2025年中考复习数学第05讲 一次方程（组）及其应用（练习，19题型模拟练+重难练+真题练）

这是一份2025年中考复习数学第05讲 一次方程（组）及其应用（练习，19题型模拟练+重难练+真题练），文件包含第05讲一次方程组及其应用练习原卷版docx、第05讲一次方程组及其应用练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共87页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc184387154"
\l "_Tc184387155" ?题型01 等式的性质
\l "_Tc184387156" ?题型02 一元一次方程的相关概念
\l "_Tc184387157" ?题型03 二元一次方程的相关概念
\l "_Tc184387158" ?题型04 二元一次方程组的相关概念
\l "_Tc184387159" ?题型05 已知二元一次方程组的解求参数
\l "_Tc184387160" ?题型06 解一次方程（组）
\l "_Tc184387161" ?题型07 一元一次方程解的综合应用
\l "_Tc184387162" ?题型08 与一次方程（组）有关的污染问题
\l "_Tc184387163" ?题型09 与一元一次方程有关的新定义问题
\l "_Tc184387164" ?题型10 解二元一次方程组--特殊解法
\l "_Tc184387165" ?题型11 解二元一次方程组--错解复原问题
\l "_Tc184387166" ?题型12 解二元一次方程组--同解方程组
\l "_Tc184387167" ?题型13 解二元一次方程组—拓展
\l "_Tc184387168" ?题型14 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程组
\l "_Tc184387169" ?题型15 列方程（组）
\l "_Tc184387170" ?题型16 一元一次方程的应用
\l "_Tc184387171" ?题型17 二元一次方程组的应用
\l "_Tc184387172" ?题型18 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
\l "_Tc184387173" ?题型19 洛书
\l "_Tc184387174"
\l "_Tc184387175"
?题型01 等式的性质
1．（2024·吉林长春·一模）已知a=b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a+2=b+2B．ac=bc
C．a−1>b−2D．a2>b3
【答案】D
【分析】本题考查了等式和不等式性质，根据等式性质逐项判断即可．
【详解】解：A、a=b，a+2=b+2成立，不符合题意；
B、a=b，ac=bc成立，不符合题意；
C、a=b，a−1>b−2成立，不符合题意；
D、当a=b=0时，a2=b3=0，故式子不一定成立，符合题意，
故选：D．
2．（2024·河北邯郸·三模）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （ ）
A．△最重B．◯最重C．□最重D．无法比较
【答案】C
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据两个托盘的质量相等列出方程组是解题的关键．设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z，通过理解题意，可知本题的等量关系为x=2y3y=2z．即x=2yz=32y，根据等量关系求解即可．
【详解】解：设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z，
根据题意可得，
x=2y3y=2z
解得x=2yz=32y，
∴x>z>y
即“□”最重，
故选：C．
3．（2024·安徽亳州·三模）设a,b,c为互不相等的实数，且a=37b+17c，则下列结论正确的是（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．a−b=6b−cD．a−c=3b−2a
【答案】D
【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质得到7a=3b+c，则a−c=3b−6a，据此可判断D；例如当a=2，b=3，c=5时，满足7a=3b+c，据此可判断A、C；例如当a=−1，b=2，c=−13，满足7a=3b+c，据此可判断B．
【详解】解：∵a=37b+17c，
∴7a=3b+c，
∴a−c=3b−6a，即a−c=3b−2a，故D结论正确，符合题意；
例如当a=2，b=3，c=5时，满足7a=3b+c，故A结论错误，不符合题意；
∴此时a−b=−1，6b−c=−12，故C结论错误，不符合题意；
例如当a=−1，b=2，c=−13，满足7a=3b+c，故B结论错误，不符合题意；
故选：D．
4．（2023·内蒙古包头·二模）设x、y、c是实数，正确的是（ ）
A．若x=y，则x+c=c−yB．若x=y，则c−x=c−y
C．若x=y，则xc=ycD．若x2c=y3c，则2x=3y
【答案】B
【分析】根据等式的性质，即可一一判定．
【详解】解：A.若x=y，则x+c=y+c，故该选项错误，不符合题意；
B.若x=y，则c−x=c−y，故该选项正确，符合题意；
C.若x=y且c≠0，则xc=yc，故该选项错误，不符合题意；
D. 若x2c=y3c，则3x=2y，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键．
?题型02 一元一次方程的相关概念
1．（2020·浙江·模拟预测）下列各式：①−2+5=3；②3x−5=x2+3x；③2x+1=1；④2x=1；⑤2x+3；⑥x=4．其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可
【详解】解：①不含未知数，故错
②未知数的最高次数为2，故错
③含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
④左边不是整式，故错
⑤不是等式，故错
⑥含一个未知数，次数为1，是等式且两边均为整式，故对
故选：B
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键
2．（2020·吉林长春·三模）关于x的一元一次方程2xa−2−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ）
A．9B．8C．7D．5
【答案】C
【分析】先根据一元一次方程的定义可得出a的值，再根据一元一次方程的解定义可求出m的值，然后代入求值即可．
【详解】∵方程2xa−2−2+m=4是关于x的一元一次方程，
∴a−2=1，
解得a=3，
∴方程为2x−2+m=4，
又∵x=1是方程2x−2+m=4的解，
∴2×1−2+m=4，
解得m=4，
则a+m=3+4=7，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、以及解定义，掌握理解一元一次方程的定义是解题关键．
3．（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3x+12=2x+■电话询问老师后知道：方程的解x=1且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（ ）
A．32B．−32C．12D．−12
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把x=1代入计算即可求出a的值．
【详解】解：设被污染的常数■是a，
把x=1代入3x+12=2x+a，得：3+12=2+a，
解得a=32，
故选A．
4．（2024·四川雅安·三模）已知x=2是关于x的一元一次方程m−1x+m2=1的解，则2042−2m4−4m3−12m的值是 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了方程的解和求代数式的值，先将x=2代入一元一次方程，得出m2+2m=3，再将原式整理成2042−2m2m2+2m−12m，代入m2+2m=3得出2042−6m2−12m，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程m−1x+m2=1的解，
∴2m−1+m2=1，
整理得m2+2m=3，
∴2042−2m4−4m3−12m
=2042−2m2m2+2m−12m
=2042−6m2−12m
=2042−6m2+2m
=2042−6×3
=2024．
故答案为：2024．
?题型03 二元一次方程的相关概念
1．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A．xy=1B．x2−1=0C．x−y=1D．x+1y=1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】解：A．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
B．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2．（2022·云南曲靖·一模）若方程x2a−b−3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（ ）
A．29B．2C．32D．1
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义得出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值即可求出ab的值．
【详解】解：∵方程x2a−b−3ya+b=2是关于x、y的二元一次方程
∴2a−b=1a+b=1
解得：a=23b=13
∴ab=23×13=29
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组是解答本题的关键．
3．（2023·山东枣庄·模拟预测）若二元一次方程组x+y=33x−5y=1的解为x=ay=b，则a−b的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a−b的值．
把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a−b的值．
【详解】将x=ay=b代入方程组x+y=33x−5y=1，得：a+b=3①3a−5b=1②，
①+②，得：4a−4b=4，
