北京课改版数学九下 25.1《求概率的方法》分层练习（原卷+解析卷）

25.1求概率的方法 同步练习题型一 可能性的大小1．一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，这些球仅颜色不同．小明从中任取一球，下列说法错误的是（　　）A．摸到白球的可能性最大 B．摸到红球和黄球的可能性相同 C．摸到白球的可能性为 D．摸到白球、红球、黄球的可能性都为【分析】根据概率公式即可得到结论．【详解】解：∵一个不透明盒子里，共装有10个白球，5个红球，5个黄球，∴共有20个球，∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，∵，∴摸到白球的可能性最大，摸到红球和黄球的可能性相同，摸到白球的可能性为，故选：D．2．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，关于朝上一面的点数，下列事件中可能性最大的是（　　）A．点数为3的倍数 B．点数为奇数 C．点数不小于4 D．点数不大于4【分析】分别求出各选项事件的可能性，再比较即可．【详解】解：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为3的倍数的可能性为；朝上一面的点数为奇数的可能性为；朝上一面的点数不小于4可能性为；朝上一面的点数不大于4可能性为；∵，∴可能性最大的是朝上一面的点数不大于4；故选：D．3．一只不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和1个黄球，这些球除颜色外都相同．从袋子中任意摸出1个球，摸到 　红　球的可能性最大．【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可．【详解】解：∵红球数量最多，∴摸到红球的可能性最大，故答案为：红．4．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．（1）先从袋子中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A．请完成下列表格：（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是，求m的值．【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；（2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可．【详解】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；∵m＞1，当摸出2个或3个红球时，摸到黑球为随机事件，故答案为：4；2、3．（2）依题意，得，解得 m＝2，所以m的值为2．题型二 概率的意义5．下列说法正确的是（　　）A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．【详解】解：A、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误；C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；D、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；故选：D．6．下列事件是必然事件的是（　　）A．抛掷一枚硬币十次，有五次正面朝上 B．射击运动员射击一次，命中十环 C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖 D．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数一定不大于6【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】解：A．抛掷一枚硬币十次，有五次正面朝上，属于随机事件；B．射击运动员射击一次，命中十环，属于随机事件；C．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖，属于随机事件；D．抛掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数一定不大于6，属于必然事件．故选：D．7．一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的小球，随机摸出一个白色小球的概率是；如果将摸出的白球放回，再往袋子中放入9个同样的红色小球，随机摸出一个白球的概率为，则原来袋子中有白色小球　9　个．【分析】设袋子中有白球x个，可得袋子中原有小球2x个，添加9个红色小球后根据概率公式可得方程，解方程即可得答案．【详解】解：设袋子中有白球x个，∵随机摸出一个白色小球的概率是，∴袋子中原有小球2x个，又∵再往袋子中放入9个同样的红色小球，随机摸出一个白色小球的概率变为，∴，解得：x＝9，经检验x＝9是原分式方程的解，∴袋子中有白球9个，故答案为：9．8．在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．【详解】解：（1）50302011.875（元）；（2）虽然转动一次转盘，平均可以获得11.875元，但是获取的概率毕竟只有十六之七，领取10元购物券的机会却是百分之一百，虽然收益低，却更稳妥一些，因此说，这两种选择应该都是可以的．题型三 概率公式9．不透明的袋子中有5个相同的小球，分别写有1，2，3，4，x五个数字，随机摸出一个小球，上面的数字是奇数的概率为，则x可以是（　　）A．0 B．2 C．4 D．5【分析】根据奇数的概率为，可以算出奇数个数，即可得答案．【详解】解：根据上面的数字是奇数的概率为，可得奇数的个数为个，∵1，2，3，4中1，3为奇数，有两个，∴x为奇数，选项中只有D选项符合，故选：D．10．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关A、B、C中的任意一个时，能够使小灯泡发光的概率为 　　．【分析】根据概率公式解答即可．【详解】解：∵当随机闭合开关A、B、C中的任意一个时，只有闭合开关C灯泡亮，∴小灯泡发光的概率为．故答案为：．11．有红球、白球、黄球若干个备用，它们除颜色外其它完全相同．首先，在一个不透明的口袋中放入6个红球和10个白球，摇匀．（1）求从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率；（2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，充分摇匀后，要使从口袋中随机换出一个球不是红球的概率是，问放入了多少个黄球？