河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

河北省张家口市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线的焦点坐标为.故选：D.2. 已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设与的夹角为，所以.则与的夹角的余弦值为.故选：A.3. 已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，所以直线的倾斜角为，所以，直线的方程为：.故选：D.4. 已知等差数列的公差，前项和为，则（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】B【解析】因为等差数列的公差，前项和为，所以，故选：B.5. 已知过点的直线分别与轴的正半轴交于点为坐标原点，则的面积的最小值是（ ）A. 4 B. C. 8 D. 5【答案】A【解析】直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数，设直线，令，得，令，得，可知，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4.故选：A.6. 已知正项数列中，，则该数列的通项公式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为正项数列中，，显然，所以，所以对两边同时取对数，可得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，所以.故选：C.7. 已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令可得，则y2=b21−c2a2=b4a2，所以，所以，因为直线与直线互相垂直，所以，所以在中，，所以，所以，所以，所以或（舍去），所以的离心率为.故选：C.8. 如图，正方体的棱长为为侧面内的动点，在对角线上，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】连接，易知面，又面，所以，因为为侧面内的动点，且，，所以，即点在以为圆心，为半径的圆弧上，连接，过作交于，易知面，因为，所以，又，，所以，，故在上，所以当与重合时，最小，又，所以最小值为，故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆．若直线与圆和圆相切，切点分别为，则（ ）A. 若重合，则直线的方程是B. 若不重合，则C. 若直线的斜率存在，则其斜率为D. 若不重合，则四边形的面积为【答案】ABD【解析】点，分别以点为圆心，以1，2为半径作圆，所以，，对于A，因为，所以圆圆外切，且切点为O0,0，若重合，则即为O0,0，此时直线的方程是，故A正确；对于B，如下图，因为，，设直线与交于点，所以为的中点，所以为的中点，，，所以在中，，故B正确；对于C，在中，，故直线的斜率存在，则其斜率为，故C错误；对于D，若不重合，则四边形的面积为：，故D正确.故选：ABD.10. 圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴（双曲线的实轴，抛物线的对称轴）的焦点弦称为通径．若点是椭圆，抛物线和双曲线的焦点，且椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，则（ ）A. B. 可以是直角三角形三条边的长C. 双曲线的离心率D. 点到双曲线渐近线的距离为【答案】ABC【解析】对于A，由点是椭圆的焦点，所以F1,0，又因为抛物线和双曲线的焦点，所以，，故A正确；对于B，令可得，所以，所以椭圆的通径为，所以，令可得，则，所以，所以，因为，所以，令，可得，所以，因为椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，所以，所以，即，，因为所以可以是直角三角形三条边的长，故B正确；对于C，因为，又因为，所以，因为，解得：，，故C正确；对于D，点Fc,0到双曲线渐近线的距离为，又因为，，所以，故D错误.故选：ABC.11. 如图，球的两个截面圆和圆的圆心分别为，半径均为2，且圆和圆所在平面分别与轴和轴垂直．若动点分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，其中点的起始点分别为，，点按照图中指针方向运动，运动时间为（单位：秒），则（ ）A. 球的表面积为B. 当时，C. 存在时刻，使得点在球面上相遇D. 的最大值为，且同一个周期内取得最大值的时间差为8秒【答案】ABD【解析】对于A，设球O的半径为，由题意到圆面和圆面的距离为，所以，所以球的表面积为，故A正确；对于B，由题意，，，，，因为动点分别在两个圆周上匀速运动，每12秒运动一周，设两点运动的角速度为，所以，解得：，所以两点分别从同时出发，按箭头方向沿圆周以每秒弧度角速度运动，运动秒后，，，，，当时，，所以，故B正确；对于C，令，所以，则，当时，，所以不存在时刻，使得点在球面上相遇，故C错误；对于D，当时，，，或，，两个时刻的时间差为8秒，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知等比数列的前项的乘积为，若，则__________．【答案】【解析】由可得：，所以，又因为为等比数列，所以，所以,所以.故答案为：.13. 已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________．【答案】【解析】因为为抛物线上的动点，所以可设，则到的距离为：，则时，，此时，故答案为：.14. 如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点，所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，因为，设，，，所以，所以，所以，，所以，当时，有最小值，当时，有最大值，所以的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知的圆心分别为，半径分别为，的圆心为点，半径为．（1）写出的标准方程，并判断其位置关系；（2）若与外切且与内切，求圆心的轨迹方程．解：（1）的圆心分别为，半径分别为，所以的标准方程为；的标准方程为，可得，可知，所以内切.（2）因为动圆P的半径为，因为动圆P与与外切且与内切，则，且，由椭圆的定义可知，动点P在以为焦点，8为长轴长的椭圆上，设椭圆的方程为，半焦距为c，则，，则，又因为内切，则点P不能在切点处，即椭圆应去掉点，所以动圆的圆心P的轨迹方程为．16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，．（1）证明：数列和均为等比数列．（2）设数列的前项和为，求．解：（1）因为复数是虚数单位，，且，，所以，所以，所以，又可得,所以，所以：数列和均是等比数列.（2）因为，所以，所以，.17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点．（1）判断是否为棱的中点，并说明理由；（2）求平面与底面所成角的余弦值．解：（1）取的中点，连接，因为，，所以，，.又因为是菱形，，所以，，因为，所以，平面，所以平面，因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因为，所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，所以，所以为棱的中点.（2）因为平面，平面ABCD，所以，，又， 如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，P0,0,1，所以，，，，底面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，取，，得.设平面与底面所成角为，所以，平面与底面所成角的余弦值为.18. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为．（1）当直线过焦点时，证明：互相垂直．（2）当时，设弦的中点为．①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．②求的最大值．解：（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2，由于焦点F0,1，设直线的方程为，联立，消去得，，且，则设，，则过点的切线方程为，联立方程组，得。则，解得，同理，，所以互相垂直．（2）①当时，设直线的方程为，联立，消去得，，且，则直线与交于点，设，抛物线在点A处的切线方程为，即，同理，在点B处的切线方程为.联立，解得，将式代入化简得，则点在定直线上.②线段AB的中点为，由（1）可得，，，则.，又将式代入得，，则，由，则.的取值范围为.19. 将向量组成的系列称为向量列，记作．已知向量列满足，且．（1）求数列的通项公式．（2）设，且．①数列中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．②若，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）由，可得，根据题意得，所以数列是以为公比的等比数列；又，所以.（2）①结论：数列中存在最小项；理由如下：因为，所以；假设中第项最小，由，，可知：时，；当时，有，由，可得：，即；所以，所以，解得：或（舍）；所以；即；所以，由得；综上，数列中存在最小项；②因为，所以；所以；因此，所以；又存在正整数，不等式成立，所以只需，即；因此或，解得：；即实数的取值范围是.