8.1第一课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第八章 立体几何初步　8.1　基本立体图形第一课时　棱柱、棱锥、棱台的 结构特征课标要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.我们在初中已经学习了平面几何，研究了一些平面图形的形状、大小、位置关系，还有平面图形的画法、计算问题，以及它们的应用.人类生存在现实的三维空间中，我们需要突破平面的范围，研究空间的各种几何图形的形状和大小，研究这些图形的位置关系与度量关系等，这就是我们要学习的立体几何，本章我们将从实物模型、空间几何体的整体观察入手，研究上述问题.引入课时精练一、空间几何体、多面体、旋转体的定义二、棱柱的结构特征三、棱锥的结构特征课堂达标内容索引四、棱台的结构特征空间几何体、多面体、旋转体的定义一探究1 观察下列物体，从围成它们面的角度描述它们的特点？提示　可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点，围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点，围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.1.空间几何体的定义 空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的_________和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的__________就叫做空间几何体.知识梳理形状大小空间图形2.多面体、旋转体平面多边形公共边定直线曲面几何体轴面公共点温馨提示(1)多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分.(2)多面体至少有四个面.(3)各面是相等的正多边形的多面体叫做正多面体.棱柱的结构特征二探究2 观察下图中的多面体，想一想：这些多面体各有什么特点？它们分别由什么样的多边形围成？各个面之间的位置关系有什么特点？各条棱之间呢？提示　直观上可以发现，图中的每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形，且上、下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形，各侧棱互相平行且相等.知识梳理1.棱柱的结构特征平行四边形平行平行公共边公共顶点2.几个特殊的棱柱(1)直棱柱：________________的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；(2)斜棱柱：__________________的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；(3)正棱柱：底面是正多边形的________叫做正棱柱(如图③)；(4)平行六面体：底面是____________的四棱柱也叫做平行六面体(如图④).侧棱垂直于底面侧棱不垂直于底面直棱柱平行四边形温馨提示(1)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示.(2)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示.(3)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示，棱柱还需满足各侧棱互相平行且相等.例1√下列说法正确的是A.底面是矩形的四棱柱是长方体B.有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的四棱柱是平行六面体C.棱柱的各个侧面都是平行四边形D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱，不一定是长方体，故A错误；因为平行的两个面不一定是平行四边形，故有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的四棱柱不一定是平行六面体，故B错误；根据棱柱的结构特征可知，C正确；如图所示的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，故D错误.棱柱结构特征的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行且全等的面作为底面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.(多选)下列命题中为真命题的是A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱D.正四棱柱是平行六面体训练1√对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A为假命题；√对于选项B，棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同，B为真命题；对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C为假命题；对于选项D，正四棱柱是平行六面体，D为真命题.棱锥的结构特征三探究3 图中的多面体具有怎样的特点？提示　通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点.知识梳理棱锥的结构特征多边形三角形公共边公共顶点2.正棱锥的结构特征(1)底面是正多边形.(2)顶点与底面中心的连线垂直于底面.温馨提示对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图所示，必须强调其余各面是共顶点的三角形.例2(多选)下列说法中，正确的是A.棱锥的各个侧面都是三角形B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C.棱锥的侧棱互相平行D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥√由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，即不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，如图所示的几何体均满足条件，但都不是棱锥，故D错误.√1.棱锥的结构特征要从两个方面进行把握：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.2.判断一个几何体为棱锥除了利用定义，还可利用举反例法，即结合棱锥的定义举反例说明某些说法不正确.训练2下列说法中正确的是A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥√对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确.棱台的结构特征四探究4 若用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，直观感受一下，平面下方的几何体具有怎样的特点？提示　截面与棱锥的底面平行，各侧面都是梯形.知识梳理棱台的结构特征平行于棱锥底面截面底面温馨提示棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.例3(多选)下列选项中，不正确的是A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D.棱台的侧棱延长后必交于一点√A中的平面不一定平行于底面，故A错；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错；由棱台的定义知，D正确.√√1.棱台的结构特征：(1)两个底面相互平行；(2)侧棱延长后相交于一点.2.判断一个几何体为棱台除了利用定义，还可以利用举反例法，即结合棱台的某些特征说明某些说法不正确.训练3下面四个几何体中，为棱台的是A项中的几何体是棱柱；√B项中的几何体是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台.【课堂达标】1.如图所示，下列判断正确的是√A.①是多面体，②是旋转体B.①是旋转体，②是多面体C.①②都是多面体D.①②都是旋转体√2.如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是根据几何体特征，③是棱锥.A.①是棱台 B.②不是棱柱C.③是棱锥 D.④不是棱柱3.若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥√因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等，所以满足题意的棱锥一定不是六棱锥.4.三棱柱的平面展开图是√【课时精练】√1.(多选)下列特征是棱台必须具备的是A.两底面平行 　　　　B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等 　　　　D.侧棱延长后相交于一点根据棱台的定义，“侧棱长相等”不是棱台必须有的，其余选项均是.√ √√2.(多选)下列四个命题中，真命题为 A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的各个侧面都是平行四边形 C.棱柱的两底面是全等的多边形 D.棱柱的面中，至少有两个面互相平行A是假命题，正六棱柱的两个相对的侧面也互相平行，但两个面不是棱柱的底面，B，C，D都是真命题.√√√3.如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是A.三棱锥 　　 B.四棱锥 C.三棱柱 　　 D.组合体余下部分是四棱锥A′－BCC′B′.√4.设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是√5.(多选)一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是 A.三棱柱 B.三棱台 C.五棱锥 D.四面体√√对于A，三棱柱的顶点是上下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于B，三棱台的顶点是上下两个三角形的顶点，有6个，满足题意；对于C，五棱锥的顶点是底面五边形的顶点及一个各侧棱交点，有6个，满足题意；对于D，四面体的顶点个数为4，不满足题意.6.在正方体上任意选择4个顶点，则由这四个顶点围成的几何体可以是_________________________________.正三棱锥(或正四面体)(答案不唯一)7.下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是________.①②①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.128.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，9.在如图所示的三棱柱中放置高为h的水，现将三棱柱放倒，使平面ACC1A1着地，则此时水所形成的几何体是棱柱吗？为什么？是棱柱.如图所示，这是因为将平面ACC1A1着地，上面的水平面为DD1E1E，则水所形成的几何体为四棱柱ADEC－A1D1E1C1.其中面ADEC与面A1D1E1C1平行且全等，侧面AA1D1D，DD1E1E，CC1E1E，AA1C1C分别为平行四边形，故水所形成的几何体为棱柱.10.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ 如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.√11.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为 A.12 B.9 C.6 D.3设原棱锥顶点到底面的距离为h，因而棱台上、下底面的距离为6－3＝3.12.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是√A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1选项D中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台.13.试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(1)如图①所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一).(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱.(2)如图②所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一).(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一).14.如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值.将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.本课结束