则a−b=1，
故答案为1．
4．（2024·河南驻马店·模拟预测）已知方程2x+y=0，请写出该方程的一组解： ．
【答案】x=0y=0 （答案不唯一）
【分析】本题考查了二元一次方程的解，令x=0，求出y值即可．
【详解】解：当x=0时，y=0，
故答案为：x=0y=0 （答案不唯一）．
?题型04 二元一次方程组的相关概念
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）与方程5x+2y=−9构成的方程组，其解为x=−3y=3的是（ ）
A．x+2y=1B．3x+2y=−8C．3x−4y=−8D．5x+4y=−3
【答案】D
【分析】将解x=−3y=3代入选项中验证即可求解．
【详解】解：A．x=−3y=3不是方程x+2y=1的解，该项不符合题意；
B．x=−3y=3不是方程3x+2y=−8的解，该项不符合题意；
C．x=−3y=3不是方程3x−4y=−8的解，该项不符合题意；
D．x=−3y=3是方程5x+4y=−3的解，该项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
2．（2022·贵州黔东南·模拟预测）在下列数对中：①x=2y=−2；②x=1y=0；③x=1y=−1；④x=5y=2，其中是方程x+y=0的解的是 ；是方程x−4y=5的解的是 ；既是方程x+y=0的解，又是方程x−4y=5的解的是 .(填序号)
【答案】 ①③ ③ ③
【分析】把四组值分别代入方程x+y=0和x−4y=5，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断．
【详解】解：∵2+(−2)=0；1+1≠0；1+(−1)=0；5+2≠0，
∴①③是方程x+y=0的解；
∵当x=2，y=−2时，x−4y=2−4×(−2)=10，
∴①不是方程x−4y=5的解；
∵当x=1，y=0时，x−4y=1−4×0=1，
∴②不是方程x−4y=5的解；
∵当x=1，y=−1时，x−4y=1−4×(−1)=5，
∴③是方程x−4y=5的解；
∵当x=5，y=2时，x−4y=5−4×2=−3，
∴④不是方程x−4y=5的解．
故答案为①③；③；③．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知关于x，y的方程组3x+5y=m+22x+3y=m，给出下列结论：①x=3y=−4是方程组的解；②m=2时，x，y的值互为相反数；③无论m的x，y都满足的关系式x+2y=2；④x，y的都为自然数的解有2对，其中正确的为 ．（填正确的序号）
【答案】②③④
【分析】先解方程组用m表示出x与y，根据方程组解的情况即可作出判断．
【详解】解：解出方程组得x=2m−6y=4−m，
①由x＝3得，2m-6＝3，解得m＝92，
由y＝-4得，4-m＝-4，解得m＝8，
∴x=3y=−4不是方程组的解，
故①不正确；
②若x，y的值互为相反数，
2m-6+4-m＝0，
解得m＝2，
故②正确；
③∵2m-6+2（4-m）＝2，
∴无论m取何值，x，y都是满足关系式x+2y＝2，
故③正确；
④∵x，y的都为自然数，
∴m＝3，4，共2个，
即x=0y=1，x=2y=0．
故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
?题型05 已知二元一次方程组的解求参数
1．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组2x−y=2m−1x−2y=n的解满足x+y=−4，则4m÷2n的值为（ ）
A．8B．18C．6D．−6
【答案】B
【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用①−②得：x+y=2m−n−1，即可得到2m−n=−3，再将4m÷2n=22m÷2n=22m−n，代入即可得到答案．
【详解】解：2x−y=2m−1①x−2y=n②
①−②得：x+y=2m−n−1，
∴x+y=−4，
∴2m−n−1=−4，
∴2m−n=−3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=2−3=18，
故选：B．
2．（2023·山东聊城·模拟预测）若关于x和y的方程组5x+4y=aax+by=c无解，则（ ）
A．5a=4cB．4a=5bC．4a=5cD．5a=4b
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组无解时，即可得出a与b得关系式，解题的关键是掌握二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2，当a1a2=b1b2≠c1c2时方程组无解．
【详解】∵关于x和y的方程组5x+4y=aax+by=c无解，
∴5a=4b，
∴4a=5b，
故选：B．
3．（2024·湖北荆州·一模）已知x=2y=1是二元一次方程组ax+by=8bx−ay=1的解，则3a−12b的立方根为 ．
【答案】2
【分析】本题考的是二元一次方程的解，以及立方根，解题的关键是求出a、b的值．先把x=2y=1代入方程组，求出a、b的值，即可得到答案.
【详解】解：∵ x=2y=1是二元一次方程组ax+by=8bx−ay=1的解，
∴ 2a+b=82b−a=1，
解得：a=3b=2，
∴ 3a−12b=3×3−12×2=8，
∴ 3a−12b的立方根为38=2，
故答案为：2．
4．（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组2x+3y=kx+2y=−1的解满足x>y，则k的取值范围为 ．
【答案】k>−53/k>−123
【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据远算法则进行计算即可．
【详解】解：∵ 2x+3y=kx+2y=−1，
∴x=2k+3y=−k−2，
∵x>y，
∴2k+3>−k−2，
解得k>−53，
故答案为：k>−53．
5．（2023·山东济宁·一模）已知关于x，y的方程组x+y−b=03x+y−2=0的解是x=−1y=m，则直线y=−x+b与直线y=−3x+2的交点坐标是 .
【答案】(−1,5)
【分析】
将解代入方程3x+y−2=0，求得m，即得答案．
【详解】由题意知，3×(−1)+m−2=0，
解得m=5，
交点坐标为(−1,5)；
故答案为：(−1,5)．
【点睛】本题考查方程组解的定义，一次函数图象与二元一次方程组的联系，理解一次函数图象交点与二元一次方程组解的联系是解题的关键．
?题型06 解一次方程（组）
1．（2024·四川攀枝花·模拟预测）解下列方程：
(1)2x−13−5x+26=1−2x2−2．
(2)x2−y+13=13x+2y=10．
【答案】(1)x=−1
(2)x=3y=12
【分析】本题考查的是解一元一次方程以及二元一次饭方程，掌握方程的相关解法是解题关键．
（1）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程；
（2）利用加减消元法，即可解方程．
【详解】（1）解：2x−13−5x+26=1−2x2−2
去分母得：2(2x−1)−(5x+2)=3(1−2x)−12，
去括号得：4x−2−5x−2=3−6x−12，
移项得：4x−5x+6x=3−12+2+2，
合并同类项得：5x=−5，
系数化为1得：x=−1；
（2）解：x2−y+13=1①3x+2y=10②
由①得：3x−2y=8③，
②+③得，6x=18，
解得x=3，
②−③得，4y=2，
解得y=12，
∴方程组的解是x=3y=12．
2．（2024·广东·模拟预测）解方程组：
(1)2x+y=−54x−5y=11
(2)x−22−5−y3=1x0.2−y+10.3=5
【答案】(1)x=−1y=−3
(2)x=92y=174
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法进行计算即可；
（2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得．
【详解】（1）解：2x+y=−5①4x−5y=11②，
①×5+②，14x=−14，
解得x=−1，
把x=−1代入①，−2+y=−5，
解得y=−3，
∴原方程组的解是x=−1y=−3；
（2）解：x−22−5−y3=1x0.2−y+10.3=5，
化简方程组可得，3x+2y=22①3x−2y=5②，
①+②得，6x=27，
解得x=92，
将x=92代入②，得y=174，
∴方程组的解为x=92y=174．
?题型07 一元一次方程解的综合应用
1．（2023·河北石家庄·一模）已知P=A⋅B−C，
(1)若A=−20，B=−13−1，C=−52，求P的值．
上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的P值；
(2)若A=3，B=2x，C=2x+1，当x为何值时，P的值为7
【答案】(1)第一步，−8
(2)x=2
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，开平方，按照计算法则计算即可解答；
（2）列方程，解出即可解答．
【详解】（1）解：第一步，
P=−20×−13−1−−52
=1×−3−5
=−3−5
=−8；
（2）解：当A=3，B=2x，C=2x+1时，
P=3⋅2x−2x+1=7，
解得：x=2．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，开平方，解一元一次方程，熟知计算法则是解题的关键．
2．（2023·浙江金华·一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两个关于x的二项式．
(1)二项式A为_______，二项式B为_______．
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
【答案】(1)2x−3，3x+5
(2)x=−8
【分析】本题考查了整式的加减，解一元一次方程，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
（1）根据题意添括号，即可求解；
（2）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵2A−3B
=4x−6−9x−15
=22x−3−33x+5
∴A=2x−3,B=3x+5；
（2）解：依题意，2x−3=3x+5，
解得：x=−8．
3．（2024·河北保定·三模）把式子−4x+3记作P，式子x−6记作Q，
(1)当x=−3时，P=______，Q=______；
(2)若P，Q的值互为相反数，求x．
