北京课改版数学九下 第二十六章单元测试（原卷+解析卷）

第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题单元测试一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．（3分）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）A．10 B．89 C．165 D．294【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．【详解】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，故选：D．2．（3分）我市某中学为便于管理，决定给每个学生编号，设定末尾用1表示男生，2表示女生，如果编号2403231表示“2024年入学的3班23号学生，是位男生”，那么2024年入学的10班20号女生同学的编号为（　　）A．2401202 B．1021201 C．2410202 D．2410201【分析】根据题中记录的方法判断即可．【详解】解：根据题中所给的编写规律可得：该女生同学的编号为编号为2410202．故选：C．3．（3分）某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图尚不完整的调查问卷：准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是（　　）A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤【分析】根据体育项目的隶属包含关系，以及“户外体育项目”与“其它体育项目”的关系，综合判断即可．【详解】解：根据体育项目的隶属包含关系，选择“篮球”“足球”“游泳”比较合理，故选：C．4．（3分）下列说法正确的是（　　）A．“在足球赛中弱队战胜强队”是不可能事件 B．疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用抽样调查 C．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5 D．数据201，202，198，199，200的方差是0.2【分析】根据方差公式、事件的确定性和不确定性，以及随机事件的含义和特征，逐项判断即可．【详解】解：A、“在足球赛中弱队战胜强队”是随机事件，不是确定事件，故本选项不合题意；B、疫情期间，从高风险地区归国人员的日常体温检测，适宜采用普查，故本选项不符合题意；C、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是0.5，正确，故本选项符合题意；D、平均数是：（201+202+198+199+200）＝200，则方差为[（201﹣200）2+（202﹣200）2+（198﹣200）2+（199﹣200）2+（200﹣200）2]＝2，故本选项不符合题意．故选：C．5．（3分）某实验中学有A，B，C三个阅览室，甲、乙两名同学先后随机选择其中的一个阅览室去阅读，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率为（　　）A． B． C． D．【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人恰好在不同的阅览室阅读的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两人恰好在不同的阅览室阅读的有6种，则两人恰好在不同的阅览室阅读的概率．故选：C．6．（3分）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　）A．100（1+x）2＝280 B．100（1+x）+100（1+x）2＝280 C．100（1﹣x）2＝280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．【详解】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，则二月份生产机器为：100（1+x），三月份生产机器为：100（1+x）2；又知二、三月份共生产280台；所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2＝280．故选：B．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）7．（3分）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图1），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦人的记数系统中，他们使用的标记方法和我们当今正整数的标记方法相同（即从右到左依次为：个位，十位，百位……）．根据符号记数的方法，如图2中的符号表示一个两位数，则这个两位数是　25　．【分析】根据题意可知，这个两位数的个位上的数是5，十位上的数是2，故这个两位数为25．【详解】解：由题意可得，表示25．故答案为：25．8．（3分）我国的纪年方法有两种：一、与世界各国同步的公元纪年法；二、干支纪年法．中国自古便有十天干与十二地支，简称“干支”，取意于树木的干和枝．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．将一个天干和一个地支顺次循环搭配起来就出现了“甲子”、“乙丑”、“丙寅”等年，这种纪年方法又称为农历．例如公元2019年为农历“己亥”年．那么1949年是农历“　己丑　”年．【分析】根据干支纪年法表示年代的方法即可得出1949年的表示法．【详解】解：（1949﹣3）÷10＝1946÷10＝194余6，6对应天干第6位是己，即天干为己，（1949﹣3）÷12＝1946÷12＝162余2，2对应地支第2位是丑，即地支为丑，综上用干支纪年法表示1949年是农历“己丑”年．故答案为：己丑．9．（3分）春节期间，有四部影片《热辣滚烫》《第二十条》《飞驰人生2》《志愿军2》热映，甲乙两名同学分别从这四部影片中随机选择一部观看，则他们选择的影片相同的概率为 　　．