2025年中考复习数学第07讲 一元二次方程及其应用（练习，20题型模拟练+重难练+真题练）

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TOC \ "1-1" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc185112254"
\l "_Tc185112255" ?题型01 一元二次方程的定义
\l "_Tc185112256" ?题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
\l "_Tc185112257" ?题型03 选用合适的方法解一元二次方程
\l "_Tc185112258" ?题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc185112259" ?题型05 配方法的应用
\l "_Tc185112260" ?题型06 以开放性试题的形式考查解一元二次方程
\l "_Tc185112261" ?题型07 不解方程，判断一元二次方程根的情况
\l "_Tc185112262" ?题型08 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围
\l "_Tc185112263" ?题型09 利用根的判别式求代数式的值
\l "_Tc185112264" ?题型10 以开放性试题的形式考查根的判别式
\l "_Tc185112265" ?题型11 不解方程，求方程中参数的值
\l "_Tc185112266" ?题型12 不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值
\l "_Tc185112267" ?题型13 已知一元二次方程的解满足的情况求参数值
\l "_Tc185112268" ?题型14 一元二次方程的实际应用-传播/循环问题
\l "_Tc185112269" ?题型15 一元二次方程的实际应用-变化率问题
\l "_Tc185112270" ?题型16 一元二次方程的实际应用-几何问题
\l "_Tc185112271" ?题型17 一元二次方程的实际应用-营销问题
\l "_Tc185112272" ?题型18 一元二次方程的实际应用-动态几何问题
\l "_Tc185112273" ?题型19 以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用
\l "_Tc185112274" ?题型20 以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用
\l "_Tc185112275"
\l "_Tc185112276"
?题型01 一元二次方程的定义
1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x2−x+1=0B．2x2−y=0
C．3x+1=0D．x+1x=2
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、2x2−x+1=0符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、2x2−y=0含有两个未知数，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、3x+1=0是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、x+1x=2不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程x2−4x+2=0的一次项系数是 ．
【答案】−4
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，b，c，据此即可解答．
【详解】解：一元二次方程x2−4x+2=0的一次项系数为−4．
故答案为：−4．
3．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−ax−2a+1=0，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−ax−2a+1=0，一次项系数与常数项相等，
∴−a=−2a+1，
解得：a=1，
故答案为：1．
4．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为2，且两根分别为x1=1，x2=12的一元二次方程为 ．（写成ax2+bx+c=0的形式）
【答案】2x2−3x+1=0
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，根据题意得出x1+x2=32,x1x2=12，进而根据二次项系数为2，求得b,c的值，即可求解．
【详解】解：∵二次项系数为2，两根分别为x1=1，x2=12
∴a=2，x1+x2=32=−b2,x1x2=12=c2，
∴b=−3，c=1
∴这个方程为：2x2−3x+1=0，
故答案为：2x2−3x+1=0．
?题型02 已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值
5．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，则代数式2a²+4a+2019的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．−2023
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键．
由题意得，a²+2a−2=0，即a²+2a=2，根据2a²+4a+2019=2a²+2a+2019，代值求解即可．
【详解】解：∵x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，
∴a²+2a−2=0，即a²+2a=2，
∴2a²+4a+2019=2a²+2a+2019=2×2+2019=2023，
故选：C．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程x2−2024x+1=0的两根分别为x1，x2，则x12−2024x2的值为（ ）
A．1B．−1C．2024D．−2024
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系．
根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得x12=2024x1−1，x1⋅x2=1，再代入通分计算即可求解．
【详解】解：∵方程x2−2024x+1=0的两根分别为x1，x2，
∴x12−2024x1+1=0，x1⋅x2=1，
∴x12=2024x1−1，
∴x12−2024x2= 2024x1−1−2024x2= 2024x1⋅x2−x2x2−2024x2= 2024×1−x2−2024x2= −x2x2=−1．
故选B．
7．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则m2+2m+n+mn的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得出m2=2024−m，根据一元二次方程根与系数的关系可得出m+n=−1，mn=−2024，然后整体代入计算即可．
【详解】解∶∵m，n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，
∴m2+m−2024=0，m+n=−1，mn=−2024，
∴m2=2024−m，
∴m2+2m+n+mn
=2024−m+2m+n+mn
=2024+m+n+mn
=2024+−1+−2024
=−1，
故答案为：−1．
8．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程3x2−5x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
【答案】方程的另一个根是23，m的值是2
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题的关键．
把x=1代入方程3x2−5x+m=0，求得m=2．再用因式分解法求解方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程3x2−5x+m=0，得：m=2．
把m=2代入方程3x2−5x+m=0，得：3x2−5x+2=0．
解方程得：x1=1，x2=23．
∴方程的另一个根是23，m的值是2．
?题型03 选用合适的方法解一元二次方程
9．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：5x2−2x−3=0．
【答案】x1=1，x2=−35
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：5x2−2x−3=0，
x−15x+3=0
∴x−1=0或5x+3=0
解得x1=1，x2=−35．
10．（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程：
(1)x−22=4
(2)2x2+x−3=0
【答案】(1)x1=5，x2=1
(2)x1=1，x2=−32
【分析】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）先计算判别式，用公式法求解可得．
【详解】（1）解：x−32=4，
x−3=±2，
∴x−3=2或x−3=−2，
∴x1=5，x2=1；
（2）解：2x2+x−3=0，
∴a=2，b=1，c=−3，
∴Δ=b2−4ac=12−4×2×−3=25>0，
