数学必修 第一册5.3 诱导公式导学案

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知识点1三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角．
（2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定．
2．三角函数值的符号
如图所示：

正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
3.诱导公式一
其中.
重难点一 三角函数的定义
【例1】在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意，，为坐标原点，
则，，，
又，则，
故选：C
【例2】在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，，解得，
所以，
故选：D
【变式1-1】(多选)已知函数 （且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【详解】因为函数的图象经过定点，
所以或，
当点在角的终边上时，，，
此时，B正确；
当点在角的终边上时，，，
此时，D正确；
故选：BD
【变式1-2】已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【详解】由题知，
设角的终边上一点，则.
当时，，，，
所以；
当时，，，，
所以.
故选：C.
【变式1-3】（多选）若角的终边经过点，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】，则．
故选:
重难点二 三角函数值在各象限的符号
【例3】已知点在第二象限，则角的终边位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】因点在第二象限，故，
即角为第四象限角.
故选：D.
【例4】角的终边在第一象限，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为角的终边在第一象限，所以，
所以，所以为第一象限角或第三象限角，
当为第一象限角时，，故；
当为第三象限角时，，故.
所以的取值集合为.
故选：A.
【变式2-1】(多选)若角是第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】若角是第二象限角，则，，
则，，故A、C、D正确，B错误.
故选：ACD.
【变式2-2】若是钝角三角形，则 0．
【答案】
【详解】由题得中有一个角为钝角，其余弦值与正切值均为负数，则中有一个小于0，其余两个大于0，所以.
故答案为：.
【变式2-3】若角的终边落在直线上，则 .
【答案】0
【详解】由题意得角的终边位于第二或第四象限.
当角的终边位于第二象限时，；
当角的终边位于第四象限时，.
所以.
故答案为：0
重难点三 诱导公式一的应用
【例5】下列三角函数值的符号为负的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为角是第二象限角，所以，A错误；
因为角的终边，在轴正半轴上，所以，B错误；
因为角是第二象限角，所以，C正确；
因为，所以角的终边在第一象限，所以，D错误．
故选：C.
【例6】的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B.
【变式3-1】 ．
【答案】
【详解】
.
故答案为：
【变式3-2】已知角满足，则位于第 象限．
【答案】二
【详解】因为，
所以，故位于第二象限．
故答案为：二.
【变式3-3】已知角的终边上一点，求，，，．
【答案】，，，
【详解】由角的终边上一点，
得，
，
，
.
知识点2同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:.
（2）商数关系:.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.
温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立.
（3）是的简写,读作“的平方”,不能将写成,前者是的正弦的平方,后者是的正弦.
（4）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的,对一切恒成立,而仅对成立.
重难点四 同角三角函数的基本关系
【例7】已知，且是第三象限角，求的值.
【答案】，
【详解】因为，且是第三象限角，
所以，
故.
【例8】是三角形的一个内角，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由解得或（舍去，是三角形的一个内角）．
故．
故选：A．
若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 .
【答案】/
【详解】利用方程的根与系数关系可得，
又，即，
解得或，
当时，，不合题意；
当时，原方程的根为，在区间内，符合题意；
故答案为：
【变式4-2】已知，则 . .
【答案】 /
【详解】因为，所以
故答案为：；
【变式4-3】已知角为第一象限角或第三象限角，且为函数的零点，求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）令，即，解得或，
又由题意可得，则.
原式；
（2）原式；
（3）原式.
重难点五 三角函数式的化简求值
【例9】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，则，
故原式，
故选：D．
【例10】若实数，且，满足方程组，则 ， .（写出一组值即可）
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
得，，根据辅助角公式得，
或
即，或
，此时，
，又因为所以可取 .
故答案为：，.
【变式5-1】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】易知，
故.
故选：B
【变式5-2】已知是第一象限角，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以.
又是第一象限角，故原式.
故选：A
【变式5-3】化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式=．
（2）原式
．
知识点3三角函数的诱导公式
重难点六 三角函数的诱导公式
【例11】的值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】.
故选：.