【分析】（1）根据概率计算公式直接用白球的数量除以球的总数即可得到答案；（2）设放入了x个黄球，根据题意可知摸到白球或黄球的概率是，据此利用概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：（1），∴从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率为，（2）设放入了x个黄球，由题意得，，解得：x＝2，答：放入了2个黄球．题型四 几何概率12．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　）A．2 B．1 C． D．1【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．【详解】解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，所以所求阴影部分的面积为a2﹣[a2﹣π•（）2]×2a2﹣a2a2．正方形的面积为a2，故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是，故选：B．13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AC，AD，AE，BD，BE，BF，CE，CF，DF，均是正六边形ABCDEF的对角线．现随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为 　　．【分析】设⊙O的半径为r，将阴影部分进行转化，进行计算即可．【详解】解：根据题意，可将阴影部分转化为如图所示的形状．由题易知，∠BOD＝120°，∴∠OBD＝∠ODB＝30°．设⊙O的半径为r，∴．设OC与BD相交于点G，则∠OGB＝∠OGD＝90°．∴，．∴，∴．而，∴．∴这个点取在阴影部分的概率为．故答案为：．14．如图，是一个装蟋蟀的小罐底部的形状，一只蟋蟀在小罐内任意跳动，恰好跳到阴影部分的概率是 　　．【分析】根据概率＝相应的面积与总面积之比，即可得出答案．【详解】解：设圆的半径为R，则圆的面积是R2π，阴影部分的面积是：R2+R2＝2R2，蟋蟀恰好跳到阴影部分的概率是 ．故答案为：．题型五 列表法与树状图法15．任意抛掷一枚均匀的骰子两次，记两次朝上的点数的和为m，则下列m的值中，概率最大的是（　　）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【详解】解：∵5＜6＜7＜8，∴最大的数是：8．故选：D．16．一个盒子中装有一个红球，一个白球，这两个球除颜色外其余都相同，从中随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，两次都摸出红球的概率为 　．　．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸出红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次都摸出红球的有1种情况，∴两次都摸出红球的概率为：．故答案为：．17．最近几年沈阳文旅产业不断创新．小明计划假期来沈阳游玩，他打算从3个人文景点（A．大帅府；B．故宫；C．北陵公园）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．世博园；E．棋盘山）中随机选取一个．（1）小明从人文景点中选故宫的概率是 　　．（2）用树状图或列表的方法求小明恰好选大帅府和棋盘山两个景点的概率．【分析】（1）根据题意，可以写出小明从人文景点中选中故宫的概率；（2）根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得小明恰好选中大帅府和棋盘山的概率．【详解】解：（1）由题意可得．小明从人文景点中选中故宫的概率是，故答案为：；（2）树状图如下所示：由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中大帅府和棋盘山的有1种，∴小明恰好选中大帅府和棋盘山的概率为．题型六 利用频率估计概率18．山西特产沙金红杏是一种根系发达，移栽成活率高的经济果木，某研究院跟踪调查了某类沙金红杏的移栽成活情况，得到如图统计图：由此可估计这种沙金红杏树苗移栽成活的概率约为（　　）A．0.8 B．0.85 C．0.9 D．0.95【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．故选：C．19．在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：（1）试估算口袋中白球有 　3　个．（2）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．【分析】（1）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.75，然后利用概率公式计算白球的个数．（2）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，所以摸到白球的概率为0.75，所以可估计口袋中白球有4×0.75＝3（个）；故答案为：3；（2）将第一个口袋中3个白球分别记为白1，白2，白3，画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．∴两个球颜色相同的概率为．1．如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）A． B． C． D．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】解：画出树状图如图所示：由图可得，共有6种等可能出现的结果，其中能让灯泡L发光的情况有4种，∴能让灯泡L发光的概率是，故选：C．2．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60个，这些球除颜色外其余完全相同．某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据：事件A必然事件随机事件m的值 　4　  　2、3　 事件A必然事件随机事件m的值42、3摸球的次数1050150750150030005000摸到白球的频率0.50.80.820.7470.7490.7500.750摸球的次数n10030050080010002000摸到红球的次数m3396155244298602根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（　　）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【分析】利用频率估计概率即可得出答案．【详解】解：根据上表估计“摸到红球”的概率是0.3，故选：C．3．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》都是中国古代数学著作，是中国古代数学文化的瑰宝．小华要从这四部著作中随机抽取两本学习，则抽取的两本恰好是《周髀算经》和《九章算术》的概率是（　　）A． B． C． D．