∴x=−b±b2−4ac2a=−1±252×2=−1±54，
∴x1=1，x2=−32．
11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：yy−3+2y−6=0．
【答案】y1=3，y2=−2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：yy−3+2y−6=0，
yy−3+2y−3=0，
y−3y+2=0，
有y−3=0或y+2=0，
解得y1=3，y2=−2．
12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务．
(1)任务一：
①杨老师解方程的方法是 ；
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
(2)任务二：
解方程：x2+2x−3=0；
【答案】(1)①B；②等式的性质
(2)x1=1，x2=−3
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键．
（1）①根据解方程过程可得结论；
②根据等式的性质求解即可；
（2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可．
【详解】（1）解：①杨老师解方程的方法是配方法，
故选：B；
②第二步变形的依据是等式的性质，
故答案为：等式的性质；
（2）解：x2+2x=3
x2+2x+1=3+1
x+12=4
x+1=±2
解得x1=1，x2=−3．
?题型04 以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程
13．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是小华同学解方程2x−3−3xx−3=0的过程：
(1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________；
(2)请你写出正确的解题过程．
【答案】(1)二；忽略x−3=0的情况
(2)x=3或x=23
【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程：
（1）首先判定小明的解法从第二步开始出现错误；
（2）利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可．
【详解】（1）解：小明的解法从第二步开始出现错误；错误原因是忽略x−3=0的情况；故答案为：二，忽略x−3=0的情况；
（2）解：2x−3−3xx−3=0
x−32−3x=0
x−3=0或2−3x=0
x=3或x=23．
14．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2−8x+3=0的过程如下：
(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程2x2−8x+3=0．
【答案】(1)二
(2)x1=2+102，x1=2−102
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．
（1）根据等式的性质判断②错误；
（2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误，
故答案为：二；
（2）解：2x2−8x+3=0，
移项，得2x2−8x=−3，
x2−4x=−32，
配方，得x2−4x+4=−32+4，即x−22=52，
∴x−2=±102，
∴x1=2+102，x1=2−102．
15．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程：6x2−2x=1−3x
解：原方程可以化为：2x3x−1=−3x−1第一步
两边同时除以3x−1得：2x=−1第二步
系数化为1，得：x=−12第三步
任务：
(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；
(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
【答案】(1)二
(2)x=13或x=−12，过程见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．
（1）第二步不符合等式的性质；
（2）先移项得到2x3x−1+3x−1=0，再利用因式分解法把方程转化为3x−1=0或2x+1=0，然后解两个一次方程．
【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误，
故答案为：二；
（2）解：6x2−2x=1−3x
2x3x−1=−3x−1
2x3x−1+3x−1=0
2x+13x−1=0
3x−1=0或2x+1=0，
解得：x=13或x=−12．
16．（2024·山西临汾·一模）（1）计算：−132+−5−−2+6×140；
（2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程5x3x−2=22−3x的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________；
②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________．
任务二：该一元二次方程的解为__________．
【答案】（1）109；（2）任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式3x−2；②三，提公因式3x−2时，后边的2−3x未变号
任务二：x=−25或x=23
【分析】
本题考查了解一元二次方程，实数的运算．
（1）根据乘方，绝对值，零次幂的性质计算即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】解：（1）−132+−5−−2+6×140
=19+5−4×1
=19+5−4
=109；
（2）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误．错误的原因是方程两边同时除以可能为0的代数式3x−2；
故答案为：二，方程两边同时除以可能为0的代数式3x−2；
②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误．错误的原因是后边的2−3x没有变号．
故答案为：三，提公因式3x−2时，后边的2−3x未变号．
任务二：5x3x−2=22−3x，
5x3x−2−22−3x=0，
5x+23x−2=0，
5x+2=0或3x−2=0，
解得x=−25或x=23．
?题型05 配方法的应用
17．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若x=3ay=−b是方程2x+y=5的一个解，则代数式a2+b+50的最小值为 ．
【答案】36
【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
将x=3ay=−b代入2x+y=5求出b=6a−5，再代入a2+b+50化简即可得a+32+36≥36即可求解；
【详解】解：∵x=3ay=−b是方程2x+y=5的一个解，
∴6a−b=5，
∴b=6a−5，
∴a2+b+50
=a2+6a−5+50
=a+32+36≥36，
∴代数式a2+b+50的最小值为36．
故答案为：36．
18．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为S1，图2中阴影面积为S2．
(1)用含x的代数式表示S1，S2；当x=1时，求S1+S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
【答案】(1)S1=x2−14x+48，S2=4−2x，S1+S2=37
(2)S1>S2，理由见解析
【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式：
（1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将x=1，代入所列代数式，进行计算即可；
（2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ S1=12(8−2x+8)⋅(6−x)=x2−14x+48；
S2=2(2−x)=4−2x，
S1+S2=x2−14x+48+4−2x=x2−16x+52，
当x=1时，S1+S2=1−16+52=37；
（2）S1>S2，
理由如下：∵S1=x2−14x+48，S2=4−2x，
∴S1−S2=x2−14x+48−(4−2x)=x2−12x+44=(x−6)2+8，
∵(x−6)2≥0，
∴(x−6)2+8>0，
∴S1>S2．
19．（2024·广东东莞·一模）综合与探究
【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A−B的值，若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B，5x2+4x−3，理由见解析；（3）S10，
∴3−2>4−22，
故答案为：>；
②∵x−1−x+3=x−1−x−3=−45x2+4x−3；
（3）S1x1)，
∴x1+x2=2m，x1x2=m2−4，
∵x1=2x2+3，
∴(2x2+3)x2=m2−4，2x2+3+x2=2m，
∴x2=2m−33，
∴(2×2m−33+3)×2m−33=m2−4，
解得：m1=3，m2=−9，
当m1=3时，x2=2×3−33=1，x1=2×1+3=5>x2，故m1=3不符合题意舍去，
当m2=−9时，x2=2×(−9)−33=−7，x1=2×(−7)+3=−110，x2