北京课改版数学九下 期末模拟测试（原卷+解析卷）

期末模拟测试一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）个．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用轴对称图形和中心对称图形定义进行解答即可．【详解】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个，故选：C．2．（2分）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（　　）A．4 B． C．6 D．【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．【详解】解：设半径为r，由题意得，2πr＝8π，解得r＝4，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠AOB60°，∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴弦AB所对应的弦心距为OA＝2，∴S△AOB4×24．故选：B．3．（2分）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象大致是（　　）A． B． C． D．【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．【详解】解：由一次函数y＝ax+b的图象可知a＜0，b＜0，故0，所以二次函数y＝ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，故选：A．4．（2分）二次函数y＝3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（　　）A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（2，﹣4） D．（2，4）【分析】根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（2，4），故选：D．5．（2分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（　　）A．5 B．5 C．5 D．【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝EG＝11﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．【详解】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，解得x，∴CE的长为，故选：C． 6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于P点，AP＝1，BP＝5，∠APC＝45°，则CD的长为（　　）A． B． C． D．3【分析】根据题意过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，从而得出△OPE是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出PE＝OE，从而利用勾股定理推出DE，再由垂径定理得到CE＝DE，从而推出CD＝2DE＝2．【详解】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，连接OD，∵AB＝AP+BP＝1+5＝6，∴OD＝OA＝3，∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2，∵∠OPE＝∠APC＝45°，∴△OPE是等腰直角三角形，∴PE＝OE，在Rt△OED中，DE，∵OE⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝2DE＝2．故选：A．7．（2分）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为yx2x，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　）A．米 B．8米 C．10米 D．2米【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线yx2x与x轴交点的横坐标，即当y＝0时，求x的值即可．【详解】解：当y＝0时，即yx2x0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，故选：B．8．（2分）如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为，将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为45°；②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°．则结论正确的是（　　）A．② B．均不正确 C．①② D．①【分析】①当点C第一次落在⊙O上时，连接AO，BO，C'O，可证明△ABO是等腰直角三角形，B、C'、O三点共线，再求出∠CAO＝15°，可得∠CAC'＝30°，②当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，先求出∠OAM＝45°，∠BAC'＝135°，∠BAB'＝75°，即可得当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°．【详解】解：①当点C第一次落在⊙O上时，连接AO，BO，C'O，如图1，∵AO＝BO，AB＝2，∴△ABO是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，∴B、C'、O三点共线，∵AB＝AC'，∴∠ABC'＝∠AC'B＝45°，∴∠BAC'＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠CAO＝15°，∴∠CAC'＝30°，故①错误；当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，如图2，∵△ABC是正三角形，∴CM⊥AB，∵AB＝2，∴AM＝1，∵OA，∴OM＝1，∴∠OAM＝45°，∵∠OAC'＝90°，∴∠BAC'＝135°，∵∠C'AB'＝60°，∴∠BAB'＝75°，∴当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°，故②正确，故选：A．