【分析】本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．【详解】解：将四部名著《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别记为A，B，C，D，用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果：由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件的结果有2种，即AB，BA，所以恰好选中《周髀算经》和《九章算术》的概率是，故选：B．4．在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：摸到红球的频率0.330.320.310.3050.2980.301ABCDA﹣BACADABAB﹣CBDBCACBC﹣DCDADBDCD﹣试验次数100300500100016002000“有2个人同月过生日”的次数8022939277912511562通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（　　）A．0.8 B．0.784 C．0.78 D．0.76【分析】在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的频率都在0.78左右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率．【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78．故选：C．5．，0，π这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率为 　　．【分析】先确定无理数的个数，再由概率公式求解即可．【详解】解：∵，0，π这三个数中，，π是无理数，∴这三个数中随机选择一个数，这个数为无理数的概率是，故答案为：．6．为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片（除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同）背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 　　．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙抽到的出场顺序相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：列表如下：“有2个人同月过生日”的频率0.80.7630.7840.7790.7820.78112341（1，2）（1，3）（1，4）共有12种等可能的结果，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的结果有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种，∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为．故答案为：．7．据统计，2024年辽宁省国庆假期旅游呈现良好态势，各项指标再创历史新高，旅游接待规模位列全国第10位，文旅消费规模位列全国第11位．南方李先生一家打算在12月份利用假期到辽宁旅游，李先生的家人想到辽宁的四个景点：A（沈阳故宫），B（大连老虎滩海洋公园），C（锦州辽沈战役纪念馆），D（丹东鸭绿江断桥），选择每个景点的机会是相同的．（1）李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的概率是 　　；（2）由于时间原因，李先生一家只能从这四个景点中选择两个出游，利用树状图或者表格求出恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的概率．【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的结果有1种，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的结果有1种，∴李先生一家第一站选择到D（丹东鸭绿江断桥）的概率为．故答案为：．（2）列表如下：2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）共有12种等可能的结果，其中恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的结果有：（A，C），（C，A），共2种，∴恰好选择A（沈阳故宫）和C（锦州辽沈战役纪念馆）的概率为．8．在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九（1）班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：（1）①表中的a＝ 　123　；b＝ 　0.401　（结果保留三位小数）；②根据上表估计，摸到白球的概率是 　0.4　（结果保留一位小数）；（2）试估算这个不透明的盒子中红球的个数．【分析】（1）①根据频率＝频数÷样本总数，即可求解；②利用频率估计概率可得摸到白球的概率；（2）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数．【详解】解：（1）①a＝300×0.410＝123，b0.401；故答案为：123，0.401；②根据上表估计，摸到白球的概率是0.4；故答案为：0.4；（2）由题意得，摸到白球的概率为0.4，因此球的总个数为：10÷0.4＝25（个），红球个数为：25﹣10＝15（个），所以估算这个不透明的盒子中红球的有15个．9．在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A唱歌、B跳舞、C说相声、D弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．（1）第一个节目是说相声的概率是 　　；（2）用列表或画树状图的方法求第二个节目是弹古筝的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出第二个节目是弹古筝的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）第一个节目是说相声的概率是，故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中第二个节目是弹古筝的结果数为3，∴第二个节目是弹古筝的概率为．C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）摸球的次数n2003005007009001100摸到白球的次数m84a206284363441摸到白球的频率0.4200.4100.4120.4060.403b