为等边三角形，则，又，则也是等边三角形，故，设为在平面上的投影，则平面，因为平面平面，交线为，因为为的中点，所以又平面，所以平面，则，且，故四边形为矩形，故，且，则，又，所以，则，又，所以，又，则，所以在中，由余弦定理得，所以直线与夹角的余弦值为．故答案为：．14. 点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是________.【答案】【解析】由题意可得圆的圆心，半径为，则，所以过的切线斜率为，所以直线的方程为，即，又直线与直线平行，所以，则与之间的距离是.故答案为：.15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，求.解：（1）因为，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，则，因为，所以，又因为，所以；（2），由余弦定理可得，，又，，，，即，.16. 已知圆过，两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程．解：（1）设圆的一般方程为，圆心，根据题意有，解得，故所求圆的一般方程为，（2）如图所示，，设是线段的中点，则，，又，∴在中，得，当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为．当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，得，此时直线的方程为．综上，所求直线的方程为或．17. 课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．（1）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率．解：（1）依题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数，所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49．（2）抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，在内有4人，记内的2人为A，B，记内的4人为，从这6人中随机选2人基本事件有：，共15种，其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有，共9种，设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则．18. 如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点. （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）连，由为中点，为中点，得，又平面，平面，所以平面.（2）设，由平面，平面，得，则，取中点，则，又平面，则平面，又平面，于是平面平面，又平面面，过点在平面内作于，于是平面，连， 则为直线与平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值.19. 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.解：（1）由题意可知：的圆心为，半径为4，且， 则，可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则，所以的方程为.（2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交， 设直线，，则，联立方程，消去x可得，则，又因为，若，则，即，可得，解得，所以的方程为，即.时长学生人数5010020012525