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）在x2+4x+　4　＝0的横线上添加一个实数，使方程有两个相等的实数根．【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求出c的值，得到答案．【详解】解：要使方程有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4c＝0，解得：c＝4．故答案为：4．10．（2分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）b＝　﹣2　，c＝　﹣3　；（2）在第一象限内有一点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，求出点P所有的坐标 　（5，12）　．【分析】（1）将点A和点C代入即可求得；（2）根据x2﹣2x﹣3＝0，求得点B（3，0），待定系数法求得直线BC的解析式为y＝x﹣3，设点P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），则点E（m，m﹣3），过P作PH⊥BC于点H，过D作DG⊥BC于点G，则PH＝5DG，可求得PE＝m2﹣3m，进一步证明△PEH∽△DEG，有，即可求得点P的坐标．【详解】解：（1）∵点A（﹣1，0）和点C（0，﹣3）在抛物线上，∴，解得．则b＝﹣2，c＝﹣3．故答案为：﹣2，﹣3；（2）当y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则点B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入得：，解得，则直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵P在第一象限，且在抛物线y＝x2﹣2x﹣3，∴设P坐标为（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），∵点E在直线BC上，∴E的坐标为（m，m﹣3），过P作PH⊥BC于点H，过D作DG⊥BC于点G，如图，∵点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，∴PH＝5DG，∵PD＝m2﹣2m﹣3，DE＝m﹣3，∴PE＝PD﹣ED＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）＝m2﹣3m，∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，∴△PEH∽△DEG，∴，则，解得m＝5或m＝3（舍去），将m＝5代入y＝x2﹣2x﹣3＝52﹣2×5﹣3＝12，得P（5，12）．则存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P（5，12）．故答案为：（5，12）．11．（2分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标为 　（2，1）　．【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+1，∴该抛物线的顶点坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．12．（2分）平面直角坐标系中，一点P（﹣3，2）关于原点的对称点P′的坐标是 　（3，﹣2）　．【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征解答即可．【详解】解：点P（﹣3，2）关于原点的对称点P′的坐标是（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．13．（2分）已知点P是⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连结OA，OB．若⊙O的半径为3，劣弧AB的长为2π，则∠P的度数为 　60°　．【分析】先根据弧长公式得到劣弧AB所对的圆心角度数，再结合切线的性质和四边形内角和计算出∠P的度数．【详解】解：设劣弧AB所对的圆心角度数为n，根据题意可得：，n＝120°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．故答案为60°．14．（2分）已知圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥的底面圆的面积为 　9π cm2　．思考1：要求底面圆的面积，需要求出底面圆的 　半径　；思考2：底面圆的周长对应侧面展开图的 　弧长　．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式，解方程求出r，然后利用圆的面积公式求解．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2π•r，解得r＝3，所以圆锥的底面圆的面积为π•32＝9π（cm2）．思考1：要求底面圆的面积，需要求出底面圆的半径；思考2：底面圆的周长对应侧面展开图的弧长．故答案为：9π cm2，半径，弧长．15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，AE，FG分别交射线CD于点P，H，连接AH，若点P是CH的中点，则△APH的周长为　20　．【分析】设HD为x，表示HP，由面积法证明HP＝AP，由勾股定理求x，再由勾股定理求HA，问题可解．【详解】解：设HD＝x，由题意得HC＝x+8．∵点P是CH的中点，∴HP4x．由题图可知，在△HPA中，边HP和边AP上的高相等，∴由面积法得HP＝AP．∴AP＝4x．∵DP＝HP﹣HD＝4x，∴在Rt△APD中，AP2＝DP2+AD2．∴（4x）2＝（4x）2+62．解得x．∴HP＝4．∴在Rt△ADH中，HA．∴△APH的周长为2＝20．故答案为：20．16．（2分）①把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，那么矩形纸片ABCD的面积为　　；②在图三的Rt△MPN中，若以P为圆心，R为半径所作的圆与斜边MN只有一个公共点，则R的取值范围是　R＝2.4或3＜R≤4　．