【答案】(1)15；−9
(2)x=−1
【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义及代数式求值．
（1）将x=−3分别代入−4x+3和x−6计算即可；
（2）根据题意，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，当x=−3时，
P=−4×−3+3=15，Q=−3−6=−9；
（2）解：根据题意，则−4x+3+x−6=0，
即−4x+x=6−3
解得：x=−1．
4．（2022·河北廊坊·二模）如图，在数轴上点A，B表示的数分别为－2，1，P为A点左侧上的一点，它表示的数为x．
(1)用含x的代数式表示PB+PA2的值．
(2)若以PO，PA，AB的长为边长能构成等腰三角形，请求出符合条件的x的值．
【答案】(1)−1−2x2
(2)x=−3或x=−5
【分析】（1）将PA、PB表示出来，代入PA+PB2 即可；
（2）将PO，PA，AB的长分别用x表示出来，根据等腰三角形的性质列出关于x的方程，即可求得。
【详解】（1）解：∵PB=1−x，PA=−2−x，
∴PA+PB2=1−x−2−x2=−1−2x2；
（2）解：PA=−2−x，PO=−x，AB=3,
若以PO，PA，AB的长为边长能构成等腰三角形，则
当PO=PA时，即−x=−2−x，方程无解，故不符合题意；
当PO=AB时，即−x=3，解得x=−3，则三边分别为3，3，1，满足条件；
当AB=PA时，即3=−2−x，解得x=−5，则三边分别为3，3，5，满足条件；
满足条件的值为：x=−3或x=−5．
【点睛】本题主要考查列代数式，数轴上两点间距离、等腰三角形的性质，解一元一次方程，根据条件列出代数式是解题的关键．
?题型08 与一次方程（组）有关的污染问题
1．（2022·河北保定·一模）对于题目：“若方程组x−y=p2x+y=0的解为x=1y=a，且整式A=a−3+a2+□a−1，求：整式A的值．”
小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0；
小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6．
(1)小明将系数□看成的数是多少？
(2)化简整式A．
【答案】(1)小明将系数□看成的数是−1
(2)A=a2−3a−4
【分析】（1）先求出a=−2p=3，设小明将系数□看成了m，则A=a2+m+1a−4，根据小明求的A的值，得到关于m的方程，解方程即可得到m=−1；
（2）设正确的□为n，则A=a2+n+1a−4，根据小宇求的A的值为6得到−22+n+1⋅−2−4=6，解得：n=−4，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵方程组x−y=p2x+y=0的解为x=1y=a
∴1−a=p2+a=0，解得a=−2p=3．
设小明将系数□看成了m，则A=a−3+a2+ma−1=a2+m+1a−4，
∵小明求的A的值为0，
∴−22+m+1⋅−2−4=0，
解得：m=−1，即小明将系数□看成的数是−1；
（2）设正确的□为n，
则A=a−3+a2+na−1=a2+n+1a−4，
∵小宇求的A的值为6
∴−22+n+1⋅−2−4=6，解得：n=−4，
∴A=a2+−4+1a−4=a2−3a−4．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次方程的的解法和整式的加减法则是解题的关键
2．（2022·浙江杭州·中考真题）计算：−6×23−■−23．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12−23．
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)-9
(2)3
【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；
（2）设被污染的数字为x，由题意，得−6×23−x−23=6，解方程即可；
【详解】（1）解：−6×23−12−23=−6×16−8 =−1−8=−9；
（2）设被污染的数字为x，
由题意，得−6×23−x−23=6，解得x=3，
所以被污染的数字是3．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键．
3（2022·河北邯郸·三模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+＝3时，发现正整数被污染了；
(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程3x−12+2=3；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【答案】(1)x=1
(2)2
【分析】（1）由题意得方程3x−12+2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
（2）设被污染的正整数为m，得方程3x−12+m=3，求解得x=7−2m3，再根据解是正整数求解即可．
【详解】（1）解：3x−12+2=3，
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）解：设被污染的正整数为m，
则有3x−12+m=3，
解之得，x=7−2m3，
∵7−2m3是正整数，且m为正整数，
∴m=2．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
4（2022·河北保定·一模）已知整式a2−2ab−■ab−4b2，其中“■”处的系数被墨水污染了．当a=−2，b=1时，该整式的值为16．
(1)则■所表示的数字是多少？
(2)小红说该代数式的值是非负数，你认为小红的说法对吗？说明理由．
【答案】(1)■所表示的数字是2；
(2)小红的说法是正确的，理由见解析.
【分析】（1）直接把a=−2，b=1代入代数式其值等于16，解关于■方程即可；
（2）把（1）求得的■的结果代入代数式整理即可求解．
【详解】（1）（1）将a=−2，b=1代入a2−2ab−■ab−4b2，
可得4+4−(■×(−2)−4)=16，解得■=2；
（2）（2）由（1）求得的结果可得该整式为，
a2−2ab−2ab−4b2=a2−4ab+4b2=(a−2b)2≥0，
故小红的说法是正确的．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值及解一元一次方程、完全平方公式等，求得■的值是解题的关键．
?题型09 与一元一次方程有关的新定义问题
1．（2022·河北石家庄·三模）若两个有理数A、B满足A+B=8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：
(1)求−5的“吉祥数”；
(2)若3x的“吉祥数”是−4，求x的值；
(3)x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【答案】(1)13
(2)x=4
(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据由“吉祥数”的定义求解即可；
（2）由题意知3x−4=8，计算求解即可；
（3）依题意，x+9=−8，进而作出判断，即可求解．
【详解】（1）解：由“吉祥数”的定义可知
−5的“吉祥数”为8−−5=13；
（2）解：由题意知3x−4=8
解得x=4
∴x的值为4．
（3）解：若|x|和9互为“吉祥数”，则有x+9=8
∵x≥0
∴x+9≥9≠8
∴|x|和9不能互为“吉祥数”．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次方程，绝对值的非负性等知识．解题的关键在于对新定义的理解．
2．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=mn−3n，例如4☆2=4×2−3×2=8−6=2，请根据上述知识解决下列问题．
(1)x☆2>4，求x取值范围；
(2)若x☆−14=3，求x的值；
(3)若方程x☆□=x−6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x=1，求□中的常数．
【答案】(1)x>5
(2)x=−9
(3)52
【分析】（1）根据题意列出不等式进行计算即可；
（2）根据题意列出方程进行计算即可；
（3）设□中的常数为y，根据题意列出关于y的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵x☆2>4，
∴2x−3×2>4，
解得：x>5．
（2）解：∵x☆−14=3，
∴−14x−3×−14=3，
解得：x=−9．
（3）解：设□中的常数为y，根据题意得：
xy−3y=x−6，
∵此方程的一个解为x=1，
∴y−3y=1−6，
解得：y=52．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不等式或方程．
3．（2024浦口区模拟）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：ac bd=ad−bc，例如：23 41=2×1−4×3=−10，再如：xy 62=2x−6y．按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：
(1)−24 −53=______．
(2)当x1 1−x2=0时，求x的值．
(3)将下面式子进行因式分解：x2−2x−3 8x2−2x−11
【答案】(1)14
(2)13
(3)x+1x−3x+2x−4
【分析】（1）先按新运算的规定方法计算，再作有理数的混合运算；
（2）先按新运算的规定方法展开等号左边，再解方程即可；
（3）先按新运算的规定方法展开，再把x2−2x看作一个整体展开x2−2xx2−2x−11，而后按二次项系数是“1”的二次三项式的因式分解方法分解因式．
【详解】（1）原式=(−2)×3−(−5)×4=−6+20=14，
故答案为：14；
（2）由题意得，2×x−(1−x)×1=0，
解得：；
（3）原式=(x2−2x)(x2−2x−11)−(−3)×8
=(x2−2x)2−11(x2−2x)+24
=(x2−2x−3)(x2−2x−8)
=x+1x−3x+2x−4．
【点睛】本题主要考查了定义新运算，解决问题的关键是熟练掌握新定义，有理数的运算，整式的运算，解方程，换元法，因式分解．
?题型10 解二元一次方程组--特殊解法
1．（2024·山东烟台·一模）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题.
