专题03 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大题型）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题03 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc20626" 题型01 抽象函数的定义域  PAGEREF _Toc20626 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12719" 题型02 抽象函数求值  PAGEREF _Toc12719 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2125" 题型03 抽象函数的解析式  PAGEREF _Toc2125 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24260" 题型04 抽象函数的单调性  PAGEREF _Toc24260 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc13271" 题型05 抽象函数的奇偶性  PAGEREF _Toc13271 \h 15题型01 抽象函数的定义域 【解题规律·提分快招】【典例训练】一、单选题1．（24-25高三上·贵州六盘水·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抽象函数的定义域列不等式即可得解．【详解】函数的定义域为，所以,解不等式得,即函数的定义域为，故选：D2．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得.【详解】由函数的定义域为，得，则，即的定义域为，在函数中，由，解得，所以所求函数的定义域为.故选：A3．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域.【详解】因为函数的定义域是，所以函数的定义域是，令，所以，所以函数的定义域是.故选：.4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抽象函数的定义域及指数函数的性质求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，则函数的定义域为.故选：B.5．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数定义域为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数的定义域求法列不等式得到，然后解不等式即可.【详解】中，令，则，所以中，解得或.故选：D.题型02 抽象函数求值【解题规律·提分快招】【典例训练】一、单选题1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）若对任意的，函数满足，则（    ）A．6 B．4 C．2 D．0【答案】D【分析】利用赋值法即可求解.【详解】令，则，解得，令，则，故，故选：D2．（24-25高三上·广东深圳·期中）已知函数的定义域为，，，都有，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可得，令可得，代入计算，即可得到结果.【详解】当，时，，所以；令得，所以；，， ，…，.故选：C.3．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）函数满足对任意的实数，，均有，且，则（   ）A．1014 B．1012 C．2024 D．2025【答案】B【分析】根据给定条件，利用赋值法可得，由此计算得解.【详解】依题意，对于，取，得，而，因此，所以.故选：B4．（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别对、赋值，结合已知条件分别求出、、的值，即可得解.【详解】令可得，即，解得，令，可得，则，令，可得，则，令，可得，可得，因此，.故选：C.5．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是定义在上的函数，且，，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助赋值法令可得，即可得，再借助赋值法计算可得函数周期，利用所得周期计算即可得解.【详解】因为，所以当时，，又，所以．又由，可得，所以，，故函数是以4为周期的函数，所以．故选：C．6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得.【详解】，，令，得，又，，，再令，，，.故选：B题型03 抽象函数的解析式【解题规律·提分快招】【典例训练】一、填空题1．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可.【详解】设，由，代入可得，，解得，.故答案为：.（答案不唯一只要正确即可）2．（23-24高三上·辽宁辽阳·期中）已知是定义在上的单调函数，且，，则 ．【答案】14【分析】由单调函数的性质，可得为定值，可以设，则，又由，可得的解析式求.【详解】，，是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，，解得，得，所以.故答案为：14.3．（23-24高三上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 .【答案】 (答案不唯一)【详解】取，则，满足题意.故答案为：(答案不唯一)4．（24-25高三上·北京·期中）写出同时满足以下两个条件的一个函数 .①，，；②，且，.【答案】（答案不唯一）【分析】根据条件可知二次函数可以满足其要求.【详解】令,则,满足条件①；，且，,满足条件②；故答案为：（答案不唯一）5．（2025高三·全国·专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意，，等式恒成立，则的解析式为 ．【答案】【分析】通过令代入即可求解【详解】是定义在R上的函数，且对任意恒成立，令，得，即．故答案为：6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 .【答案】（答案不唯一）【分析】根据函数的单调性，结合及常见的函数特点即可得结果.【详解】因为对任意，都有，即函数在内单调递减，由于，即可取，故答案为：（答案不唯一）.7．（23-24高三上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．【答案】1,（答案不唯一）【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案.【详解】令，则，又，所以，即，所以函数为偶函数，不妨取偶函数，则，也可取，则，满足题意.故答案为：,（答案不唯一）8．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，写出函数的一个解析式为 .【答案】（答案不唯一）【分析】由为奇函数可得的图象关于点1,0中心对称，结合偶函数的性质可构造符合题意.【详解】由为偶函数，知的图象关于轴对称；由为奇函数，知的图象关于点1,0中心对称，据此构造函数，则是偶函数；为奇函数，符合题意.故答案为：（答案不唯一）.题型04 抽象函数的单调性【解题规律·提分快招】【典例训练】1．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，且，则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数的奇偶性求出，再利用函数的单调性解抽象函数不等式即可；【详解】因为①，且是奇函数，是偶函数，则，即②，由①②可得，因为函数、均为上的增函数，所以，函数为上的增函数，由，可得，解得.因此，不等式的解集是.故选：A.2．（湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增．若，则实数x的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函数性质得出函数在上单调性，再由偶函数性质变形不等式，然后由单调性化简后求解．