2025年中考复习数学第06讲 分式方程及应用（讲义，2考点+3命题点11种题型（含2种解题技巧）)

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（思维导图+2考点+3命题点11种题型（含2种解题技巧））
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc184888628" 01考情透视·目标导航
\l "_Tc184888629" 02知识导图·思维引航
\l "_Tc184888630" 03考点突破·考法探究
\l "_Tc184888631" 考点一 分式方程及其解法
\l "_Tc184888632" 考点二 分式方程的实际应用
\l "_Tc184888633" 04题型精研·考向洞悉
\l "_Tc184888634" 命题点一 解分式方程
\l "_Tc184888635" ►题型01 解分式方程
\l "_Tc184888636" ►题型02以注重过程性学习的形式考查解分式方程
\l "_Tc184888637" ►题型03 与解分式方程有关的新定义问题
\l "_Tc184888638" 命题点二 分式方程含参问题
\l "_Tc184888639" ►题型01 由分式方程的解求参数
\l "_Tc184888640" ►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数
\l "_Tc184888641" ►题型03 由分式方程解的取值范围求参数
\l "_Tc184888642" 命题点三 分式方程与实际应用
\l "_Tc184888643" ►题型01 列分式方程
\l "_Tc184888644" ►题型02 利用分式方程解决实际问题
\l "_Tc184888645" ►题型03 分式方程的应用与函数的综合运用
\l "_Tc184888646" ►题型04 以真实问题情境为背景考查分式方程的实际应用
\l "_Tc184888647" ►题型05以数学文化为背景考查分式方程的实际应用
01考情透视·目标导航
002知识导图·思维引航

0 \l "_Tc184196524" 03考点突破·考法探究
考点一 分式方程及其解法
一、分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
二、分式方程的解法
解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程.
解分式方程的一般步骤：
1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根．
3）解这个整式方程，求出整式方程的解；
4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
【注意事项】
1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
1．（2024·江苏徐州·中考真题）分式方程3x+1=32x的解为 ．
【答案】x=1
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得：6x=3x+1，即6x=3x+3
解得：x=1，
检验：当x=1时，2xx+1≠0，
故原方程的解为x=1，
故答案为：x=1．
2．（2024·陕西·中考真题）解方程：2x2−1+xx−1=1．
【答案】x=−3
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：2x2−1+xx−1=1，
去分母得：2+xx+1=x2−1，
去括号得：2+x2+x=x2−1，
移项，合并同类项得：x=−3，
检验：把x=−3代入x+1x−1得：−3+1−3−1=8≠0，
∴x=−3是原方程的解．
3．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程1x−2−3=22−x的解是（ ）
A．x=−73B．x=−1C．x=53D．x=3
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解：1x−2−3=22−x，
1x−2−3=−2x−2，
1−3x−2=−2，
1−3x+6=−2，
−3x=−9，
x=3，
经检验x=3是该方程的解，
故选：D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于x的分式方程1x−mx+1=0的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m3，
故答案为：a>3．
命题点二 分式方程含参问题
►题型01 由分式方程的解求参数
1．（2023·山东淄博·中考真题）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3的解，那么实数m的值为（ ）
A．−2B．2C．−4D．4
【答案】B
【分析】将x=1代入方程，即可求解．
【详解】解：将x=1代入方程，得m2−1−11−2=3
解得：m=2
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．
2．（2024·江苏盐城·三模）已知关于x的方程ax+1=1的解是x=2，求关于y的不等式(a−5)y3
【分析】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，把x=2代入已知的分式方程，可以求得a的值；然后解关于y的不等式即可．
【详解】解：根据题意可得：把x=2代入ax+1=1，
∴a2+1=1
解得a=3，
∴(3−5)y3．
∴不等式的解集y>3．
►题型02 由分式方程有解、无解或有增根求参数
解题思路：
1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.
2）分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根.
3）分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；
③特殊解大于0或小于0
4）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根.
1．（2021·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程m+x2−x−3＝0有解，则实数m应满足的条件是（ ）
A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＝2D．m≠2
【答案】B
【分析】解分式方程得：m+x=6−3x即4x=6−m，由题意可知x≠2，即可得到6−m≠8.
【详解】解：m+x2−x−3=0
方程两边同时乘以2−x得：m+x−6+3x=0，
∴4x=m−6，
∵分式方程有解，
∴2−x≠0，
∴x≠2，
∴6−m≠8，
∴m≠−2，
故选B.
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.
