人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角导学案

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知识点1任意角
1.任意角
（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）角的表示
如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边．
“角”或“”可以简记成“”．
（3）角的分类
（4）相等角与相反角
①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为.
③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
④角的减法可以转化为角的加法．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏；
（2）与中间用“”连接，如可理解成．
重难点一 终边相同的角的表示
【例1】下列选项中两个角终边相同的一组为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】D
【详解】由，A错误；
，B错误；
，C错误；
由于，
所以和终边相同，D正确．
故选：D
【例2】若角与角的终边相同，则的终边在（ ）
A．轴的非负半轴上B．轴的非负半轴上
C．轴的非正半轴上D．轴的非正半轴上
【答案】A
【详解】由题意得，故，则的终边在轴的非负半轴上.
故选：A.
【变式1-1】下列各组角中两个角终边不相同的一组是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】D
【详解】A，，终边相同；B，，终边相同；
C，，终边相同；D，，终边不相同.
故选：D.
【变式1-2】若角与角的终边相同，角与角的终边相同，则与之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题意可知，，，
所以，，
记，故，.
故选：D
【变式1-3】用角度表示出第一、三象限的角平分线上角的集合为 .
【答案】
【详解】因为第一角平分线上的角的集合为，
第三象限的角平分线上的角的集合为，
所以第一、三象限的角平分线上角的集合为.
故答案为：.
重难点二 象限角和区域角的表示
【例3】若，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【详解】因为，所以与的终边相同，易知的终边在第三象限．
故选：C．
【例4】如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】∵α为第三象限角，∴，
∴，
令，，时，，，
可得的终边在第一象限；
令，时，，，
可得的终边在第三象限，
令，时，，，
∴可得的终边在第四象限，
故选:B．
【变式2-1】（多选）已知是锐角，则（ ）
A．是第三象限角B．是小于的正角
C．是第一或第二象限角D．是锐角
【答案】ABD
【详解】由题知，
因为是锐角，所以，
对于A：所以，故A选项正确；
对于BC：，故B选项正确，C选项错误；
对于D：，故D选项正确；
故选：ABD.
【变式2-2】（多选）设为第二象限角，则可能是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】CD
【详解】为第二象限角，故，
所以，
所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴.
故选：CD
【变式2-3】写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合．
【答案】
【详解】依题意，角的集合为
，
所以所求的集合为.
知识点2弧度制
1．角的单位制
（1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
2．角度与弧度的换算
3．扇形的弧长公式及面积公式
温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制．
（2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①
重难点三 角度与弧度的换算
【例5】将化为弧度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】．
故选：A
【例6】用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用，
故与角的终边相同的角的集合为.
故选：D
【变式3-1】（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
【变式3-2】已知角，角，角，则角，角，角间的大小关系为 ．
【答案】
【详解】因为，
所以．
故答案为：
【变式3-3】若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】阴影部分的两条边界分别是，角的终边，
所以的取值范围是.
故选：D
重难点四 角终边的对称问题或垂直问题
【例7】的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ．
【答案】
【详解】解：的终边与的终边关于直线对称，
所以的终边与角的终边相同，
所以的取值集合为
故答案为：
【例8】“角a与β的终边关于直线对称”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】角与的终边关于直线对称,则,
.
反之，当时，则，从而角a与β的终边不一定关于直线对称.
故“角与的终边关于直线对称”是“”的充分不必要条件.
故选：C
【变式4-1】（多选）若且与角的终边垂直，则是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【详解】由题意，易知，，
∵与角的终边垂直，
∴，即，或，，
对于选项A：，，故A正确；
对于选项B：，可知，；
，可知，，故B错；
对于选项C： ，可知，；
，可知，，故C错；
对于选项D：，可知，，故D正确.
故选：AD.
【变式4-2】已知角的终边关于直线对称，且，则 .
【答案】
【详解】因为与的终边关于直线对称，所以的终边与角的终边相同，所以.
故答案为：.
【变式4-3】已知集合，，.
（1）若，且角与的终边垂直，求；
（2）求.
【答案】（1）或或或0或；（2）.
【详解】解：（1）由与终边垂直，
可得，或，
即，或，．
①由，得，
，
或．
②由，得，
，
或0．
所有的为：或或或0或；
（2），，
当时，，
当时，，
当时，，
又．
,,,．
重难点五 弧长公式及面积公式
【例9】已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【详解】由扇形的周长为，设扇形半径为，弧长为，
可得，即，
又，
因此当半径时，扇形的面积最大为，
此时，，
故选：D.
【例10】如图所示的几何图形，设弧AD的长度是，弧BC的长度是，扇环ABCD的面积为，扇形BOC的面积为．若，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【详解】设扇环所对的圆心角为，可得，
因为，所以，又因为，，
所以，所以，即．
故选：D．
【变式5-1】若扇形的面积为1，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】A
【详解】设扇形面积为S，半径为r，对应弧度为，弧长为.
由题可得：.
故选：A
【变式5-2】砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．图（2）是根据一个砖雕（如图（1））所作的扇环形，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若，，分别在OA，OB上，，的长度，则该扇环形砖雕的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以，所以,
由扇形面积公式可得扇环形砖雕的面积为：
，
故选：A
【变式5-3】已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为 .
【答案】/
【详解】由题意，圆心角，弧长，
由弧长公式得，扇形的半径，
则扇形面积，
故答案为：.
重难点六 与弧度有关的实际应用
【例11】挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【详解】从凌晨0时起到下午14点，共14个小时，分针转了14圈，时针转了1圈再多2个小时，
根据题目要求，0时开始的那次重合不计算在内，
因此从1时开始，每个小时分针与时针会重合1次，
所以一共会重合13次.
故选：C.
【例12】已知一个直径为30厘米的轮子，每秒旋转25弧度，则轮周上一点在半分钟内所经过的弧长为 厘米．
【答案】
【详解】
故答案为：.
【变式6-1】已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（ ）cm.
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动周，
当大轮的转速为180时，小轮转速为，
小轮周上一点每1s转过的弧度数为：.
又小轮的半径为10cm，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：.
故选：B
【变式6-2】某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为，
因此小轮每秒钟转的弧度数为，
所以小轮每秒转过的弧长是.
故选：C
【变式6-3】若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为 ；若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为 .
【答案】
【详解】若将时钟拨快30min，则分针转过的角度为，
若时钟从3时走到8时，则时针转过的角度为.
故答案为：；.
一、单选题
1．设集合，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】表示终边落在轴非正半轴上角的集合，表示终边落在轴上角的集合，
表示终边落在轴上角的集合，故.
故选：A.
2．已知角和角，则下列说法正确的是（ ）
A．若角是第一象限角，则角是锐角
B．若角和角的终边相同，则
C．若角和角分别角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则
D．若角的终边在第二象限，则角是钝角
【答案】C
【详解】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误；
B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误；
C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确；
D，角的始边和终边都在第二象限，则角有可能是锐角，D错误.
故选：C.
3．角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【详解】因为，可知的终边与的终边相同，
且为第三象限角，所以角是第三象限角.
故选：C.
4．集合中角所表示的范围（阴影部分）是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当时，，
此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，
此时表示的范围与表示的范围一样.
故选：C．
5．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当是第四象限角时，，则，即是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．
故选：A
6．莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（ ）