【分析】（1）根据已知可求得MN，BC的长，再根据矩形的面积公式即可求得其面积．（2）因为所作的圆与斜边MN只有一个公共点，即当PM＜R≤PN时只有一个交点，解出即可．【详解】解：（1）∵PM＝3，PN＝4，∴MN＝5；∴BC＝5+3+4＝12．从点P处作MN的高，则根据直角三角形斜边上的高的性质可知高，所以矩形的面积12．（2）①以P为圆心，当PM＜R≤PN时只有一个交点，则3＜R≤4时，R为半径所作的圆与斜边MN只有一个公共点，②当以P为圆心，2.4为半径时，圆P与斜边NM相切，只有一个交点．综上所述，半径R的取值范围是：R＝2.4或3＜R≤4．故答案为：R＝2.4或3＜R≤4．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）解方程：（1）4x2＝12x．（2）2x2+4x﹣3＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【详解】解：（1）∵4x2＝12x，∴4x2﹣12x＝0，∴4x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得x1＝0，x2＝3；（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣3，∴Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x，即x1，x2．18．（5分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）结合图象，直接写出当﹣2＜x＜3时，y的取值范围．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4），则可设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点（0，3）代入求出a即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）根据x＝﹣2、3时的函数值即可写出y的取值范围．【详解】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，4），设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，把点（0，3）代入y＝a（x﹣1）2+4，得a＝﹣1，故抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；（2）如图所示：（3）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，有最大值4，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2﹣1）2+4＝﹣5，当x＝3时，y＝﹣（3﹣1）2+4＝0，又对称轴为x＝1，∴当﹣2＜x＜3时，y的取值范围是﹣5＜y≤4．19．（5分）如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，射线AB绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；（2）若四边形AECF的面积为36，DE＝2，直接写出AE的长．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形得到 S四边形AFCE＝S正方形ABCD，然后利用正方形的面积公式可得AD，再根据勾股定理求得结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝36，∴AD＝6，∴AE．20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．（1）求证：∠DCE＝∠ABC；（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．【分析】（1）由直角所对圆周角为90°可知∠ECB+∠DCE＝90°，再由切线性质知∠OCB+∠ECB＝90°，根据同角的余角相等知∠DCE＝∠OCB，由OC＝OB可得∠ABC＝∠OCB，进而可证∠DCE＝∠ABC．（2）证明△AOD∽△ACB，再由相似的性质可知，求出AD，进而可求CD．【详解】（1）证明：如图，连接OC，∵CE与⊙O相切，∴OC⊥CE，∴∠OEC＝90°．即∠OCB+∠ECB＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠ECB+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠OCB．∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠DCE＝∠ABC．（2）解：∵OA＝3，∴AB＝2OA＝6，∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ACB，∴，即，解得AD＝9，∴CD＝AD﹣AC＝9﹣2＝7．21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CFAD；（2）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，可得当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，由旋转的性质可得△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，可得∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，由直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，DEAD，又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，∵点F是DE的中点，∴CFDEAD；（2）解：如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，∵BM＝CM，AB＝AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，∴BDPD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∴PD＝PD+AP，∴PDm，∴BDPDm，由（1）可知：CE＝BDm．