【详解】函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，则在上单调递减，化为，即，解得或，故选：D．3．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.【详解】令，则，且定义域为，所以为奇函数，因为函数在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，所以原不等式可转化为，即，由单调性可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.【点睛】关键点点睛：构造函数，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式，是解决本题的关键.4．（23-24高三上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，求出的单调区间，由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案.【详解】在R上的奇函数在上单调递减，则在上单调递减，且，，当时，，当时，，由，得或或，解得或或，因此或，所以满足的的取值范围是.故选：D5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知函数是定义在上的减函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围.【详解】令，则，由，可得，即，.因为是定义在R上的减函数，所以也是定义在R上的减函数，故，即.因为，所以，即实数的取值范围是.故选：B6．（24-25高三上·甘肃天水·期末）函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题设条件可得以及，从而可得和，根据时，都有可得，从而可求的值后可得的值.【详解】函数在上为非减函数，①，③，令，得；令，得.又②.令，得.令，得；令，得.当时，都有，..故选：D【点睛】关键点点睛：抽象函数的函数值的计算，解题的关键点是注意根据不等关系求确定的值，一般用“夹逼”的方法（如）.7．（24-25高三上·江苏·期末）已知是定义在上的偶函数，若且时，恒成立，，则满足的实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得x的取值范围.【详解】设，由，得，所以，令，则，所以函数在上单调递增，因为是定义在R上的偶函数，所以，所以对任意的，，所以，函数为上的偶函数，且，由，可得，即，即，所以，即，解得.故选：A【点睛】方法点睛：形如的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.题型05 抽象函数的奇偶性【典例训练】1．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ）A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数【答案】B【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断．【详解】在中，令，则，又，所以，令得，所以，所以是偶函数，故选：B．2．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（   ）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】C【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.【详解】因为，所以令，可得，令，则，所以，则既不是奇函数又不是偶函数，且，所以是奇函数.故选：C3．（18-19高三·全国·课后作业）已知对任意x，，都有，且，那么 （    ）A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数【答案】D【分析】令，结合可求得的值，再令即可判断的奇偶性.【详解】令，有，因为，所以，再令，得：，所以，又，所以是偶函数.故选：.【点睛】关键点点睛：抽象函数的奇偶性的判断，根据所给的等式进行取值是解题的关键.4．（23-24高三下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ）A． B． C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性.【详解】对于A， 令，则，得，所以或，当时，不恒成立，所以，所以A错误，对于B，令，则，得，所以，或，由选项A可知，所以，所以B错误，对于CD，令，则，由选项A可知，所以，所以，令，则，所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确，故选：D5．（多选）（24-25高三上·广东·阶段练习）已知函数满足，且，则（   ）A． B．C．不可能是奇函数 D．在上单调递增【答案】AB【分析】利用赋值法和举例法即可逐个选项进行判断.【详解】对于A，取，得，所以，A正确；对于B，取，得，又，所以，令，得，B正确；对于C，若满足，C错误；对于D，取（表示不超过的最大整数），则，从而有，当时，，D错误．故选：AB6．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（   ）A． B．为偶函数C． D．若，则【答案】C【分析】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误；B选项，令，结合定义域可判断选项正误；C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误；D选项，由ABC选项可解不等式.【详解】A选项，在中，令，得，解得；再令，得，解得f−1=2，故A正确；B选项，令，得，所以f−x=fx，又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确；C选项，设，则，所以，所以，所以在0,+∞上是增函数，因为是偶函数，所以在上是减函数，从而，故C错误；D选项，因为是偶函数，则，又在0,+∞上是增函数，所以，解得，故D正确．故选：C．一、单选题1．（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】C【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可.【详解】令，则，故，A选项错误；令，则，故，B选项错误；令，则，故为偶函数，C选项正确；因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.故选：C2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，原不等式可转化为，根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.【详解】令，则，所以不等式可化为，即，因为是奇函数且在上单调递增，所以，则，所以在上恒成立，则，即实数的取值范围是.故选：A3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ）A． B．为偶函数C．为奇函数 D．【答案】C【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.【详解】因为，，取，可得，又，所以；A对；取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；取，可得，又， ；所以，D对；故选：C.4．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造新函数，根据定义法确定函数的单调性，再由性质法判断奇偶性，结合奇偶性与单调性解抽象不等式.【详解】由已知，，当时，都有，设函数，则，且，所以，即在0,+∞上单调递减，又函数是上奇函数，则是上的偶函数，所以在0,+∞上单调递减，在上单调递增，所以即为，所以，解得且.故选：B.5．（24-25高三上·河南驻马店·期末）设函数，则使成立的的范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性，应用函数的奇偶性和单调性解之即可.【详解】因为函数定义域是，，所以函数为偶函数.当时，由复合函数的单调性可知单调递增.