解方程组19x+18y=17 117x+16y=15 2时，如果考虑常规的消元法(即代入消元法和加减消元法)那将非常麻烦！若用下而的方法，则轻而易举.
解：(1)-(2)，得2x+2y=2，即x+y=1(3).
(3)×16，得16x+16y=16(4).
(2)-(4)，得x=−1.
把x=−1代入(3)得−1+y=1，即y=2.
所以原方程组的解是x=−1y=2.
以上解法的技巧是根据方程的特点构造了方程(3)，我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组7x+11y=913x+17y=21.
【答案】x=134y=−54
【分析】本题考查了解二元一次方程组，②−①得出6x+6y=12，求出x+y=2③，①−③×7求出y=−54，把y=−54代入③求出x即可．
【详解】解：7x+11y=9①13x+17y=21②
②−①得：6x+6y=12，即：x+y=2③，
①−③×7得：4y=−5，解得：y=−54，
把y=−54代入③得：x=134，
所以原方程组的解为：x=134y=−54．
2．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：20163−2015×2016×2017．
解：设2016=x，则原式=x3−x−1⋅xx+1=x3−xx2−1=x=2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
(1)计算：123456789×123456786−123456788×123456787；
(2)已知方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，则方程组2x+2−3y−1=133x+2+5y−1=30.9的解是 ．
【答案】(1)−2
(2)x=6.3y=2.2
【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是先求(x+2)、(y−1)的解，再求x、y的值．
（1）仿照例题的思路，设123456786=x，分别表示原式=(x+3)⋅x−(x+2)(x+1)，然后进行整式乘法运算即可；
（2）根据加减法，可得(x+2)、(y−1)的解，再根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：依题意，
设123456786=x，
123456789×123456786−123456788×123456787
=(x+3)⋅x−(x+2)(x+1)
=x2+3x−x2+3x+2
=x2+3x−x2−3x−2
=−2
（2）解：∵方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，
同理∴方程组2(x+2)−3(y−1)=133(x+2)+5(y−1)=30.9中x+2=8.3y−1=1.2
∴ x=6.3y=2.2
3．（2024·广东珠海·三模）阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足m+n−2=0①4m+n+n=5②，求m+n和2m−n的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入m+n和2m−n即可.
小善：由①，得m+n=2，③
将③代入②，得4×2+n=5，解得n=−3，
把n=−3代入③，解得m=5，
所以原方程组的解为m=5n−3
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
(1)任务一：解方程组2a−3b−5=02a−3b+27+b=0
(2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
【答案】(1)a=1b=−1
(2)y=x2−x+14
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.
（1）直接运用整体代入消元法解答即可；
（2）先将a=1b=−1代入y=ax2+bx+c得y=x2−x+c，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可.
【详解】（1）解：2a−3b−5=0①2a−3b+27+b=0②
由①得2a−3b=5③
将③代入②，得1+b=0，解得b=−1，
将b=−1代入③，解得a=1，
所以原方程组的解为a=1b=−1.
（2）解：将a=1b=−1代入y=ax2+bx+c得y=x2−x+c
∵拋物线与x轴有唯一的交点，
∴Δ=(−1)2−4×1×c=0，解得c=14，
∴抛物线的解析式为y=x2−x+14.
4．（2024烟台市模拟）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组x+2x+y=3①x+y=1②，
解：把②代入①得，x+2×1=3，
解得x=1，
把x=1代入②得y=0，
所以方程组的解为x=1y=0，
（2）已知x+3y+5z=30①9x+7y+5z=10②求x+y+z的值．
解：①+②，得10x+10y+10z=40，③
③÷10，得x+y+z=4．
［类比迁移]
（1）求方程组3a−b+4=2aa−b=2的解．
（2）若6x+5y+z=82x+y−3z=4求x+y+z的值．
【答案】（1）a=5b=3；（2）x+y+z=1
【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可；
（2）利用整体的思想求出x+y+z=1即可．
【详解】（1）3a−b+4=2a①a−b=2②把②代入①，
得3×2+4=2a，
解得a=5．
把a=5代入②，得b=3，
∴方程组的解为a=5b=3；
（2）6x+5y+z=8①2x+y−3z=4②，
①−②得：4x+4y+4z=4，
∴x+y+z=1．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想．
?题型11 解二元一次方程组--错解复原问题
1．（2024周口市三模）解方程组ax+by=2cx−7y=8时，一学生把c看错而得到x=−2,y=2,而正确的解是x=3,y=−2,那么a+b−c= .
【答案】11
【分析】将错误的解和正确的解分别代入方程组，得出b−a=1和3a−2b=2，c=−2，联立关于a,b的方程组，解得a,b的值，即可得解.
【详解】将x=−2,y=2,代入方程组，得b−a=1①
将x=3,y=−2,代入方程组，得3a−2b=2②，c=−2
①②联立，得
b−a=13a−2b=2
解得a=4b=5
∴a+b−c=4+5+2=11
故答案为：11.
【点睛】此题主要考查利用二元一次方程组的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
2．（2021·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x−by=−10②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=1乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=−4
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的一元二次方程ax2−bx+m=0两实数根为x1，x2，且满足7x1−2x2=7，求实数m的值．
【答案】（1）a=7b=−2；（2）m=−5
【分析】（1）将x=−3y=1代入方程②求出b的值，将x=5y=−4代入方程①求得a的值，即可得出答案，
（2）再将a，b的值代入ax2−bx+m=0中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值．
【详解】解：（1）根据题意得5a+5×−4=154×−3−b=−10解得a=7b=−2
（2）当a=7b=−2时，一元二次方程ax2−bx+m=0化为7x2+2x+m=0，
由根与系数关系得x1+x2=−27，x1×x2=m7
联成方程组得x1+x2=−277x1−2x2=7，解得x1=57x2=−1
∴m=−5
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
?题型12 解二元一次方程组--同解方程组
1．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组2x−y=7x+y=a和方程组x−y=b3x+y=8有相同的解，求a，b的值．
【答案】a=2，b=4
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组2x−y=73x+y=8得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，可有2x−y=7①3x+y=8②，
