陕西省安康市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试卷（解析版）

陕西省安康市2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题注意事项：1.答题前､先将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3､非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知空间向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】空间向量，所以.故选：D2. 直线的倾斜角为（ ）A. B. 0 C. D. 【答案】A【解析】直线的斜率，所以所求的倾斜角为.故选：A3. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为，第一象限内的点在上，且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】由题意得，故，，由题意结合双曲线定义知，故.故选：B4. 已知是平面的一个法向量，且，则点到平面的距离为（ ）A 2 B. C. 4 D. 【答案】B【解析】依题意，点到平面的距离.故选：B5. 已知等差数列的公差为，记数列的前项和为，则（ ）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】D【解析】因为等差数列的公差为，所以，解得，所以，因，数列单调递增，所以数列前3项为负，所以.故选：D.6. 已知数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由得..因为，所以，，，，所以可知数列是以4为周期的数列，所以，故选：B.7. 已知分别为椭圆的左、右焦点，经过坐标原点的直线与交于，，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由椭圆方程可知：，即，因为，且，可得，在中，，由椭圆性质可知：，即四边形为平行四边形，所以.故选：A.8. 数列满足，则数列的最大项为（ ）A. 16 B. 28 C. 30 D. 34【答案】C【解析】，，所以由累加法可得：，，所以，令，则，，令，解得：，解得或（舍去）.令，解得，函数在 上单调递增；令，解得，函数在上单调递减；所以函数在取得极大值，又因为，当时，，当时，，因此数列的最大项为30.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则（ ）A. 若，则B. 若，则或C. 若，则D. 若夹角为，则【答案】BC【解析】对于A，当时，直线可能平行也可能重合，故A错误；对于B，当时，在平面内一定存在与直线平行的直线，则或，故B正确；对于C，当时，直线与平面的垂线平行或重合，则，故C正确；对于D，当的夹角为，其法向量的夹角为或，则或，故D错误.故选：BC.10. 已知抛物线的焦点为，过点作两条互相平行的直线，其中与切于点与交于两点，则（ ）A. 的斜率为 B. C. D. 的面积为2【答案】ACD【解析】设直线方程为，由消去得，，解得，，点，对于A，的斜率，A正确；对于C，，C正确；对于BD，由对称性不妨令点，则直线，由消去得，设，则，，点到直线的距离，的面积，B错误，D正确.故选：ACD11. 已知点到直线的距离与到直线的距离之比为2，记的轨迹为曲线，则（ ）A. B. 直线与存在2个交点C. 圆与有且仅有3个交点D. 若圆与有4个交点，则【答案】ABD【解析】因为点到直线的距离与到直线的距离分别为，由题意可知：，即，整理可得或，注意到，可知，可知的轨迹方程为直线和直线，原点除外.对于选项A：因或，故A正确；对于选项B：显然直线不过原点，当直线与直线和直线均不平行时，直线与只有2个交点，故B正确；对于选项C：圆即为，可知圆心为1,0，半径为，因为圆心1,0到直线、的距离分别为，可知直线、均与圆相交，注意直线、与圆均过坐标原点，所以圆与有且仅有2个交点，故C错误；对于选项D：圆的圆心为，半径为，则圆心到直线、的距离分别为，可知，可得，即，整理可得，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列是公比为的等比数列，且，则__________.【答案】或1【解析】由得，，因为，所以，解得或1，故答案为：或113. 空间直角坐标系中，已知，且点在平面上，则__________.【答案】9【解析】依题意，，由点在平面上，得，则，因此，解得，故答案为：914. 设数列满足，且，则的取值范围为__________.【答案】【解析】，则，两式相减得，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为6，所以等价于，又，，，所以，解得，故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知圆过点三点，圆.（1）求的一般方程；（2）若与交于两点，求.解：（1）设圆的方程为，依题意，，解得，所以的一般方程为.（2）由（1）知，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，即圆与相交，直线方程为，点到直线的距离，所以.16. 记公差为的等差数列的前项和为，已知.（1）证明：数列是等差数列；（2）记数列的前项和为，证明：.解：（1）依题意，，因此，，所以数列是等差数列.（2）由（1）知，则，所以.17. 如图,三棱柱中,是边长为的正三角形,.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）三棱柱中，取中点，连接，由是边长为的正三角形，得，由，得，而，则，即，而面，因此面，又平面，所以平面平面.（2）连接，则是平行四边形对角线的中点，又平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，在中，由余弦定理得，，，，由，得，则，由，得，又，于是，所以直线与平面所成角的正弦值为.18. 设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足.（1）求的值；（2）若，求的前项和.解：（1）因为是公比为的等比数列，故有，由，可得，则，由此可得，即；（2）由（1）知，且和，当 时，，即，当 时，设数列中奇数项的公比为，偶数项的公比也为。奇数项：，形成等比数列，首项，公比为，因此，奇数项通项为，其中。偶数项：，形成等比数列，首项，公比为，因此，偶数项通项为，其中。由，且和，则，可解出，所以和。奇数项和，偶数项和，因此，前2n项和.19. 已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆.解：（1）在圆中，令，解得或，则，因此椭圆半焦距，长半轴长，短半轴长，所以椭圆的方程为.（2）点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，由消去得：，设，则，，联立得，即，当直线与轴重合时，点满足方程，所以线段的中点的轨迹方程是.（3）由，得，不妨令，直线斜率，则，，因此，∽，则，所以点共圆.