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：将这四部影片分别记为A，B，C，D，列表如下：ABCDA （A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B） （C，C）（C，D）共有16种等可能的结果，其中他们选择的影片相同的结果有4种，∴他们选择的影片相同的概率为．故答案为：．10．（3分）某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是　　．【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．【详解】解：利用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中小聪和小慧同时被选中的有1种，∴P（小聪和小慧），故答案为：．三．解答题（共9小题，满分70分）11．（7分）春天化工公司前年盈利150万元，如果该公司今年与去年的年增长率相同，那么今年可盈利216万．（1）求这两年中平均每年增长的百分率；（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计明年可盈利多少万元？【分析】（1）设每年增长率为x，根据今年与去年的年增长率相同，列出方程，求出x的值，即可得出答案；（2）根据（1）求出的增长率，直接代值计算即可．【详解】解：（1）设每年增长率为x，则150（1+x）2＝216，解之，得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）答：每年增长率为20%；（2）根据题意得：216（1+20%）＝259.2（万元）答：预计明年可盈利259.2万元．12．（7分）有4张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面画的图形分别是等边三角形、平行四边形、菱形和矩形，将这4张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．（1）随机地摸出一张，求摸出牌面图形是中心对称图形的概率；（2）随机地摸出一张，不放回，洗匀后再摸一张，求摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌的概率，请用画树状图或列表法说明理由（纸牌可用A，B，C，D表示）．【分析】（1）四张牌面的图形中由3个是中心对称图形，1个不是，因此随机摸出1张，摸到牌面图形是中心对称图形的概率为；（2）四张牌面的图形中由3个是轴对称图形，1个不是，不放回，随机摸出两张，可用列表法表示出所有可能出现的情况，进而求出概率，【详解】解：（1）等边三角形不是中心对称图形、平行四边形、菱形和矩形是中心对称图形，因此P牌面图形是中心对称图形，答：摸到牌面图形是中心对称图形的概率为；（2）A等边三角形、C菱形和D矩形是轴对称图形，B平行四边形不是轴对称图形，所有可能出现的情况如图所示：∴因此P两次都是轴对称图形，答：摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌的概率为．13．（8分）某商城双12促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个12.8元的价格售出，求商城每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个，利用销售利润＝（售价﹣进价）×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要想获得最大利润，即可得出每个商品的定价，从而求得最大利润．【详解】解：（1）标价为每个20元，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个12.8元的价格售出，设商城每次降价的百分率为x，依题意得：20（1﹣x）2＝12.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：商城每次降价的百分率为20%；（2）设每个商品应降价y元，则平均每天可售出（40+10y）个，则利润：w＝（20﹣y﹣14）（40+10y），整理得：w＝﹣10（y﹣1）2+250，∵每个商品的售价不低于进价，∴20﹣y≥14，解得：y≤6，当y＝1时，获得利润最大，最大为250元，此时每个商品的定价为20﹣1＝19（元），答：要想获得最大利润，每个商品的定价为19元，最大利润是250元．14．（8分）如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中OD为水面，滑梯BC段可看成是反比例函数图象的一段，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，梯子高OA为6米，宽AB为1米，出口C点到BE的距离CF为4米，求：（1）BC段所在的反比例函数关系式是什么？（2）C点到x轴的距离CD长是多少？（3）若滑梯BC上有一个小球Q，Q距水面OD的高度不高于3米，则Q到BE的距离至少多少米？【分析】（1）设BC段所在的反比例函数关系式为，根据OA、AB的长，得出点B坐标，代入可求出k值，根据CF为4米得出OD的长可求出x的取值范围，即可得答案；（2）把OD的长代入，求出CD的长即可得答案；（3）根据Q距水面OD的高度不高于3米得出，即可得出x的取值范围，进而可得出Q到BE的最小距离，可得答案．【详解】解：（1）设，∴B（1，6），∴，∴k＝6，∴出口C点到BE的距离CF为4米，∴OD＝4+1＝5，∴．（2）∵OD＝5，，∴当x＝5时，，∴，∴C点到x轴的距离CD长是米；（3）∵Q距水面OD的高度不高于3米，∴y≤3，即，解得：x≥2，∴x﹣1≥1，∴Q到BE的距离至少1米．15．（8分）如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m，1.8m（EB＝1.6m，FC＝1.8m），小明在距离树0.3m的B处（AB＝0.3m），看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC＝9.5m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD．【分析】过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H，则GH⊥AD，四边形CBEG、四边形AHEB是矩形，得AH＝BE＝CG＝1.6m，BC＝EG＝9.5﹣0.3＝9.2（m），AB＝HE＝0.3m，再证明△EFG∽△DEH，得，即可解决问题．【详解】解：如图，过E作EG⊥CF于G，延长GE交AD于H，则GH⊥AD，四边形CBEG、四边形AHEB是矩形，∴AH＝BE＝CG＝1.6m，BC＝EG＝9.5﹣0.3＝9.2（m），AB＝HE＝0.3m，∵∠FGE＝∠EHD＝∠FED＝90°，∴∠EFG+∠FEG＝∠FEG+∠DEH＝90°，∴∠GFE＝∠DEH，∴△EFG∽△DEH，∴，即，解得：DH＝13.8（m），∴AD＝DH+AH＝13.8+1.6＝15.4（米），答：树的高度AD为15.4米．16．（8分）如图，为了测量山坡的护坡石坝的高，小明把一根竹竿AC斜靠在石坝旁，底部A与石坝的底部B相距4米，量出竿上AD长为1米时，它离地面的高度DE为0.6m，石坝与地面的倾斜角∠CBF为74°，请你帮小明计算石坝顶部距地面的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.5）．【分析】设CF＝k m，则BF＝3.5k m，再利用相似三角形的性质构建方程求解．【详解】解：在Rt△CBF中，tan∠CBF3.5，∴可以假设CF＝k m，则BF＝3.5k m，在Rt△ADE中，AE0.8（m），∵DE⊥AF．CF⊥AF，∴DE∥CF，∴△ADE∽△ACF，∴，∴，解得x，经检验x是分式方程的解，∴CF＝3.5x3.8（m）．答：石坝顶部距地面的高度约为3.8m．17．（8分）某超市以每千克30元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（0＜x＜20）（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种干果每千克降价多少元时，超市获利最大，最大利润是多少元？【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）设利润为w，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关系式，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）．把（2，120），（4，140）代入y＝kx+b（k≠0）得：，∴，∴y＝10x+100；（2）w＝（60﹣30﹣x）（10x+100）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝10时，w有最大值，最大值为4000，答：当这种干果每千克降价10元时，超市获利最大，最大利润是4000元．18．（8分）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示：D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）品牌AB（1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求x的值；（2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元．【分析】（1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可；（2）设购进B为m袋，A为（180﹣m）袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可．【详解】解：（1）∵用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，可得：，解得：x＝60．经检验：x＝60是原方程的解．答：x的值为60；（2）设购进B为m袋，A为（180﹣m）袋，（80﹣60﹣5）（180﹣m）+[100﹣（60+16）]m≥3600，解得：m≥100．答：至少购进B品牌100袋．19．（8分）校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生，良好85≤x＜95，优秀95≤x≤100），下面给出了部分信息：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，9810名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的七、八年级学生成绩统计表 进货（元/袋）xx+16销售（元/袋）80100年级平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝　95　，b＝　90　，m＝　20　；（2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中“优秀”等级共有多少人？（3）学校决定选取八年级成绩达到优秀的学生去参加比赛，其中有一名女生，请利用树状图或者表格求出参加比赛的人选恰好一男一女的概率是多少？【分析】（1）先根据众数的定义确定a的值，再计算出八年级学生中“优秀”等级的人数，则根据中位数的定义确定b的值，然后计算出八年级学生中“合格”等级的人数所占的百分比得到m的值；（2）用700乘以七、八年级学生中“优秀”等级人数所占的百分比的和即可；（3）利用列表展示6种等可能的结果，再找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】解：（1）七年级学生成绩的众数为95，即a＝95．10名八年级学生中“优秀”等级的人数为10×30%＝3（人），将10名八年级学生的成绩数据按照从大到小的顺序排列，排在第5，6名的成绩数据为90，90，所以b＝（90+90）90．10名八年级学生中“合格”等级的人数为10﹣3﹣5＝2（人），所以m%100%＝20%，即m＝20．故答案为：95；90；20；（2）700（40%+30%）＝490（人）．所以估计该校七、八年级学生中“优秀”等级共约490人；（3）列表如下：共有6种等可能的结果，一男一女的结果数为4种，所以参加比赛的人选恰好一男一女的概率．七年级9089a26.640%八年级90b903030%女男男女（女，男）（女，男）男（男，女）（男，男）男（男，女）（男，男）