【例12】先化简，再求 的值
【答案】；1.
【详解】因为
，
所以.
【变式6-1】若角是第三象限角，角的终边经过点，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【详解】由题知
，
，故为第二象限角．
故选：B
【变式6-2】设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
，，故．
故选：B
【变式6-3】设是函数的零点，则的值为 .
【答案】/-0.75
【详解】解：因为，
令，则，
所以，
即，
又因为
所以，
所以，
所以.
故答案为：
重难点七 利用互补互余关系求值
【例13】设，．若关于的等式恒成立，则满足条件的有序实数对的对数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】因为对于任意实数都有，
则函数的周期相同，，
若，此时，
因为，此时.
若，则方程,
因为，则，
综上满足条件的有序实数组为，共有2组.
故选：B.
【例14】已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，
故选：B．
【变式7-1】已知，则的值为 .
【答案】
【详解】因为，所以.
故答案为：.
【变式7-2】若，则 ．
【答案】
【详解】因为.
故答案为：
【变式7-3】 .
【答案】
【详解】
.
故答案为：.
重难点八 三角恒等式的证明
【例15】已知，求证：.
【答案】证明见解析.
【详解】由，得（），则（），
因此
，
所以原等式成立.
【例16】证明：，．
【答案】证明见解析
【详解】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
【变式8-1】（1）化简：.
（2）求证：.
【答案】（1）2；（2）证明见解析
【详解】（1）原式
.
（2）左边
右边.
所以原等式成立.
【变式8-2】求证:.
【答案】证明见解析
【详解】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=
=
=右边.
【变式8-3】证明：
(1).
(2)已知，，求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：因为
，
因此，.
（2）证明：因为，，则，，
所以，.
故结论得证.
一、单选题
1．若角的终边过点， 则 的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】∵角的终边过点，
∴，
∴.
故选：C.
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以原式．
故选：A．
4．定义运算：．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，，则，
故.
故选：D．
5．设函数的最大值为a，最小值为b，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【详解】∵，
设，则，即，所以为奇函数，
由于奇函数的图象关于原点对称，
∴，
从而，
故选：D.
6．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．6B．10C．12D．16
【答案】D
【详解】因为，所以.
由，得.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以实数的最小值为16.
故选：D.
二、多选题
7．设是的一个内角，则下列点可能位于第二象限的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】由题得，，
所以，BC错误；
当时，，AD正确．
故选：AD.
8．在中，下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，因为，
故不一定等于1，D错误.
故选：AC
三、填空题
9．给出下列四个结论，其中正确的是 ．
①； ②；
③； ④．
【答案】①③
【详解】对于①，，
，
，故①正确；
对于②，，
，
，故②错误；
对于③，，
，，故③正确；
对于④，，
，
，故④错误．
综上，正确的有①③.
故答案为：①③.
10．若为第一象限角，则 ．
【答案】/
【详解】解：因为为第一象限角，，
所以，
则．
故答案为：．
四、解答题
11．已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求．
【答案】
【详解】由于为第二象限的角，则，
根据三角函数的定义，，解得，
则
12．已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
（2）因为，所以，
又因为，所以，
所以；
（3）由，解得，
所以.
13．已知函数，其中为第三象限角，且
(1)求的值：
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
又为第三象限角，，所以，
所以.
（2）
.
14．求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
15．已知函数
(1)化简；
(2)若，求､的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）
（2）因为，所以为第三象限角或第四象限角.
当为第三象限角时，；
当为第四象限角时，.
（3）因为，所以.
因为，所以.
故.
因此.
一、三角函数的定义
五、三角函数式的化简求值
二、三角函数值在各象限的符号
六、三角函数的诱导公式
三、诱导公式一的应用
七、利用互补互余关系求值
四、同角三角函数的基本关系
八、三角恒等式的证明
前提
如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点
定义
正弦
点的纵坐标叫做的正弦，记作，即
余弦
点的横坐标叫做的正弦，记作，即
正切
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为
正弦函数；余弦函数
正切函数
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
奇变偶不变，符号看象限