由偶函数性质可知，函数在上单调递减.所以等价于，进而等价于，即，所以，解之可得或.故选：B.6．（23-24高三下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（    ）A． B．C．函数是偶函数 D．函数是减函数【答案】C【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.【详解】对于A，令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；对于C，令，则有，则，故函数是奇函数，故C错误；对于D，有，即，则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确.故选：C7．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由单调性的定义证明在上为减函数，记，求导利用函数的单调性求解即可.【详解】任取，，且，设，，由，得，即，所以，所以在上为减函数，记，则，记，所以，所以在上单调递增且，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以， 所以恒成立，所以，即.故选：.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件结合单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性判断函数值的大小.8．（2024·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，，且当时，恒成立，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．为奇函数 D．在区间是单调递增函数【答案】C【分析】赋值法可判断A，利用奇偶函数的定义及赋值法判断BC，由函数的特例可判断D.【详解】令，则，所以，因为当x∈0,+∞时，，所以，令，所以，即，解得：，故A错误；由题意，函数的定义域为，关于原点对称，令，则，即令代换，则，即，所以，令代换，所以，故B错误；由将代入，可得，化简可得f−x=−fx，所以为奇函数，故C正确；令，则，解得：，，故D错误.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的BC选项的关键点令，得到，令代换，得到，两式化简即可得出答案.二、多选题9．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．为上的减函数 D．为奇函数【答案】ABD【分析】由，利用赋值法求解.【详解】解：依题意，且，令，得，故A选项正确.令，则，，即，故B选项正确由于，故C选项错误.令，得，即，即，所以为奇函数，故D选项正确.故选：ABD10．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ）A．是偶函数 B．C． D．在上单调递增【答案】ABD【分析】分别赋值可判断AB，令可判断C，利用定义判断单调性，再由奇偶性判断D.【详解】令，再令，得（1），即，所以，故B正确；令，得，由（1）得，故A正确；令，即，故C不正确；设，则，则由的分析及题意可得，即在0,+∞上单调递减，又是偶函数，∴fx在上单调递增，故D正确，故选：ABD.【点睛】方法点睛：解抽象函数问题通常通过巧妙赋值解决，即采用赋值法解决.11．（24-25高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数的定义域为，且，若对，都有，则（    ）A． B．C．函数为奇函数 D．函数为增函数【答案】AC【分析】利用赋值法可判断A；令，结合A的分析可判断C；再利用赋值法即可判断B；由，用代换x，可判断D.【详解】对于A，令，则，结合，可得，令，则，即，而，故，A正确；对于C，令，则，即，该函数为奇函数，C正确；对于B，结合C的分析，令，则，B错误；对于D，由于，用代换x，可得，该函数为减函数，D错误，故选：AC12．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的定义域为，，且当时，；当时，单调递增，则（    ）A． B．C．是奇函数 D．【答案】ACD【分析】用赋值法，在已知等式中，令求得，判断A，直接令得，即，用反证法判断B，令，求得，再令，判断C，令求得，代入选项D中不等式，然后结合奇函数的性质与单调性可判断D．【详解】在中，令得：，又，∴，故A正确；令得，∴，即，若，则，与时，矛盾，故B错误；令，得，即，又，∴，再令得，即，∴是奇函数，C正确；令得，即，不等式即为，即，时，，，单调递增，即，又时，，，对任意的，或，∴恒成立，故D正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的性质，属于难题．解题方法是赋值法，即在抽象函数满足的等式中，对变量赋值，遵循“要什么赋值什么”的原则，一步步地赋值求得结论．13．（24-25高三上·江苏·阶段练习）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（   ）A．是的一个周期 B．是奇函数C．是偶函数 D．【答案】ABD【分析】利用赋值法求得一些特殊点的值，然后利用函数奇偶性和周期性的定义判断A,B,C即可;然后利用函数的概念和性质计算选项D即可.【详解】令，得，令，得，故为奇函数，所以 选项B正确，选项C错误；令，得令，得所以选项A正确；令，得所以令，得因为，所以，故选项D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：赋值法常用的赋值有，两个变量相等，其中一个变量为0或1.也需要根据题意分析得到，比如这个题中的和.三、填空题14．（23-24高三上·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．【答案】【分析】利用赋值法可得函数解析式.【详解】中，令，得；令得，故，则．故答案为：．15．（22-23高三上·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．【答案】（答案不唯一，符合条件即可）【分析】由条件对，，可推测在上可能为对数函数，再由确定其解析式.【详解】因为对，，；所以在上可能为对数函数，故满足条件①，又，所以，故符合上述条件的函数可能为：，故答案为：（答案不唯一）.16．（22-23高三上·河南开封·阶段练习）已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数x，y恒有；（2）在上单调递减.请写出满足条件的一个 .【答案】（答案不唯一）【分析】由（1）（2）可设,由可求，从而可求解.【详解】由（1）（2）可设,由，可得，化简可得.故的解析式可为.取可得满足条件的一个.故答案为:.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：，则，【一次函数模型】模型1：若，则；模型2：若，则为奇函数；模型3：若则；模型4：若则；【指数函数模型】模型1：若，则；模型2：若，则；模型3：若，则；模型4：若，则；【对数函数模型】模型1：若，则模型2：若，则模型3：若，则模型4：若，则模型5：若，则【幂函数模型】模型1：若，则模型2：若，则代入则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若，则模型2：若，则【正切函数模型】模型：若，则模型3：若，则抽象函数的性质1.周期性：；；；（为常数）；2.对称性：对称轴：或者 关于对称；对称中心：或者 关于对称；3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有；在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有；②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）；③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有；关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有；④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）；