22．（5分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，求∠DAC的度数．【分析】由旋转的性质得出∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，得∠ACE＝∠E＝60°，然后由三角形的外角性质即可求出∠DAC的度数．【详解】解：由旋转的性质得：∠D＝∠B＝40°，AE＝AC，∵∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝∠E＝60°，∵∠ACE是△ACD的外角，∴∠DAC＝∠ACE﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．故答案为：20°．23．（5分）已知关于x的方程与方程3x+5＝11的解互为相反数，求a的值．【分析】首先解得第二个方程的解x＝2，然后根据相反数的定义将x＝﹣2代入第一个方程来求a的值即可．【详解】解：3x+5＝11，∴3x＝11﹣5，∴3x＝6，解得：x＝2，∴x＝﹣2是方程的解，代入得：，∴2（﹣2+a）＝﹣12﹣3a，解得：．24．（6分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在弧BC上取点D，使∠DBC＝∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F．（1）求证：∠DBF＝2∠CAD；（2）连接OC，CD．探究：当∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，并且写出证明过程．【分析】（1）根据圆周角定理可知∠CAD＝∠CBD，要证明∠DBF＝2∠CAD，只要证明∠DBF＝2∠CBD即可，由∠DBC＝∠ABC，可知∠ABD＝2∠DBC，所以只要证明∠DBF＝∠ABD即可，然后切线的性质和题意，可以得到∠ODB＝∠DBF，再根据OD＝OB，即可得到∠ODB＝∠OBD，然后即可得到∠DBF＝∠ABD，从而可以证明结论成立；（2）先写出∠CAB等于多少度时，四边形COBD为菱形，然后根据∠CAB的度数和菱形的判定性质，可以证明四边形COBD为菱形．【详解】（1）证明：连接OD，∵DE为半圆O的切线，BF⊥DE，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∴OD∥BF，∴∠DBF＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠DBC＝∠ABC，∴∠OBD＝2∠CBD，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠DBF＝2∠CAD；（2）当∠CAB＝60°时，四边形COBD为菱形，证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°，∵∠DBC＝∠ABC，∴∠ABD＝2∠ABC＝60°，∴∠DAB＝30°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝30°，∴∠DCB＝∠ABC，∴CD∥AB，∵∠COA＝2∠ABC，∴∠COA＝∠ABD，∴OC∥BD，∴四边形COBD是平行四边形，又∵OC＝OB，∴四边形COBD是菱形．25．（5分）某专卖店销售一种葫芦挂件，进价为每件10元，并且每件的售价不低于进价，在销售过程中发现，每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数解析式；（2）物价部门规定，该葫芦挂件的利润不允许高于进价的80%，当每件的售价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）将点（12，140），（16，120）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得W＝（x﹣10）（﹣5x+200）＝﹣5（x﹣25）2+1125，再结合物价部门规定和二次函数极值，即可求解．【详解】解：（1）设y＝kx+b，把（12，140），（16，120）代入得：，解得，∴y与x之间的函数解析式为：y＝﹣5x+200（x≥10）；（2）设每天获得的利润为w元，根据题意，得：w＝（x﹣10）（﹣5x+200）＝﹣5（x﹣25）2+1125，∵物价部门规定售价不高于成本价的80%，∴10×（1+80%）＝18（元），∵﹣5＜0，∴当x＜25时，w随着x的增大而增大，∴当x＝18时，w最大，最大利润为w＝﹣5×（18﹣25）2+1125＝880（元），答：当每件的售价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润是880元．26．（6分）已知二次函数y＝（x）2﹣m2+m．（1）求二次函数图象与y轴的交点坐标；（2）若对称轴为直线x．①求m的值；②若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（5，y3）为该二次函数图象上的三个点，请比较y1，y2，y3的大小．【分析】（1）将x＝0代入解析式求解．（2）①由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x，进而求解．②根据抛物线开口方向及对称轴，结合A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．【详解】解：（1）将x＝0代入y＝（x）2﹣m2+m得y，∴二次函数图象与y轴交点坐标为（0，）．（2）①∵y＝（x）2﹣m2+m，∴抛物线对称轴为直线x，解得m＝﹣1．②∵抛物线开口向上，对称轴为直线x，∴点C（5，y3）关于对称轴对称点坐标为（﹣2，y3），∴y1＝y3，∵x时，y随x增大而减小，﹣2＜1，∴y1＝y3＞y2．27．（7分）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE垂线交DE于点P，已知 AE＝AP＝1，．（1）求证：△APD≌△AEB；（2）求正方形ABCD的面积．