2．（2024·四川绵阳·二模）若关于x的分式方程m3−x=1有解，且关于y的方程y2−2y+m=0有实数根，则m的范围是 ．
【答案】m≤1且m≠0
【分析】本题考查了分式方程的解有意义的概念，一元二次方程实数根的判断，掌握求解的方法是解题的关键．
根据分式有意义的情况得到x≠3，化简分式后代入即可得到m的取值，再根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：m3−x=1，化简得：x=3−m，
∵3−x≠0，即x≠3，
∴3−m≠3，解得：m≠0，
∵y2−2y+m=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=−22−4×1×m≥0，
解得：m≤1，
∴综上m≤1且m≠0，
故答案为：m≤1且m≠0．
3．（2024·四川达州·中考真题）若关于x的方程3x−2−kx−1x−2=1无解，则k的值为 ．
【答案】−1或2
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到x=6k+1，再根据分式方程无解得到k+1=0或6k+1=2，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：3x−2−kx−1x−2=1
去分母得：3−kx+1=x−2，
解得：x=6k+1，
∵关于x的方程3x−2−kx−1x−2=1无解，
∴当k+1=0或6k+1=2时，分式方程无解，
解得：k=−1或k=2（经检验是原方程的解），
即k=−1或k=2，3x−2−kx−1x−2=1无解．
故答案为：−1或2．
4．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程1x−4−m4−x=1（m为常数）有增根，则增根是 ．
【答案】x=4
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程1x−4−m4−x=1（m为常数）有增根，
∴x−4=0，
解得x=4，
故答案为：x=4．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
5．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程x+mx−2+12−x=3有增根，则m= ．
【答案】−1
【分析】等式两边同时乘以公因式x−2，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出m．
【详解】x+mx−2+12−x=3，
解：方程两边同时乘以x−2，得x+m+−1=3x−2，
∴m=2x−5，
∵原方程有增根，
∴x−2=0，
∴x=2，
∴m=2x−5=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
6．（2023·浙江·模拟预测）已知关于x的方程2kx+3x−1−7x2−x=4kx的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
【答案】k=0,x=73 或k=94，x=23；k=−14或x=4或k=2，x=14或k=74，x=87
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k=0，为一元二次方程，即k≠0，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为Δ=0 (方程有等根，满足方程恰好有一个实数解)，若Δ>0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【详解】解：两边同乘x2−x,得2kx2+3−4kx+4k−7=0，
若k=0，3x−7=0，x=73，
若k≠0，由题意，知Δ=3−4k2−8k4k−7=0，
解得k1=94，k2=−14，
当k1=94时，x1=x2=23，当k2=−14时，x1=x2=4，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当x1=1时，k=2，x2=14，
当x1=0时，k=74，x2=87．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．
7．（2024西昌市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x−2+3=12−x．
(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】(1)x=0
(2)−1
【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答．
【详解】（1）解：依题意，5x−2+3=12−x
方程两边同时乘以x−2得
5+3x−2=−1
解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解；
（2）解：设？为m，
方程两边同时乘以x−2得
m+3x−2=−1
∵x=2是原分式方程的增根，
∴把x=2代入上面的等式得
m+3×2−2=−1
m=−1
∴，原分式方程中“？”代表的数是−1．
QUOTE ►题型03 由分式方程解的取值范围求参数
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程xx−1=3−mx1−x的解为正整数，则整数m的值为 ．
【答案】−1
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可．
【详解】解：xx−1=3−mx1−x，
化简得：xx−1=3+mxx−1，
去分母得：x=3x−1+mx，
移项合并得：2+mx=3，
解得：x=32+m，
由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m=1或2+m=3，
解得：m=−1或m=1（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：−1．
2．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的方程x+mx−2−1=x−12−x的解为非负数，则m的取值范围是 ．
【答案】m≤−1且m≠−3
【分析】解分式方程，可用m表示x，再根据题意得到关于m的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解x+mx−2−1=x−12−x，可得x=−m−1，
∵x的方程x+mx−2−1=x−12−x的解为非负数，
∴−m−1≥0，
解得m≤−1，
∵x−2≠0，
∴−m−1−2≠0，
即m≠−3，
∴m的取值范围是m≤−1且m≠−3，
故答案为：m≤−1且m≠−3．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知关于x的方程xx−3=2−m3−x有一个正数解，则m的取值范围 ．
【答案】m0，且6−m≠3，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：xx−3=2−m3−x，
x=2x−6+m，
解得，x=6−m，
∵关于x的方程xx−3=2−m3−x有一个正数解，
∴6−m>0，且6−m≠3，
解得，m