A．B．C．6D．
【答案】A
【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是，
则．，弓形的周长为．
故选：A
二、多选题
7．下列说法中正确的是（ ）
A．
B．第一象限角都是锐角
C．一个扇形半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积不变
D．终边在直线上的角的集合是
【答案】AD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，是第一象限角，但不是锐角，故B错误；
对于C，设扇形半径为，圆心角为，则面积为，
若半径扩大一倍，圆心角减小一半，则面积，故C错误；
对于D，终边在直线上的角的集合是，故D正确.
故选：AD.
8．下列说法正确的是（ ）
A．与的终边相同
B．若为第二象限角，则为第一象限角
C．终边经过点的角的集合是
D．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以与的终边相同，正确；
对于B，取，则为第二象限角，但为第三象限角，错误；
对于C，终边经过点的角的集合是，正确；
对于D，设扇形的半径为，则，可得，
因此，该扇形的面积为，正确.
故选：ACD
三、填空题
9．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 ．
【答案】
【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为.
故答案为：
10．设，那么的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题设，则.
故答案为：
11．已知角，都是锐角，且角的终边与角的终边相同，角的终边与角的终边相同，则 ， ．
【答案】
【详解】因为角，都是锐角，所以，，
则，，
由题意可知，，，
，，
则，，
解得，.
故答案为：；.
四、解答题
12．已知角.
(1)求在范围内与角终边相同的角；
(2)若角与角终边相同，判断角是第几象限角.
【答案】(1)
(2)第一象限角或第三象限角
【详解】（1）与角终边相同的角的集合为，
令，
则，又，所以，
故与角终边相同的角是.
（2）易知，则，
为偶数时，是第一象限角；
为奇数时，是第三象限角，
故是第一象限角或第三象限角.
13．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合．
【答案】
【详解】终边落在射线OA上的角为，，即，，
终边落在射线OB上的角为，，即，，
故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为．
14．某时钟的分针长，时间从12：00到12：25，求：
(1)分针转过的角的弧度数；
(2)分针扫过的扇形面积；
(3)分针尖端所走过的弧长（取3.14，计算结果精确到0.01）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）时钟的分针从12：00到12：25，分针转过的角的弧度是；
（2）分针扫过的扇形面积；
（3）分针尖端所走过的弧长是.
15．中午12点以后，在什么时候（近似到几点几分几秒）时针与分针第一次重合？什么时候（近似到几点几分几秒）分针第一次在时针的反向延长线上？
【答案】在13时5分27秒时时针与分针第一次重合；在12时32分43秒时分针第一次在时针的反向延长线上．
【详解】①设经过x min后，分针与时针第一次重合，因分针每60min转一圈（即360°），
故x min共转过，时针每60min转圈（即30°），
故x min共转过．
又第一次重合时，分针应比时针多转一圈，故有，解得，
所以在13时5分27秒时时针与分针第一次重合；
②设经过y min后，分针第一次在时针的反向延长线上，
则分针第一次在时针的反向延长线上时，分针比时针多转180°，
故有，解得，
所以在12时32分43秒时分针第一次在时针的反向延长线上．
16．如图，圆心在原点、半径为R的圆交x轴正半轴于点A，P，Q是圆周上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周匀速运动.点P按逆时针方向每秒转，点Q按顺时针方向每秒转，求它们出发后第五次相遇时的位置及各自走过的弧长.

【答案】第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点，这时动点P，Q走过的弧长分别为，.
【详解】设点P，Q从点A出发到第五次相遇经过的时间为t秒，走过的弧长分别为，，
则，.
因为，即，
所以，从而，.
由此可知，动点P转过的角度为，
故第五次相遇时的位置在点M处，M为角的终边与圆的交点，
这时动点P，Q走过的弧长分别为，.
一、终边相同的角的表示
四、角终边的对称问题或垂直问题
二、象限角和区域角的表示
五、弧长公式及面积公式
三、角度与弧度的换算
六、与弧度有关的实际应用
类型
定义
图示
正角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角
如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角
角度化弧度
弧度化角度
度数弧度数
弧度数度数
弧长公式
面积公式
角度制
弧度制