2025年中考数学复习第02讲 整式与因式分解（讲义，2考点+2命题点14种题型（含7种解题技巧）)

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TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc182328629" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc182328630" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc182328631" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc182328632" 考点一 代数式
\l "_Tc182328633" 考点二 整式的相关概念
\l "_Tc182328634" 考点三 整式的运算
\l "_Tc182328635" 考点四 因式分解
0 \l "_Tc182328636" 4题型精研·考向洞悉
\l "_Tc182328637" 命题点一 整式及其相关计算
\l "_Tc182328638" 题型01 实际问题中的代数式
\l "_Tc182328639" 题型02 求代数式的值.
\l "_Tc182328640" 题型03 整式的加减
\l "_Tc182328641" 题型04 幂的混合运算
\l "_Tc182328642" 题型05 整式的乘除
\l "_Tc182328643" 题型06 乘法公式的应用
\l "_Tc182328644" 题型07 整式的化简求值
\l "_Tc182328645" 题型08 整式的混合运算
\l "_Tc182328646" 题型09 判断因式分解的正误
\l "_Tc182328647" 题型10 因式分解
\l "_Tc182328648" 题型11 因式分解的应用
\l "_Tc182328649" 命题点二 规律探索及新定义问题
\l "_Tc182328650" 题型01 图形类规律探索
\l "_Tc182328651" 题型02 数字类规律探索
\l "_Tc182328652" 题型03 数式中的新定义问题
01考情透视·目标
02知识导图·思
03考点突破·考
考点一 代数式
1. 列代数式
定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.
代数式的书写要求：
1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.
2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.
3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.
4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.
2. 代数式的值
定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.
求代数式的值的步骤：
1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；
2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.
1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式−3x的意义表述正确的是（ ）
A．−3与x的和B．−3与x的差C．−3与x的积D．−3与x的商
2．（2024·广东广州·中考真题）若a2−2a−5=0，则2a2−4a+1= ．
3．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3．当R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2时，U的值为 ．

5．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H= ．
①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．
考点二 整式的相关概念
1. 单项式
单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.
例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14.
2. 多项式
多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.
升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
3. 整式
定义：单项式与多项式统称为整式.
1．（2024·江西·中考真题）观察a，a2，a3，a4，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
2．（2024·吉林长春·中考真题）单项式−2a2b的次数是 ．
3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90B．91C．92D．93
4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的数字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若am,n=2024，则m= ，n= ．
5．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
−2，4，−8，16，−32，64，……①
0，7，−4，21，−26，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．
QUOTE QUOTE 考点三 整式的运算
1. 同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可.
2. 合并同类项
定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）
3. 去括号与添括号
添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.
【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
4. 整式的加减
运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；
5. 幂的运算
幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式.
1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数）
2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数）
注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”．
3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数）
4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数）
5）零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）.
6. 整式的乘除
1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即.
实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式.
3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.
【易错易混】
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
5）多项式除以单项式
运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.
7. 乘法公式
1）平方差公式
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：
特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
2）平方差公式的推导
①用多项式的乘法推导平方差公式
②通过面积法推导平方差公式：
如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到.
【补充】常见验证平方差公式的几何图形
3）完全平方公式
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即.
特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.
完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：
① ②
③ ④ ⑤
4）完全平方公式的推导
①用多项式的乘法推导完全平方公式：
②通过面积法推导完全平方公式：
①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到；
②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到.
8. 整式的混合运算
定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算.
运算顺序: 先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.
1．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．2x2y−3xy2=−x2yB．4x8y2÷2x2y2=2x4
C．x−y−x−y=x2−y2D．x2y32=x4y6
2．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋅⋅⋅+2a8个2a相加=2b×2b×⋅⋅⋅×2b8个2b相乘，则a与b的关系正确的是（ ）
A．a+3=8bB．3a=8bC．a+3=b8D．3a=8+b
3．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上y2+3xy−4，结果是3xy+2y2−5，则这个多项式为 ．
4．（2023·江苏南京·中考真题）计算23×44×185的结果是 ．
5．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b，其中a=2，b=−1．
考点四 因式分解
1. 因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【补充说明】
1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.
2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
2. 公因式
定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.
注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
3. 提公因式法分解因式
定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.
实质：乘法分配律的逆用.
关键：准确找出多项式各项的公因式.
4. 公因式法分解因式
定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.
逆用平方差法分解因式：
逆用完全平方公式分解因式：
5. 因式分解的一般步骤：
1．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2−a=ax2−1B．m3+m=mm2+1
C．x2+2x−3=xx+2−3D．x2+2x−3=x−3x+1
2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则(2k+3)2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是 ．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解3ax2−6axy+3ay2= ．
20．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
5．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c−10|+b−8=12a−36，则sinB的值为 ．
4题型精研·考
命题点一 整式及其相关计算
题型01 实际问题中的代数式.
代数式的书写要求：
1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.
2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.
3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.
4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.
1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元B．10(100−x)元C．8(100−x)元D．(100−8x)元
2．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的代数式表示）．
3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ；
（2）设甲盒中都是黑子，共m(m>2)个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出a(1b，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．
命题点二 规律探索及新定义问题
题型01 图形类规律探索
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
2．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，那么1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a19的值为（ ）

A．2021B．6184C．589840D．431760
3．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“”的个数为 ；
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×52，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．
题型02 数字类规律探索
1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（ ）
A．48、58、68B．58、78、98C．76、156、316D．78、158、318
2．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数2,2,6,22,10,23,⋯,2n,⋯，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A．72B．82C．58D．47
3．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为 ．
QUOTE 题型03 数式中的新定义问题
解题方法：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.
1．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000D．运算结果可以表示为4100a+1025
2．（2023·重庆·中考真题）在多项式x−y−z−m−n（其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，x−y−z−m−n=x−y−z−m+n，…．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．
其中正确的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
3．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※−2=1，则−3※3的值是 ．
4．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数A能写成m2−n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2−n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602=252−23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602=252−23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A=m2−n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n=k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 ．
5．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：
YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；
JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103=1000，所以我估计2200比1060大．
其中对2200的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
中考考点
考查频率
新课标要求
列代数式
★
能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示
代数式求值
★★
将具体数代入代数式进行计算
整式的加减
★★
1. 了解整数指数罪的意义和基本性质；
2. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；
3. 能进行简单的整式加减乘除运算；
4. 理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；
5.灵活运用多种方法化简代数式.
幂的运算
★★
整式的乘除
★★
整式的混合运算
★★★
因式分解
★★★
能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).
【考情分析】本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，试题形式多样，难度不大，乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底.
日
一
二
三
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六
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单项式×单项式
例：
系数相乘，字母相乘
单项式×多项式
例：
利用乘法分配律，化为单项式×单项式
多项式×多项式
例：
1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定.
2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项.
单项式÷单项式
例：
运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号.
多项式÷单项式
例：
1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项；
2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化.