①+②，可得 5x=15，
解得 x=3，
x=3把代入①，可得2×3−y=7，
解得y=−1，
∴该方程组的解为x=3y=−1，
∵方程组2x−y=7x+y=a和方程组x−y=b3x+y=8有相同的解，
∴a=3+−1=2，b=3−−1=4．
2．（2024·广东江门·一模）已知方程组5x−2y=3mx+5y=4与x−4y=−35x+ny=1有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2m−7x−3n=0的两个实数根，第三边BC的长为5，求△ABC的面积．
【答案】(1)m=−1n=−4
(2)S△ABC=6
【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值．
（1）解方程组5x−2y=3x−4y=−3得x=1y=1，根据同解方程组，得出方程组mx+5y=45x+ny=1的解为x=1y=1，代入求出m、n的值即可；
（2）把m=−1n=−4代入x2m−7x−3n=0得出x2−7x+12=0，解一元二次方程得出△ABC的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出△ABC为直角三角形，求出结果即可．
【详解】（1）解：由方程组5x−2y=3x−4y=−3得：x=1y=1，
∵方程组5x−2y=3mx+5y=4与x−4y=−35x+ny=1有相同的解，
∴方程组mx+5y=45x+ny=1的解为x=1y=1，
∴m+5=45+n=1，
解得：m=−1n=−4；
（2）解：把m=−1n=−4代入关于x的一元二次方程x2m−7x−3n=0得：x2−7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
∴△ABC的两边长分别为3，4，
∵第三边BC的长为5，
又∵32+42=52，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=12×3×4=6．
?题型13 解二元一次方程组—拓展
1．（2024·福建龙岩·模拟预测）阅读素材并解决问题．
【答案】问题1：105；问题2：45°；问题3：见解析
【分析】本题考查了“设参法”，解题关键是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题．
（1）按题目提示即可解答；
（2）设∠A=α，则∠C=90°−∠A=90°−α，由BA=BE可知∠BEA=∠A=α，进而可得∠ABE=180°−2α，∠EBC=∠ABC−∠ABE=2α−90°，∠CBD=12∠EBC=α−45°，再由三角形外角性质可得∠ADB=∠CBD+∠C=45°；
（3）设P(m,n)，用m、n、k表示点的坐标和线段长，求得tan∠PBA=APBP=nm，tan∠PDC=PCPD=nm，即可得出∠PBA=∠PDC，进而证明结论．
【详解】解：问题1： x+y+z=105．
问题2：设∠A=α，∵BA=BE，∴∠BEA=∠A=α
根据三角形内角和可得：∠A+∠BEA+∠ABE=180°
∴∠ABE=180°−2α
∵∠ABC=90°
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=90°−(180°−2α)=2α−90°
∵BD平分∠CBE
∴∠CBD=12∠EBC=α−45°
∵∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∴∠C=90°−∠A=90°−α
∴∠ADB=∠CBD+∠C=(α−45°)+(90°−α)=45°．
问题3：方法一：设P(m,n)
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，且点C，点D在双曲线y=kx上，
∴C(m,km),D(kn,n)
∴AC=km， BD=kn
∴PD=BP−BD=m−kn=mn−kn
PC=AP−AC=n−km=mn−km
∴tan∠PBA=APBP=nm，tan∠PDC=PCPD=mn−kmmn−kn=nm
∴tan∠PBA=tan∠PDC
∴∠PBA=∠PDC
∴AB∥CD．
方法二：设P(m,n)
∵ PA⊥x轴，PB⊥y轴，且点C、点D在双曲线y=kx上，
∴ C(m,km),D(kn,n)
∴AC=km， BD=kn
∴PD=BP−BD=m−kn=mn−kn
PC=AP−AC=n−km=mn−km
∴PDBP=mn−knm=mn−kmn，PCAP=mn−kmn=mn−kmn
∴PDBP=PCAP
又∵∠P=∠P
∴△PCD∽△PAB
∴∠PCD=∠PAB
∴AB∥CD．
2．（2023·浙江台州·三模）密度是物质的重要属性，生产、生活中常常需要测量各种液体的密度．某同学在综合实践活动中自制了测量液体密度的杠杆密度计，可以从杠杆上的刻度直接读出液体密度的数值，受到了老师的肯定和表扬，结构如图所示．所用器材：轻质杠杆（自身重力忽略不计）、两种规格的空桶（100mL和200mL）、质量为m的物体A、细线．设计过程如下：

(1)将杠杆在O点悬挂起来，空桶悬挂在B点，质量为m的物体A悬挂在C点时，杠杆水平平衡．测出B点到O点的距离为l，C点到O点的距离为l0，此时满足G桶•l=GA•l0，即：G桶•l=mg•l0，则C点的密度刻度线应标注为 ；
(2)在B点的空桶内注满液体，空桶容积为V，移动物体A至C1位置，使杠杆在水平位置平衡．C1点到O点的距离为l1，此时满足G桶+G液•l=GA•l1，即：G桶+ρ液Vg•l=mg•l1，则C1点的密度值为 （用m、V、l、l0、l1表示）；
(3)已知密度为1.0×103kg/m3刻度线与零刻度线之间的距离为4cm，求密度为0.8×103kg/m3刻度线与零刻度线之间的距离是多少cm？
(4)要使制作的杠杆密度计测量精度更高一些，应选择规格的空桶（选填“100mL”或“200mL”）．
【答案】(1)0
(2)ρ液=ml1−l0Vl
(3)3.2cm
(4)200mL
【分析】本题主要考查杠杆平衡的条件，整式的混合运算，函数思想的运用，理解题目中的数量关系，掌握函数思想解实际问题的方法是解题的关键．
（1）根据题意，杠杆平衡时空桶和悬挂物理的情况进行分析即可求解；
（2）根据杠杆平衡的条件，得到空桶内注满液体时的数量关系，联立方程组求解即可；
（3）根据空桶时杠杆平衡的条件，倒满液体时平衡的条件列方程组求解即可；
（4）根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2，可得L1=F2L2F1，结合函数的增减性知识即可求解．
【详解】（1）解：将杠杆在O点悬挂起来，空桶悬挂在B点，质量为m的物体A在C点时，杠杆水平平衡，此时桶中没有液体，
∴密度为0，
故答案为：0；
（2）解：在B点悬挂空桶时，杠杆平衡，根据题意，G桶·l=GA·l0，即G桶·l=mg·l0，
在B点的空桶内注满液体，空桶容积为V，则液体的重力G液=m液g=ρ液Vg，
∵此时移动物体A至C1，杠杆在水平位置平衡，
∴根据杠杆平衡条件得，G桶+G液·l=GA·l1，即G桶+ρ液Vg·l=mg·l1，
∴G桶·l=mg·l0G桶+ρ液Vg·l=mg·l1，
解得，ρ液=ml1−l0Vl，
故答案为：ρ液=ml1−l0Vl；
（3）解：当测量密度为1.0×103kg/m3的液体时，由1.0×103kg/m3的刻度线与零刻度线之间的距离为4cm，即此时的物体A的力臂为：l'=l0+4(cm)，
∴G桶+G'·l=GA·l'，即G桶+1.0×103×Vg·l=mg·l0+4，
当测量密度为0.8×103kg/m3的液体时，此时的物体A的力臂为：l″=l0+Δl（cm），
∴G桶+G″·l=GA·l″，即G桶+0.8×103×Vg·l=mg·l0+Δl，
∴G桶·l=mg·l0G桶+1.0×103×Vg·l=mg·l0+4G桶+0.8×103×Vg·l=mg·l0+Δl，
解得，Δl=3.2cm；
（4）解：设物体A对杆秤的力为动力，则液体和桶对杆秤的力为阻力，
∴F1L1=F2L2，即L1=F2L2F1，
在动力F1与阻力臂L2不变的情况下，增大液体重力，即增加空桶的容积，则L1变大，即该密度秤的精度会增加，
∴应该选择200mL规格的空桶，
故答案为：200mL．
3．（2023·山西大同·模拟预测）阅读与思考
小敏在九年级复习阶段，针对“一次方程的解”整理得出以下几种方法，请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．转化思想 C． 数形结合 D．分类讨论
(2)解方程23x+4=2+x的步骤从第__________步开始出现错误，错误的原因是_________________，方程正确的解为___________________________.