【分析】（1）根据∠BAD＝90°，AE⊥AP得∠PAD＝∠EAB，由此可依据“SAS”判定△APD和△AEB全等；（2）过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，依题意得△AEP为等腰直角三角形，则EP，∠APD＝135°，由△APD≌△AEB得∠APD＝∠AEB＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝90°，由勾股定理可得BE，证△BEF为等腰直角三角形，从而得BF＝EF，则AF＝AE+EF，然后在Rt△ABF中由勾股定理得AB2，据此可得正方形ABCD的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠PAD+∠PAB＝90°，∵AE⊥AP，∵∠PAB+∠EAB＝90°，∴∠PAD＝∠EAB，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；（2）解：过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，如图所示： ∵AE＝AP＝1，AE⊥AP，∴△AEP为等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP，∴∠APD＝180°﹣∠APE＝135°，∵△APD≌△AEB，∴∠APD＝∠AEB＝135°，∴∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，∴△BEP为直角三角形，∵EP，BP，由勾股定理得：BE，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°，∴△BEF为等腰直角三角形，即BF＝EF，由勾股定理得：BF2+EF2＝BE2，∴2BF2＝3，∴BF＝EF，∴AF＝AE+EF，在Rt△ABF中，AF，BF，由勾股定理得：AB2＝AF2+BF2，∴S正方形ABCD＝AB2．28．（7分）如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG．（1）若AE＝EG，求证：△ABE≌△GBE．（2）若AB＝2，tan∠EBF．①求DE的长．②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长．（3）连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED＝EG，求的值．【分析】（1）利用圆周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；（2）①利用切线的性质定理，矩形的性质和相似三角形的判定与性质，通过证明△ABE∽△DEF得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ．当GA＝GB时，利用全等三角形的判定与性质得到BE＝BC，设BC＝x，则AD＝BC＝x，则AE＝AD﹣DE＝x﹣1，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ．当GA＝AB＝2时，利用相似三角形的判定得到△BAE∽△BCF，进而得到，再利用（2）①的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；（3）利用全等三角形的判定定理证明得到Rt△EGF≌Rt△EDF和Rt△EAB≌Rt△EGB，得到AE＝EG＝DE，利用三角形的中位线得到DF＝FC＝FG，设DF＝FC＝FG＝a，则AB＝CD＝BG＝2a，则BF＝BG+GF＝3a，取BF的中点H，连接EH，利用梯形的中位线定理得到EF，最后利用相似三角形的判定定理得到△CFG∽△EHF，由相似三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）证明：∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BGE＝90°．在Rt△ABE和Rt△GBE中，，∴Rt△ABE和Rt△GBE（HL）；（2）解：①∵EF与⊙O相切，∴BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠AEB+∠DEF＝90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，∵∠BAE＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEF，∴．在Rt△BEF中，∵tan∠EBF，∴，∴DEAB2＝1；②若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，Ⅰ．当GA＝GB时，∵GA＝GB，∴∠GAB＝∠GBA，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠EAG＝∠FBC．∵∠EAG＝∠EBG，∴∠EBG＝∠FBC．在△BEF和△BCF中，，∴△BEF≌△BCF（AAS），∴BE＝BC．设BC＝x，则AD＝BC＝x，∴AE＝AD﹣DE＝x﹣1，∵AB2+AE2＝BE2，∴22+（x﹣1）2＝x2，解得：x，∴BC；Ⅱ．当GA＝AB＝2时，∵GA＝AB，∴∠ABG＝∠AGB．∵∠AEB＝∠AGB．∴∠AEB＝∠ABG．∵∠AEB+∠ABE＝90°，∠ABG+∠FBC＝90°，∴∠ABE＝∠FBC，∵∠BAE＝∠C＝90°，∴△BAE∽△BCF，∴．由（2）知：，∴，∴，∴BC．综上，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，满足条件的BC的长为或；（3）解：∵BE为圆的直径，∴∠EGF＝90°．在Rt△EGF和Rt△EDF中，，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴∠DEF＝∠GEF，DF＝FG．∵∠AEG+∠GEF＝90°，∠DEF+∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠GEB．在Rt△EAB和Rt△EGB中，，∴Rt△EAB≌Rt△EGB（AAS），∴AB＝BG，AE＝EG，∴AE＝EG＝DE，∴BE⊥AC．∵BE⊥EF，∴EF∥AC．∴EF为△DAC的中位线，∴DF＝FC，∴DF＝FC＝FG．设DF＝FC＝FG＝a，则AB＝CD＝BG＝2a，∴BF＝BG+GF＝3a．取BF的中点H，连接EH，如图，则EH为梯形ABFD的中位线，∴EFa．∵EF∥AC，∴∠FGC＝∠EFH．∵EH∥CD，∴∠CFG＝∠EHF，∴△CFG∽△EHF，∴．x…﹣10123…y…03430…