(3)实际上，除了解二元一次方程组外，初中数学还有一些知识也可以用函数的观点来认识.例如：可以用函数的观点来认识一元一次方程的解，请你再举出一例；
【答案】(1)B
(2)一，+x移项时没有变号；x=6
(3)见解析
【分析】（1）根据题中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根据移项、合并同类项、系数化为1解方程，再进行判断即可；
（3）根据函数与方程的关系举例即可．
【详解】（1）解：由题意可得，解方程的基本思想是是转化思想，
故选：B．
（2）解：由题意可得，第一步：移项得，23x−x=2−4，
第二步：合并同类项得，−13x=−2，
第三步：化系数为1得，x=6，
∴从第一步开始出错，原因是：x移项时没有变号，
故答案为：一，+x移项时没有变号，x=6．
（3）解：用二次函数的观点认识一元二次方程的解（用函数的观点认识一元一次不等式的解集）．
【点睛】本题考查解一元一次方程和二元一次方程组、函数与方程的关系，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
?题型14 中考最热考法之以注重过程性学习的形式考查一次方程组
1．（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程x+12−x−33=1的解答过程．
解：去分母，得3(x+1)−2(x−3)=1
去括号，得3x+1−2x+3=1
移项，合并同类项，得x=−3．
(1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程；
(2)请尝试解方程x+10.2−x−30.3=1．
【答案】(1)有错误，见解析
(2)x=−425
【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答．
（2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下：
x+12−x−33=1，
去分母，得3(x+1)−2(x−3)=6，
去括号，得3x+3−2x+6=6，
移项，合并同类项，得x=−3；
（2）解：x+10.2−x−30.3=1，
5(x+1)−10(x−3)3=1，
去分母得15(x+1)−10(x−3)=3，
去括号得15x+15−10x+30=3，
移项得15x−10x=3−15−30，
合并同类项得5x=−42，
系数化1得x=−425．
2．（2023·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：x−2y=1①2x+2y=5②
第一步：由①得，x=2y+1 ③；
第二步：将③代入②，得2×2y+1+2y=5
第三步：解得y=23
第四步：将y=1代入③，解得x=73；
第五步：所以原方程组的解为x=23y=73
任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）；
任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
任务三：请写出方程组正确的解答过程．
【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析．
【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元；
但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号；
正确的解答过程：由①得x=2y+1 ③
将③代入②得2(2y+1)+2y=5
解得y=12，代入③，解得x=2
∴原方程组的解为：x=2y=12
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键．
3．（2023·山西大同·模拟预测）（1）计算：−−12023+−23×12−4cs60°；
（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组x−3y=−1,2x+3y=7的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令x−3y=−1①2x+3y=7②
任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；
任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
【答案】（1）−5；（2）①小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“−”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；任务二：x=2y=1；任务三：②−①×2
【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）任务一：①根据小辉或小莹的解法分析，根据等式的基本性质1即可求解；②根据去括号时，括号外是“−”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；
任务二：根据加减消元法解二元一次方程组；
任务三：②−①×2，加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：原式=1+−8×12−2
=1+−4−2=−5；
（2）任务一：①小辉；
等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；
②三；
去括号时，括号外是“−”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；
或①小莹；
等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）；
②四；
移项未变号；
任务二：令x−3y=−1①2x+3y=7②
①+②得，3x=6
解得：x=2
将x=2代入①得，2−3y=−1
解得：y=1
正确的解为x=2y=1
任务三：②−①×2．
得9y=9
解得：y=1，代入①得x−3=−1，
解得：x=2
【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
?题型15 列方程（组）
1．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组y+2=3xy−9=2x小云根据题意列出一元一次方程3x−2=2x+9，则下列说法正确的是（ ）
A．小青正确，小云错误B．小青错误，小云正确
C．小青、小云都正确D．小青、小云都错误
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次和二元一次方程组是解题的关键，根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，和关于x的一元一次方程．
【详解】解：设人数量为y个，车的辆数为x辆，
若3人坐一辆车，则两辆车是空的，
∴y=3x−2；
若2人坐一辆车，则9人需要步行，
∴y−9=2x，
∴3x−2=2x+9，
根据意可列出方程组为y=3x−2y−9=2x，
即小青错误，小云正确，
故选：B．
2．（2024·广西南宁·模拟预测）地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ）
A．x−y=8365x−6y=1284B．x−y=8366x−5y=1284
C．x+y=8366y−5x=1284D．x−y=8366y−5x=1284
【答案】D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意，找出等量关系:长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，列出方程组，选出正确答案即可，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．
【详解】设长江长为x千米，黄河长为y千米，
由题意得，x−y=8366y−5x=1284，
故选：D．
3．（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A．x+y=510x+3y=30B．x+3y=53x+10y=30C．x+3y=30x10+y3=5D．x+y=30x3+y10=5
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题列二元一次方程，设清酒x斗，醑酒y斗，根据“现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设清酒x斗，醑酒y斗，
由题意得：x+y=510x+3y=30，
故选：A．
4．（2023·四川成都·模拟预测）成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的34，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的43，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，则可列方程组为（ ）
A．x=43yx+2=34(y−2)B．x=34yx+2=43(y−2)
C．x=34yx−2=43yD．x=43yx−2=34(y+2)
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据调整前和调整后分别列式，可列二元一次方程组，即可选出答案．
【详解】解：∵调整前早上的粮食是x千克，晚上的粮食是y千克，且早上的粮食是晚上的34，
∴x=34y．
∵老翁从晚上的粮食中取2千克放在早上投喂后，
∴早上粮食为(x+2)千克，晚上粮食为(y−2)千克，
∵调整后早上的粮食是晚上的43，
∴x+2=43(y−2)，
∴可列方程组x=34yx+2=43(y−2)，
故选B．
5．（2024·贵州贵阳·二模）某车间有20名工人，每人每天可以生产600个螺母或900个螺丝．一个螺丝需要配两个螺母，为使每天生产的螺丝与螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺母，根据题意可列方程为 ．
【答案】600x=2×900(20−x)
【分析】本题考查了列一元一次方程，设安排x名工人生产螺母，则(20−x)名工人生产螺丝，根据题意列方程即可．掌握列方程解应用题的关键是建立等量关系．
【详解】解：设安排x名工人生产螺母，则(20−x)名工人生产螺丝，
由题意得600x=2×900(20−x)，
故答案为：600x=2×900(20−x)．
6．（2024·贵州·模拟预测）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ．
【答案】3x−2=2x+9
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意，得：3x−2=2x+9．
故答案为：3x−2=2x+9．
?题型16 一元一次方程的应用
1．（2024·山西·模拟预测）2024年3月22日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本1次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需20天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的35多少2天．
(1)乙工程队单独完成需要多少天？
(2)若甲先单独修5天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？
【答案】(1)10天
(2)5天
【分析】（1）根据题意列出算式计算即可求解；
（2）设甲乙还需合作y天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：20×35−2=10，
答：乙工程队单独完成需要10天；
（2）解：设甲乙还需合作y天才能修完这条水渠，
由题意得，1205+y+110y=1，
解得y=5，
答：甲乙还需合作5天才能修完这条水渠．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，数轴上的A，B两点分别表示a，b，且a，b分别是3，−2两数中的一个．
(1)求a−b的值；
(2)若在数轴上添加点C，其表示的数为c，且a−b−c的值与a，b，c三数的平均数相等，求c的值，并在数轴上标出点C的位置．
【答案】(1)−5
(2)c=−4，数轴见解析
【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的减法及解一元一次方程．
（1）根据数轴上A，B两点的位置，可得a=−2,b=3，代入a−b计算即可；
（2）由题意，得a−b−c=a+b+c3，根据（1）中a−b=−5，可得−5−c=−2+3+c3，求出c=−4，即可解答．
【详解】（1）解∶由点A，B在数轴上的位置可知，a=−2,b=3，
∴a−b=−2−3=−5；
（2）解：由题意，得a−b−c=a+b+c3，即−5−c=−2+3+c3，
解得c=−4，
点C在数轴上的位置如图所示．
3．（2024·广东·模拟预测）为助力环保事业，某企业先将该月销售的A 款产品所有营收的40%捐给中国环保基金会，后同样再次捐赠该月销售的B款产品所有营收的50%，已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每个售价为100元，B款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品x个．
(1)该企业第一次捐赠 元，第二次捐赠 元；(用含x的式子表示)
(2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、B两款产品各多少个？
【答案】(1)40x，60000−60x
(2)该企业月销售A、B两款产品各600个，400个．
【分析】此题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键正确分析等量关系．
（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）40%×100x=40x（元），50%×1201000−x=(60000−60x)（元）
∴该企业第一次捐赠40x元，第二次捐赠60000−60x（元）；
（2）根据题意得，40x+60000−60x=48000
解得x=600
1000−600=400（个）．
∴该企业月销售A、B两款产品各600个，400个．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
【答案】有39人，15辆车．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有x辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有x辆车，
根据题意得，3(x−2)=2x+9，
解得x=15，
∴3×(15−2)=39人，
答：有39人，15辆车．
?题型17 二元一次方程组的应用
1．（2024·广东·模拟预测）每年5—7月份，某商家都会在线上平台开设的网店销售荔枝和龙眼两种水果．下表是5月份某个星期两种水果的销售信息（荔枝2kg/箱，龙眼2.5kg/箱）．
这个星期网店销售荔枝和龙眼共1150kg，获利9600元，求这个星期网店销售荔枝和龙眼各多少箱．
【答案】荔枝200箱，龙眼300箱
【分析】本题主要考查二元一次方程的实际应用．熟练掌握总利润与每箱利润和数量的关系，列出方程组，是解题的关键．
设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，根据“这个星期网店销售荔枝和龙眼共1150kg，获利9600元”，列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设这个星期网店销售荔枝x箱，龙眼y箱，依题意得：
2x+2.5y=115018x+20y=9600，
解得：x=200y=300．
答：这个星期网店销售荔枝200箱，龙眼300箱．
2．（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？
【答案】120元和90元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的价格为x元，每个足球的价格为y元，由题意知篮球的单价高于足球的单价，再由篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，列出方程组求解即可．
【详解】解：设每个篮球的价格为x元，每个足球的价格为y元，
由题意知篮球的单价高于足球的单价，
则x−y=303x=4y，
解得：x=120y=90
答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元．
3．（2024·安徽·模拟预测）为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．男装、女装的单价各是多少？
【答案】男装单价为100元，女装单价为120元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设男装单价为x元，女装单价为y元，根据1套男装和1套女装共需220元，购买6套男装与购买5套女装的费用相同列出二元一次方程组求解即可得出答案．
【详解】解：设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：x+y=2206x=5y
解得：x=100y=120
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
4．（2024·广东·模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
(2)如果放入10个球且使水面恰好上升到52cm，应放入大球、小球各多少个？
【答案】(1)2，3
(2)应放入大球6 个，小球4 个
【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是解答本题的关键．
（1）水面升高量除以球的个数即可求解；
（2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到26cm，列出方程组，再求解即可．
【详解】（1）解：32−26÷3=6÷3=2cm，
32−26÷2=6÷2=3cm；
答：放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm；
（2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有
x+y=103x+2y=52−26
解得：x=6y=4，
答：应放入大球6个，小球4个．
5．（2024·湖北·模拟预测）学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元．求篮球和足球的单价各是多少元？
【答案】篮球和足球的单价各是80元，70元．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设篮球和足球的单价各是x元，y元，根据购买4个篮球和3个足球共需530元，购买1个篮球和6个足球共需500元列出方程组求解即可．
【详解】解：设篮球和足球的单价各是x元，y元，
由题意得，4x+3y=530x+6y=500，
解得x=80y=70，
答：篮球和足球的单价各是80元，70元．
?题型18 中考最热考法之以跨学科背景考查一元一次方程的实际应用
1．（2024·江西吉安·三模）小亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置15克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是 克．

【答案】5
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
设该药品质量为x克，根据“动力×动力臂=阻力×阻力臂”得“动力阻力=阻力臂动力臂”，根据题意列出方程2060=x15，即可求解．
【详解】解：设该药品质量为x克，
由题意可得：2060=x15 ，
解得x=5．
故答案为：5．
2．（2024·河南漯河·二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与B，C重合）．已知OA=OC=10cm，BC=25cm，砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量×OA=右盘物体质量×OP（不计托盘与横梁质量）．
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为yg，OP的长为xcm，求y关于x的函数表达式．
(2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入28g的水后，发现点P移动到PC的长为15cm时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)y=1000x(10≤x≤35)
(2)这个空矿泉水瓶的质量为12g
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式；
（2）设空瓶的质量为mg，加水后的质量均为28+mg，根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP列出一元一次方程求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：∵左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，右侧托盘中放置物体的质量为yg，OP的长为xcm，砝码的质量是100g，OA=10cm，
∴100×10=xy，
∴y=1000x．
∵OC=10cm，BC=25cm，
∴OB=35cm，
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴10≤OP≤35．
即10≤x≤35．
答：y关于x的函数表达式为：y=1000x(10≤x≤35)；
（2）解：设空矿泉水瓶的质量为mg．
根据题意，得100×10=10+1528+m，
解得m=12．
∴这个空矿泉水瓶的质量为12g．
3．（2024·河南商丘·二模）高铁站候车厅的饮水机（图1）上有温水、开水两个按钮，示意图如图2所示．小明先接温水再接开水，打算接500mL的水，期间不计热损失．利用图中信息解决下列问题：
(1)若小明先接温水19s，求需再接开水的时间．
(2)设接温水的时间为xs，水杯中水的温度为y℃．
①求y关于x的函数表达式；
②求水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接多少mL的温水?
【答案】(1)需再接开水的时间为8s
(2)①y=−145x+100；②当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接400mL温水
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）设需再接开水的时间为t s．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）①由题意知温水体积为20xmL，开水体积为500−20xmL，根据等量关系列式，即可求解；②由题意知y≤44，求出x≥20，得出x的最小值为20，再计算即可得出答案．
【详解】（1）解：设需再接开水的时间为t s．
根据题意，得20×19+15t=500，
解得t=8．
答：需再接开水的时间为8s．
（2）解：①由题意，知温水体积为20xmL，开水体积为500−20xmL，
∴20xy−30=500−20x100−y．
化简，得y=−145x+100．
∴y关于x的函数表达式为y=−145x+100．
②由题意，知y≤44，
∴−145x+100≤44，
解得x≥20．
∴x的最小值为20．
20×20=400mL．
∴当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，至少需要接400 mL温水．
?题型19 洛书
1．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出x−y的值为（ ）
A．−3B．3C．−2D．2
【答案】A
【分析】本题考查等式的性质．由题意，可得：x+6=3+y，求解即可．
【详解】解：由题意，得：x+6=3+y，
∴x−y=3−6=−3；
故选：A．
2．（2023·江苏苏州·二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是( )
A．13B．12C．11D．10
【答案】B
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出方程组求解即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：y+z−x=4，
又根据题意可得：x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：z−x=2，x+z−y=20，
联立方程组得：
y+z−x=4z−x=2x+z−y=20
解得：x=10y=2z=12
∴x+y=12，
故选：B．
【点睛】题目主要考查三元一次方程组的应用，理解题意，列出相应方程组并求解是解题关键．
3．（2024·河北邯郸·二模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为7+3+5=15，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．
（1）若图2满足三角形三个顶点处的数之和为15，n=7，则m= ；A处的数值为 ；
（2）x的值为 ．
【答案】 12 1 −10
【分析】本题考查一元一次方程的应用，整式的加减运算．
（1）根据三角形三个顶点处的数之和为15，得到m+n−4=15，A+2+m=15，将n=7代入计算即可；
（2）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案．
【详解】解：（1）由题意，得：m+n−4=15，A+2+m=15，
∵n=7，
∴m=15+4−7=12，
∴A=15−2−12=1；
故答案为：12,1；
（2）∵2+m+A=−4+m+n，
∴A=n−6
∵−4+A+B=−4+m+n，
∴B=m+n−A=m+n−n+6=m+6，
∵n+B+x=m+n−4，
∴x=m−4−B=m−4−m−6=−10；
故答案为：−10．
4．（2024·四川德阳·二模）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，表1是一个已完成的幻方．表2是一个未完成的幻方，其中A−B的值为 ．
表1
表2
【答案】−6
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及数学常识，列出关于x，A，B（y可以消掉）的三元一次方程组，并解出可用含x的代数式表示出A，B的值是解题的关键．
设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x，A，B（y可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含x的代数式表示出A，B的值，再将其代入A−B中，即可求出结论．
【详解】设左下角的空格中的数字为y，
根据题意得：x−7−2+y=−4+A+yx−7+x+5−4=−2+A+B，
解得：A=x−5B=x+1，
∴A−B=x−5−x+1=−6．
故答案为：−6．
5．（2020·河北·模拟预测）【阅读材料】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”(如图①)，是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方(如图②)．
（1）观察图②，根据九宫图中各数字之间的关系，我们可以总结出幻方需要满足的条件是 ；
（2）若图③是一个幻方，求图中a= ，b=
【答案】 每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同 −3 0
【分析】通过观察和口算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可确定出“幻方”需要的条件，再由此规律列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：通过观察和口算可知，“幻方”需要满足的条件是：每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同．
由幻方的条件得：4+2+a=−1+1+34+a+2=4−1+b，
解得：a=−3b=0，
故答案为：①每一横行、每一竖列、每一对角线上三个数的和相同；②−3，③0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键
1．（2024·浙江·中考真题）有编号分别为①~⑧的8个球，其中6个球一样重，另外两个都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，则两个轻球的编号应该是（ ）
A．④⑤B．③⑥C．③⑤D．③④
【答案】A
【分析】本题考查的是推理与论证，灵活应用等式性质的性质是解题关键．
由①+②比③+④重可知③与④中至少有一个轻球，由⑤+⑥比⑦+⑧轻可知⑤与⑥至少有一个轻球，①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤．
【详解】解：∵①+②比③+④重，
∴③与④中至少有一个轻球，
∵⑤+⑥比⑦+⑧轻，
∴⑤与⑥至少有一个轻球，
∵①+③+⑤和②+④+⑧一样重，
∴从第三次称量看，①、③、⑤三个球中有一个轻的，②、④、⑧三个球中有一个轻的．
∴两个轻球的编号是④⑤．
故选：A．
2．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0,例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1．若x⊗1=−34，则x的值为 ．
【答案】−12或74
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵a⊗b=a2−b,a≤0,−a+b,a>0,
而x⊗1=−34，
∴①当x≤0时，则有x2−1=−34，
解得，x=−12；
②当x>0时，−x+1=−34，
解得，x=74
综上所述，x的值是−12或74，
故答案为：−12或74．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组ax+y=bcx−y=d的解是x=3y=−2，则关于x、y的方程组ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d的解是 ．
【答案】x=5y=−1
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把x=3y=−2，代入ax+y=bcx−y=d，得到3a−2=b3c+2=d，整体代入ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d中，得到方程组ax+2y=5a−2①cx−2y=5c+2②，加减消元法解方程组即可．
【详解】解：把x=3y=−2代入ax+y=bcx−y=d，得：3a−2=b3c+2=d，
∵ax+2y=2a+bcx−2y=2c+d，
∴ax+2y=2a+3a−2cx−2y=2c+3c+2，即：ax+2y=5a−2①cx−2y=5c+2②，
①+②，得：a+cx=5a+c，
∵方程组ax+y=bcx−y=d有解，
∴a+c≠0，
∴x=5，
把x=5代入①，得：5a+2y=5a−2，解得：y=−1；
∴方程组的解集为：x=5y=−1；
故答案为：x=5y=−1．
4．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数A能写成m2−n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2−n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602=252−23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602=252−23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A=m2−n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n=k2（k为整数），则满足条件的正整数A为 ．
【答案】 82 4564
【分析】本题考查了新定义，设m=10a+b，则n=10a+8−b（1≤a≤9，0≤b≤8）根据最小的“方减数”可得m=10,n=18，代入，即可求解；根据B除以19余数为1，且2m+n=k2（k为整数），得出3a+4b+719为整数，30a+b+8是完全平方数，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐个检验计算，即可求解．
【详解】①设m=10a+b，则n=10a+8−b（1≤a≤9，0≤b≤8）
由题意得：m2−n=10a+b2−10a+8−b，
∵1≤a≤9，“方减数”最小，
∴a=1，
则m=10+b，n=18−b，
∴m2−n=10+b2−18−b=100+20b+b2−18+b=82+b2+21b，
则当b=0时，m2−n最小，为82，
故答案为：82；
②设m=10a+b，则n=10a+8−b（1≤a≤9，0≤b≤8）
∴B=1000a+100b+10a+8−b=1010a+99b+8
∵B除以19余数为1，
∴1010a+99b+7能被19整除
∴B−119=53a+5b+3a+4b+719为整数，
又2m+n=k2（k为整数）
∴210a+b+10a+8−b=30a+b+8是完全平方数，
∵1≤a≤9，0≤b≤8
∴30a+b+8最小为49，最大为256
即7≤k≤16
设3a+4b+7=19t，t为正整数，
则1≤t≤3
当t=1时，3a+4b=12，则b=3−34a，则30a+b+8=30a+3−34a+8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，无整数解，
当t=2时，3a+4b=31，则b=31−3a4,则30a+b+8=30a+31−3a4+8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，无整数解，
当t=3时，3a+4b=50，则b=50−3a4，则30a+b+8=30a+50−3a4+8是完全平方数，
经检验，当a=6,b=8时，3a+4b+7=3×6+4×8+7=57=19×3，30×6+8+8=196=142，t=3,k=14，
∴m=68,n=60，
∴A=682−60=4564
故答案为：82，4564．
5．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【答案】乙槽
【分析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得x+y+z=10，当y=z=1时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽．
本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键．
【详解】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得x+y+z=10，当y=z=1时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽．
故答案为：乙槽．
6．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示．
(1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克；
(2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？
【答案】(1)每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克
(2)110克
【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出相应的方程及不等式是解题关键．
（1）设每份该种套餐中清蒸鱼块有x克，滑炒鸡丁有y克，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设每份素炒时蔬中西兰花有m克，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有x克，滑炒鸡丁有y克，
根据题意，得16100x+15100y=34,8100x+14100y=24.8.
解，得x=100,y=120.
答：每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克．
（2）设每份素炒时蔬中西兰花有m克，
根据题意，得2.5100m+1.5100260−m≥5．
解，得m≥110．
所以，m的最小值为110．
答：每份素炒时荒中西兰花最少有110克．
1．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（ ）
A．17x+19x=1B．17x−19x=1C．9x+7x=1D．9x−7x=1
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为17，大雁的速度为19，设经过x天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程．
【详解】解：设经过x天相遇，
可列方程为：17x+19x=1，
故选：A．
2（2024·四川宜宾·中考真题）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程，解出即可．
【详解】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：240x=150x+12×150，
解得：x=20．
答：快马20天可以追上慢马．
故选：D．
3．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺）
A．x−y=5y−12x=5B．y−x=512x−y=5C．x−y=52x=y+5D．x−y=5y−2x=5
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可．
【详解】解：由题意得x−y=5,y−12x=5.
故选A．
4．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30 min，跑步到达B地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离ym与甲出发的时间xmin之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min；
②甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600 m；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min；
④A，B两地之间的距离是11200 m．
其中正确的结论有：
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发30min及当x=50时y第一次为0，可得出乙出发20min时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当x=86时，y取得最大值，最大值为3600，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为x m/min，乙的速度为ym/min，利用路程=速度×时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的之，将其代入86+3600x+y中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，进而可得出结论③错误；④利用路程=速度×时间，即可求出A，B两地之间的距离是11200m．
【详解】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x=50时，y=0，
∴乙出发50−30=20(min)时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当x=86时，y取得最大值，最大值为3600，
∴甲出发86min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m，结论②正确；
③设甲的速度为xm/min，乙的速度为ym/min，
根据题意得：(50−10)x=(50−30)y(86−30)y−(86−10)x=3600，
解得：x=100y=200，
∴86+3600x+y=86+3600100+200=98，
∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，结论③错误；
④∵200×(86−30)=11200(m)，
∴A，B两地之间的距离是11200m，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
5．（2024·吉林·中考真题）钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．
设黑色琴键x个，则白色琴键x+16个，可得方程x+x+16=88，再解方程即可．
【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键x+16个，
由题意得：x+x+16=88，
解得：x=36，
∴白色琴键：36+16=52（个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
6．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．
(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；
(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分
(2)5分
(3)42.5
【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．
（1）由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度；
（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；
（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为a−10−15−10−5=a−40（分），可得方程80a=3000+160a−40，求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，A档速度为4000÷50=80米/分，
则B档速度为80+40=120米/分，C档速度为120+40=160米/分；
（2）小丽第一段跑步时间为1800÷120=15分，
小丽第二段跑步时间为3000−1800÷120=10分，
小丽第三段跑步时间为4600−3000÷160=10分，
则小丽两次休息时间的总和=50−10−15−10−10=5分；
（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
此时小丽在跑第三段，所跑时间为：a−10−15−10−5=a−40（分）
可得：80a=3000+160a−40，
解得：a=42.5．
7．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：
(1)x−y=03x+y=4
(2)3x−6